专项6 构造全等三角形的两种常用方法&易错疑难集训三-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（华东师大版）

参考答案及解析 ∴.∠AEF+∠FEC=∠DEC+∠FEC, (2)解：成立.证明如下： 即∠AEC=∠DEF :∠BDA=∠BAC=, t∠AEC=∠DEF, .∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=18O°-a, 在△AEC和△DEF中，{∠C=∠F, ,∠CAE=∠ABD. LAE DE, ∠BDA=∠AEC, .△AEC≌△DEF(A.A.S.). 在△ADB和△CEA中 ∠ABD=∠CAE, 4.证明：：BE⊥AC,CD⊥AB, LAB =CA. ∴∠ADC=∠AEB=∠BDO=∠CEO=9O .△ADB≌△CEA(A.A.S.),.AE=BD,AD=CE, r∠BEA=∠CDA, ∴.DE=AE+AD=BD+CE. 在△ABE和△ACD中， ∠A=∠A, 专项6构造全等三角形的两种常用方法 AB=AC, 1.解：如答图，延长AD到点E,使DE=AD,连结CE. .△ABE≌△ACD(A.A.S.). :AD为BC边上的中线， ∴.AD=AE,∠B=∠C,∴BD=EC. ∴BD=CD. r∠BDO=∠CEO, 在△ABD和△ECD中， 在△BD0和△CE0中，DB=EC, AD ED, D l∠B=∠C, ∠ADB=∠EDC, ∴.△BD0≌△CE0(A.S.A.),∴.OB=OC. BD =CD, 1题答图 5.证明：FB=CE, .△ABD≌△ECD(S.A.S.), ∴.FB+FC=CE+FC, .AB=EC=5. .BC=FE. 在△ACE中，由三边关系定理可知EC-AC<AE< AB∥ED,.∠ABC=∠DEF EC+AC. 又：AC∥FD, AE=2AD,.5-3<2AD<5+3,.1<AD<4. ∠ACB=∠DFE. 点拨 r∠ABC=∠DEF, 把中线AD加倍延长至点E,可以构造△ABD≌ 在△ABC和△DEF中，BC=EF, △ECD,可得AB=EC.在△ACE中，利用三边关 T∠ACB=∠DFE, 系定理便可确定AE的取值范围，从而确定AD .△ABC≌△DEF(A.S.A.), 的取值范围 ∴，AB=DE,AC=DF 2.证明：如答图，延长AE至F,使EF=AE,连结DF 6.证明：：四边形ABCD是平行四边形， :点E为BD的中点， ,AB∥CD, ∴BE=DE. ∴.∠AFN=∠CEM, 又∠BEA=∠DEF,AE=FE, tAF=CE, .△ABE≌△FDE. 在△AFN和△CEM中，∠AFN=∠CEM, .AB=FD,∠B=∠BDF,∠BAE=∠F LFN=EM, CD=AB,∴.DF=DC. ∴.△AFN≌△CEM(S.A.S.), :∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADF=∠BDA+∠BDF, .∴∠ANF=∠CME, ∠BAD=∠BDA,∠B=∠BDF, ∴，AN∥CM. ∴∠ADC=∠ADF 7.(1)证明：BD⊥直线m,CE⊥直线m, 又DF=DC,AD=AD, ∴.LBDA=∠CEA=90 .△ADF≌△ADC..∠C=∠F. ∠BAC=90°，∴.∠BAD+∠CAE=90 又：∠BAE=∠F,∴.∠C=∠BAE. :∠BAD+∠ABD=90°，∴.∠CAE=∠ABD. r∠BDA=∠AEC, 在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE, LAB =CA, .△ADB≌△CEA(A.A.S.),.BD=AE,AD=CE, .DE=AE +AD=BD CE. 2题答图 ·25· 八年级数学·华师版（上册） 3.证明：如答图，过点C作CF⊥AD于点F,过点B作 ∴△AGB≌△AED(A.S.A.).∴.AG=AE,BG=DE. BG⊥AD,交AD的延长线于点G rAG=AE, ∴.∠G=∠CFD=90°， 在△AGF和△AEF中， ∠GAF=∠EAF, :AD是△ABC的中线， LAF =AF, .BD CD. .△AGF≌△AEF(S.A.S.）.∴GF=EF 又：∠BDG=∠CDF, .BG+BF EF..DE BF EF. ∴△BDG≌△CDF. D G BG=CF. 在Rt△BGE和RL△CFA中， 3题答图 D E:CE,R△BGE≌R△CFA(HL人 ∴.∠BED=∠DAC. B P 4.解：BC=BE+CD. 5题答图 证明：在BC上取一点G,使CG=CD,连结OG 6.证明：如答图，在AC上取点F,使AF=AE,连结OF BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB, ·AD平分∠BAC,∠EAO=∠FAO ∴，∠ABD=∠CBD,∠ACE=∠BCE. AE =AF, :∠A=60°，.∠ABC+∠ACB=120° 在△AE0和△AFO中， ∠EAO=∠FAO, ∴.∠OBC+∠OCB=60. A0=A0, ∴.∠BOE=∠COD=∠OBC+∠OCB=60. .△AEO≌△AFO(S.A.S.),∴.∠AOE=∠AOF :CE平分∠ACB,.∠ECA=∠ECB, ·LOAC+∠OCA=Z(LBAC+LACB) =2(180-∠B)=60 G 4题答图 :∠AOE是△AOC的外角， CD =CG. .∠AOE=∠OAC+∠OCA, 在△CD0和△CG0中， ∠OCD=∠0CG, ∠AOE=∠AOF=60°， LOC=0C, ∠AOE=∠COD,∴.∠C0F=∠C0D=60° .△CD0≌△CGO(S.A.S.), r∠OCF=∠OCD, .∠COD=∠C0G=60°， 在△CF0和△CD0中，C0=C0, ∴.∠B0G=180°-∠B0E-∠C0G=60. L∠COF=∠COD. .∴∠EOB=∠GOB. .△CF0O≌△CDO(A.S.A.),CF=CD. r∠EOB=∠GOB, AF+CF=AC,∴，AE+CD=AC 在△BOE和△BOG中，B0=B0, L∠EBO=∠GBO. .△BOE≌△BOG(A.S.A.)..BE=BG .BC=BG+CG=BE+CD. 5.解：DE+BF=EF. 证明：延长CB至G,作∠5=∠1，如答图. D 6题答图 将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC, ∠EMP=∠DMB, :区点拨 .AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠2+∠3=∠1+∠4. 解题的关键是采用截长的方法构造全等三 ∠5=∠1，∴.∠2+∠3=∠4+∠5. 角形.利用“S.A.S.”直接证明两个三角形全 .∠GAF=∠EAF. 等，由∠B=60°和两条内角平分线的条件可以 r∠5=∠1， 得到∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60°， 在△AGB和△AED中 AB =AD, 再证明△CFO≌△CDO,然后等量代换可得 ∠ABG=∠ADE, 结论 ·26· 参考答案及解析 易错疑难集训三 6解：题中的证明过程有错误，没有“AS.S.”这个判定两 1.②④ 个三角形全等的方法 2.D[解析]△ABC和△DEF全等，∴.△ABC和 正确的证明过程如下： △DEF的周长相等，∴，△ABC的周长为奇数，又AB 如答图，过点C、F分别作CM⊥AB于点M,FN⊥DE =2,BC=4,∴，AC的长为奇数.根据三角形的三边 于点N 关系，得4-2<AC<4+2,即2<AC<6,AC=3 或5.，：AB与DE是对应边，.DF的对应边是AC 或BC,∴DF=3或4或5. :区易错分析… 本题的易错之处是没有进行分类讨论，虽 然AB与DE是对应边，但另两边的对应关系不 6题答图 明确，因此需要分类讨论求解.“全等”与“≌” FB=CE,∴.BC=EF 意义不一样，“一”表示对应关系已经确定，而 CM⊥AB,FN⊥DE, “全等”中的对应关系不确定，因此，当题中出 .∠CMB=∠CMA=∠FND=∠FNE=90°. 现“全等”时，应分类讨论进行解答，否则容易 在△BCM和△EFN中， 漏解 :∠B=∠E,∠CMB=∠FNE,BC=EF, 3.4 [解析] ·△BCM≌△EFN(A.A.S.), ∠A=∠B=90 CM⊥AB,DB⊥AB ∴.CM=FN,BM=EN BP=x m.BO=2xm. 在Rt△ACM和Rt△DFN中， AP=(12-r)m 设运动时间为xmin 分情况 .AC DF,CM FN, 讨论 BP=ACx=4 -AP=BQ-8m△CAP≌△PBQ .Rt△ACM≌Rt△DFN(H.L.), △CAP与 .AM DN, BP=AP+x=6BQ=12m≠AC △QBP不全等 ∴.AM+BM=DN+EN,即AB=DE. 4正明：如答图，过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于 13.3等腰三角形 点F 1.等腰三角形的性质 DE⊥AB,DF⊥AC, 课时1等腰三角形的性质 ·.∠BED=LAED=∠CFD=∠AFD=9O ∠BED=∠CFD. 【基础巩围练】 在△BDE和△CDF中，{∠1=∠2， 1.C BD =CD, 2.C[解析].AB=AC,∠ABC=∠ACB.∠OBC ∴.△BDE≌△CDF(A.A.S.).∴.DE=DF =∠0CA,.∠0CB=∠0BA.∠A=70°，.∠ABC 在R△ADE和R△MDF中，DE=DF, 「AD=AD, =∠ACB=55°，∴.∠OBC+∠OCB=55°，.∠B0C =125 ∴.Rt△ADE≌Rt△ADFH.L). 3.B[解析]∠B=85°，LACB=45°，.∠BAC= ∠DAE=∠DAF.∴AD平分LBAC 180°-85°-45°=50°.AB∥CD,.∠ACD= ∠CAB=50°.AD=AC,.∠D=∠ACD=50°.故 选B. 4.解：设∠B=x.:AB=AC,∴∠C=xAC=CD, .∠CAD=∠CDA. AD=BD,∴.∠BAD=∠B=x 4题答图 由三角形的外角性质，得∠CDA=∠B+∠BAD= 5.A 2x,.∠CAD=2x :《易错分析 在△ACD中，∠C+∠CAD+∠CDA=180°， 实际上本题的条件“BD=CE”多余，在证明两 ,x+2x+2x=180°，解得x=36°， 个三角形全等时，一定要按照“S.AS.”“A.S.A.” ∠B=∠C=36°，∠BAC=180°-36°-36°=108°， “A.A.S,”“S.S.S.”和“H.L”五种方法证明，不能 ∴，△ABC的三个内角的度数分别是108°，36°，36°. 独创其他方法，如“AA.A”“S.S.A”“AS.S”这 5.D 些力法都是想当然的，不能成立 6.B ·27.第13章全等三角形 专项6构造全等三角形的两种常用方法 [警案25] 类型⑨“倍长中线法”构造全等三角形 类型②“截长补短法”构造全等三角形 ①如图，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线， ④如图，在△ABC中，∠A=60°，BD,CE分别平分 AB=5,AC=3,求AD的取值范围。 ∠ABC和∠ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、 CD、BC的数量关系，并加以证明. 0 D 1题图 4题图 2如图，在△ABC中，点E,D在BC边上，CD=AB,I⑤如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E、F ∠BAD=∠BDA,点E是BD的中点 求证：∠C=∠BAE. 分别为DC,BC边上的点，且∠EF=)∠DMB 试猜想DE,BF、EF之间的数量关系，并证明你 的猜想 2题图 5题图 3如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一 6如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角 点，且BE=AC.求证：∠BED=∠DAC. 平分线AD、CE相交于点O.求证：AE+CD=AC 0 3题图 D 6题图 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 a53 八年级数学·华师版（上册） 易错疑难集训三 [答案27] 圆衢题温①对全等三角形的对应关系理解不⑤如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别是AC、 透彻 AB的中点，BD=CE,BD、CE交于点O.求证： △ABD≌△ACE.小明和小聪、小颖三人的证明 ①如图，△ABC≌△CDA. 过程如下， 下列结论：①AB与AD是对应边： ②AC与CA是对应边： ③∠BAC与∠DAC是对应角： ④∠CAB与∠ACD是对应角. 其中正确的是 .(填序号) 5题图 小明：，AB=AC,点D,E分别是AC、AB的中点， .AD=AE.又∠A=∠A,AB=AC,∴.△ABD≌ △ACE(S.A.S.). 小聪：·AB=AC,点DE分别是ACAB的中点， 1题图 .AD=AE.又BD=CE,AB=AC,,△ABD 易细贤递点②误用全等三角形的判定方法 △ACE(S.S.S.). 2(重庆江津奥验中学翔中)△ABC和△DEF全 小颖：AB=AC,BD=CE,∠A=∠A. 等，AB与DE是对应边，AB=2,BC=4,若△DEF .△ABD≌△ACE(S.S.A.). 的周长为奇数，则DF= ( 对于三位同学的证明方法，正确的是() A.3 B.4 A.小明、小聪 B.小明、小颜 C.3或5 D.3或4或5 C.小聪、小颖 D.小明、小聪、小颖 ③（石宋庄期末）如图，AB=12m,CA⊥AB于点A,6如图，已知点B、C、F、E在同一条直线上，FB= DB⊥AB于点B,且AC=4m,P点从B向A运 CE,AC=DF,∠B=∠E.求证：AB=ED 动，速度为1m/min,Q点从B向D运动，速度为 下面是李小虎同学证明的过程： 2m/min,P、Q两点同时出发，运动 min FB=CE,∴，FB-FC=CE-FC,即BC=EF 后，△CAP与△PBQ全等， 又，AC=DF,∠B=∠E, D .△ABC≌△DEF(A.S.S.),AB=ED 上面的证明过程是否有错误？若有，请指出来， 并给出正确的证明过程。 3题图 侵错题遮息③误用“S,S.A.”证明三角形全等 4如图，在△ABC中，BD=CD,∠1=∠2.求证：AD 6题图 平分∠BAC. 4题图 54g 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩