专项7 等腰三角形的常用作辅助线的方法-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（华东师大版）

八年级数学·华师版（上册） 专项7等腰三角形的常用作辅助线的方法 [答案31] 类型①构造“三线合一”图形 ④如图，在△ABC中，CA=CB,D在AC延长线上， ①如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为BC E在BC上，且CD=CE.求证：DE⊥AB. 的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF 求证：(I)ED=DF:(2)ED⊥DF 4题图 1题图 2如图，在△ABC中AC=2AB,AD平分∠BAC交 BC于点D,E是AD上一点，且EA=EC 求证：EB⊥AB. 类型⑨补形法构造等腰三角形 5如图，AB∥CD,∠1=∠2，AD=AB+CD. 2题图 (1)求证：BE=CE: (2)求证：AE⊥DE: (3)求证：AE平分∠DAB. 类型②作平行线构造等腰三角形 5题图 3如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点E 在AC延长线上，且BD=CE,DE交BC于点F, 求证：DF=EF. 3题图 60g 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第13章全等三角形 类型④⑨倍长中线法构造等腰三角形 类型⑤延长（或截取）法构造等腰三角形 6(江苏南京月考)倍长中线法，就是将三角形的 8如图.在△ABC中，∠BAC=2∠B,CD平分∠ACB 中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运 交AB于点D.求证：AC+AD=BC. 用全等三角形的有关知识来解决问题的方法 利用上述方法解决以下问题：如图，在正方形 ABCD中，E为AB边的中点，G,F分别为AD、BC 边上的点.若AG=2,BF=4,∠GEF=90°，求GF D 的长 8题图 6题图 类型【⑥截长补短法构造等腰三角形 ⑨如图，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC外一点 且∠ABD=60°，∠ACD=60°.求证：BD+DC=AB. 9题图 ☑如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点， ADCE交于点F,且AE=EF,求证：AB=CF 7题图 10如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点 D,且AB+BD=DC,求∠C. 10题图 见此图标眼抖音/餐信扫码领取配套资源稳步提升成绩参考答案及解析 :D是BC的中点，∴，BD=CD. EA=EC,∴.AF=FC ∠BED=∠CFD, .AC=2AB,..AF FC=2AF=2AB,.'.AF =AB. 在△BED和△CFD中， ∠B=∠C. AD平分∠BAC,∴.∠BAE=∠FAE. BD CD. 又：AE=AE,.△ABE≌△AFE. .△BED≌△CFD(A.A.S.),DE=DF ∴.∠ABE=∠AFE=90°.∴.EB⊥AB. (2)解：AB=AC,∠A=60°， B ∴△ABC为等边三角形，∠B=60° D :LBED=90LB0E=30BE=BD BE=2,∴.BD=4,∴.BC=2BD=8, 2题答图 ∴△ABC的周长为24. 3.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M, 3.(1)证明：，△ABC为等边三角形， 如答图， ∴AC=BC,∠ABC=∠ACB=60 .∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E :CQ∥AB,PQ∥AC, AB =AC. ∴.∠PCQ=∠ABC=60°，∠QPC=∠ACB=60°， ∴.∠B=∠ACB, ,△PQC为等边三角形，∴.PC=QC, ,∴.∠B=∠DMB .△APC≌△BQC,,AP=BQ ∴.BD=MD. (2)解：存在确定关系，关系为AD=BD+CD 3题容图 BD=CE,.'.MD CE. 证明如下： ∠MDF=∠E, 如答图，在AD上截取DE=BD,连结BE. 在△DMF和△ECF中， ∠MFD=∠CFE, 由(1)得△APC≌△BQC. LMD CE. ∴.∠PAC=∠QBC. .△DMF≌△ECF(A.A.S.).∴.DF=EF ∠APC=∠BPD. 4.证明：如答图，过点D作DM∥AB,交BC的延长线 ∴∠ACP=∠BDP=6O. 于点M, DE BD ∴.∠MDC=∠A,∠M=∠B. ∴.△BDE为等边三角形. 3题答图 AC=BC.∴.∠A=∠B. ∴BE=BD,∠DBE=60 .∠M=∠MDC. .∠ABC=60°，.∴.∠ABE=∠CBD .CD=CE, ∴.△ABE≌△CBD,AE=CD. .∠CDE=∠CED .·AD=DE+AE.∴，AD=BD+CD 4题答图 :∠M+∠MDE+∠CED=180°， 专项7等腰三角形的常用作辅助线的方法 ∴.∠M+∠MDC+∠CDE+∠CED=180°， 1.证明：(1)如答图，连结AD, ∴.∠MDC+∠CDE=90°， AB=AC,D为BC的中点， 即∠MDE=90°，DE⊥DM. ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C MD∥AB,.DE⊥AB. 又：∠BAC=90 5.证明：(1)如答图，延长ABDE交于点F ∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45o AB∥CD,.∠F=∠2 D ∴.AD=BD …∠1=∠2.∠1=∠F 在△BED和△AFD中， .AD =AF. BE=AF. AD =AB +CD.AF =AB +BF, ∠B=∠DAF, D ∴.DC=FB. BD =AD, 1题答图 5题答图 又：∠DEC=∠FEB, △BED≌△AFD(S.A.S.).∴.ED=DF .△DCE≌△FBE,,BE=CE. (2):△BED≌△AFD,∴∠BDE=∠ADF .∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°， (2)由(I)知△DCE≌△FBE,AD=AF, .DE=EF.AE⊥DE. ∴.∠EDF=90°，∴.ED⊥DF. 2.证明：如答图，作EF⊥AC于点F. (3)DE=EF,AD=AF,.AE平分∠DAB. 6.解：如答图，延长GE交CB的延长线于M. ·31· 八年级数学·华师版（上册） 四边形ABCD是正方形， 证法三如答图③.在BC上截取CE=CM,连结DE. ,AD∥CM, ∠ACD=∠ECD,CD=CD .∠AGE=∠M ∴.△ACD≌ECD. ,E为AB边的中点， ∴.AD=ED,∠BAC=∠DEC .AE=BE.在△AEG和△BEM中， :∠BAC=2∠B, D r∠AGE=∠M. ∠DEC=∠B+∠BDE, 8题答图③ ∠AEG=∠BEM, .∠BDE=∠B. LAE BE, ∴DE=BE, .△AEG≌△BEM(A.A.S.). .AC +AD=CE +DE CE+BE=BC. ∴GE=ME,AG=BM=2. 9.证明：如答图，延长BD到F,使BF=BA,连结 又：EF⊥MG,∴.FG=FM. 6题答图 AF、CF. BF=4,..MF=BF+BM=4+2=6, :∠ABD=60°，∴.△ABF为等边三角形. ∴.GF=FM=6. ∴AF=AB=BF,∠AFB=60. 7.证明：如答图，延长AD到G使DG=AD,连结CG 又AB=AC, :AD为中线， ..AC=AF, .BD=CD. .∠ACF=∠AFC 又，∠ADB=∠CDG,AD=GD 又.∠ACD=60°. 六.△ADB≌△GDC, ∴∠AFB=∠ACD=60°， ,AB=GC.∠EMF=∠G ∴∠DCF=∠DFC. AE=EF,∴.∠EAF=∠EFA 9题答图 7题答图 .DC=DF. :∠EFA=∠CFG,∴.∠G=∠CFG, .BD +DC BD DF BF=AB, ..CF CG...AB=CF. 即BD+DC=AB. 8.证明：证法一如答图①，延长CA至点E,使EA= 1O.解：如答图，在DC上截取DE=BD,连结AE. AD,连结ED,则∠E=∠ADE AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADE=90° ∴.∠BAC=∠E+∠ADE=2∠E. 在△ABD和△AED中，AD=AD,∠ADB=∠ADE, ∠BAC=2∠B, DB=DE,.△ABD≌△AED, .∴∠E=∠B. .AB=AE,.∠B=∠AEB. 又：∠ECD=∠BCD, 又，AB+BD=CD,DE=BD,CD=DE+EC, CD =CD, ∴，AB+DE=DE+EC,∴.AB=EC,∴，AE=EC '.△CDE≌△CDB. 设∠EAC=∠C=x, ∴.CE=CB 8题答图① :∠AEB为△AEC的外角， CE =AC+AE=AC+AD, ∴.∠AEB=∠EAG+∠C=2x,.∠B=2x ∴.AC+AD=BC 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=I80°， 证法二如答图②，延长DA到点E,使AE=AC,连 即2x+120°+x=180°，解得x=20°，∴.∠C=20 结EC,则∠E=∠ACE. ÷.∠BAC=∠E+∠ACE =2∠E. :∠BAC=2∠B B D 10题答图 ,∠B=∠E. D 13.4尺规作图 .BC =EC. 8题答图② 1.作一条线段等于已知线段+2.作一个角等于已知角 :∠ACD=∠BCD, 【基础巩囿练】 ,∠ADC=∠B+∠BCD=∠B+∠ACD 1.B 又，∠DCE=∠ACE+∠AGD=∠B+∠ACD 2.B[解析]由题意可知，正确的作图顺序为：④作 .∠ADC=∠DCE. 射线AM:①在射线AM上作线段AP=a:③在射线 ∴DE=CE. PM上作PQ=b,QB=b:②则线段AB=a+2b.故 .AC +AD =AE +AD=DE CE=BC. 选B. ·32·