专项5 全等三角形的基本模型-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（华东师大版）

第13章 全等三角形 专项5 全等三角形的基本模型 [答案 P24] 类型平移模型 类型②对称模型 ②模型展示).- ①模型展示 #_A_△# #△0#分# 证明三角形全等的关键: (1)加(减)共线部分得到相等线段 证明三角形全等的关键 (2)利用平行线性质找对应角相等 (1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角 相等; (2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等 将两个三角形如图摆放,点B、C、E、F在同一直 条件得对应边相等 线上.BC=EF,AC1 BC 于点C,DF1 EF 于点 F,AC=DF. 求证:△ABC△DEF 如图,已知 AEF= DEC,AE=DE, C= F$ 求证:△AEC△DEF 1题图 3题图 如图,AB=AC,BE1AC于点E.CD1AB于点D. BE.CD交于点0.求证:0B=0C 如图,点EC在BF上.BE=CF.AB=DE, B 乙DEF,写出AC与DF的关系并证明. 4题图 2题图 见此图标限抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 八年级数学·华师版(上册) 类型③不共顶点旋转模型 类型④一线三等角模型 提型展示 模型展示一. ##4## ##_## ### 证明三角形全等的关键: 通过“三等角”信息得到一组相等的角,另找一条边 (1)共顶点:加(减)共顶点的角的共角部分得一组 相等,即可证全等 对应角相等; (2)不共顶点:①加(减)共线部分CF得BC=EF; 7 ②利用平行线性质找对应角相等 (1)如图①.在△ABC中, BAC=90*,AB=AC ...................... 直线m经过点A.BD1直线m.CE1直线m. 垂足分别为点D.E.求证:DE=BD+CE; 5 如图,点B、F、C、E在一条直线上.FB=CE. (2)如图②,将(1)中的条件改为在△ABC中 AB//ED.AC/FD.求证:AB=DE,AC=DF. AB=AC.D、A、E三点都在真线m上,且有 BDA= AFC= BAC=a.其中g为任意$$ 钝角,请问结论DE=BD+CE是否成立?若 成立,请给出证明;若不成立,请说明理由: 5题图 #### 7题图① 7题图② 如图,在口ABCD的边AB、CD上截取线段AF CE.使AF=CE.连结EF.M、N是线段EF 上的 两点:具EM=FN.连结AN.CM.求证:AN//CM 6题图 52 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩八年级数学·华师版（上册） 【能力捉升练】 ∴.△ABD≌△ACE(S.A.S.),BD=CE 1.C[解析]AF=BE,∴AF-EF=BE-EF,即AE= (2)由(1)得∠ABD=∠ACE. BF又CE⊥AB,DF⊥AB.∴△ACE和△BDF均为直 又.∠AGB=∠CGF,∴.∠BFC=∠BAC=60°. 角三角形.在R△ACE和R△BDF中，E-BE .∠BFE=120 如答图，过A作BD,CF的垂线段分别交于点M、N .Rt△ACE≌Rt△BDF(H.L.), △ABD≌△ACE,BD=CE, ∠A=∠B.∠C=35°，.∠A=90°-35°=55°， .由面积相等可得AM=AW ,∠B=55 [AF=AF. [PS=PR, 在Rt△AFM和Rt△AFN中， 2.B[解析]在R△APR和R△△APS中， AM =AN. AP=AP. ∴Rt△AFM≌Rt△AFN(H.L.). .Rt△APR≌Rt△APS(H.L.),.AR=AS,①正骑： ∴.∠AFM=∠AFN. [PR=PS, PR=PS,在Rt△BRP和Rt△QSP中， :∠BFC=∠AFB=∠AFE=60 BP=PO. .Rt△BRP≌Rt△QSP(H.L),.BR=QS,,AB+ AQ=2AR,故③正确.无法得出∠APQ=∠BAP 所以得不出PQ∥AB,故②错误.故选B. D 3.12[解析]连结BE.:∠C=90°，DE⊥AB,在 5题答图 △E本△nE中，：低B△CE 题型变式 R△BDE(H.L.),.CE=DE.设BC=BD=x. 1.证明：AE⊥BC,DF⊥BC, △ABC的周长为36，△ADE的周长为12，，BC+ .∠AEB=∠DFC=90. BD +CE +AD+AE BC+BD+DE +AD +AE=x+ [AB=DC, x+12=36,解得x=12,即BC=12.故答案为12. 在R△ABE和R△DCF中，AE=DF. 4.证明：(1)DE⊥AB,∠AED=90°=∠C. ∴.R1△ABE≌Rt△DCF(H.L.）. AD平分∠BAC, ∴.∠ABE=∠DCF. ∴.∠EAD=∠CAD. AB=DC. r∠EAD=∠CAD, 在△ABC和△DCB中， ∠ABC=∠DCB, 在△EAD和△CAD中， ∠AED=∠C, BC CB, LAD=AD .△ABC≌△DCB(S.A.S.),.AC=DB. ,△EAD≌△CAD(A.A.S.), 专项5全等三角形的基本模型 ,.CD=ED.在Rt△CDF和Rt△EDB中， 1.证明：AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F, [DF =DB. ∴.∠ACB=∠DFE=90°. CD ED, BC =EF. .Rt△CDF≌Rt△EDB(H.L.), 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠DFE, ∴.CF=EB. LAC DF, (2)R△CDF≌RL△EDB, ∴.△ABC≌△DEF(S.A.S.). ,∴·∠CBA=∠CFD 2.解：AC与DF的数量关系相等，位置关系是平行 ∠AFD+∠CFD=180° 证明：BE=CF, .∠CBA+∠AFD=180°. .BE EC CF +EC.BC EF. 5.证明：(1)，AD绕点A逆时针旋转60°得到AE, AB DE, ∴.AD=AE,∠DAE=60 在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF, ∠BAC=60°，，∠BAC=∠DAE. BC=EF, ∴.∠BAD=∠CAE. ,.△ABC≌△DEF(S.A.S.). AB=AC, ∴AC=DF,∠ACB=∠DFE.∴.AC∥DF, 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE, ∴AC与DF的数量关系是相等，位置关系是平行. AD =AE, 3.证明：∠AEF=∠DEC, ·24· 参考答案及解析 .∠AEF+∠FEC=∠DEC+∠FEC. (2)解：成立.证明如下： 即∠AEC=∠DEF :∠BDA=∠BAC=a, r∠AEC=∠DEF, .∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=I80°-， 在△AEC和△DEF中，∠C=∠F .∠CAE=∠ABD LAE DE, ,∠BDA=LAEC, △AEC≌△DEF(A.A.S.). 在△ADB和△CEA中 ∠ABD=∠CAE, 4.证明：：BE⊥AC,CD⊥AB, LAB=CA. ,∴.∠ADC=∠AEB=∠BDO=∠CEO=90° ∴.△ADB≌△CEA(A.A.S.),∴.AE=BD,AD=CE, r∠BEA=LCDA, .∴DE=AE+AD=BD+CE. 在△ABE和△ACD中， ∠A=∠A, 专顶6构造全等三角形的两种常用方法 LAB =AC, 1.解：如答图，延长AD到点E,使DE=AD,连结CE .△ABE≌△ACD(A.A.S.). AD为BC边上的中线， ∴，AD=AE,∠B=∠C,∴.BD=EC :BD=CD. r∠BDO=∠CEO, 在△ABD和△ECD中， 在△BD0和△CEO中，DB=EC, AD ED. D l∠B=∠C, ∠ADB=∠EDC, ÷.△BD0≌△CEO(A.S.A.),.OB=0C BD CD. 1题答图 5.证明：FB=CE, ∴△ABD≌△ECD(S.A.S.). ∴.FB+FC=CE+FC, .AB=EC=5. ∴，BC=FE. 在△ACE中，由三边关系定理可知EC-AC<AE< AB∥ED,∠ABC=∠DEF EC +AC. 又：AC∥FD. AE=2AD.5-3<2AD<5+3,.1<AD<4. ,∠ACB=∠DFE. 点拔 r∠ABC=∠DEF, 把中线AD加倍延长至点E,可以构造△ABD≌ 在△ABC和△DEF中 BC=EF, △ECD,可得AB=EC.在△ACE中，利用三边关 I∠ACB=∠DFE, 系定理便可确定AE的取值范围，从而确定AD .△ABC≌△DEF(A.S.A.), 的取值范围。 ∴.AB=DE,AC=DF 2.证明：如答图，延长AE至F,使EF=AE,连结DF 6.证明：：四边形ABCD是平行四边形， 点E为BD的中点， .AB∥CD, .BE DE. ∴.∠AFN=∠CEM, 义∠BEA=∠DEF,AE=FE, rAF=CE. ∴.△ABE≌△FDE. 在△AFN和△CEM中， ∠AFN=∠CEM. ∴.AB=FD,∠B=∠BDF,∠BAE=∠F LFN =EM, CD=AB,..DF DC. ∴.△AFN≌△CEM(S.A.S.), :∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADF=∠BDA+∠BDF, .∠ANF=∠CME. ∠BAD=∠BDA,∠B=∠BDF, ,AN∥CM. ·.∠ADC=∠ADF. 7.(1)证明：，BD⊥直线m,CE⊥直线m, 又：DF=DC,AD=AD ,∠BDA=∠CEA=90° .△ADF≌△ADC..∠C=∠F ∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90 又∠BAE=∠F,.∠C=∠BAE :∠BAD+∠ABD=90°，∴.∠CAE=∠ABD r∠BDA=∠AEC. 在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE, LAB =CA, △ADB≌△CEA(A.A.S.),∴.BD=AE,AD=CE, ∴，DE=AE+AD=BD+CE. 2题答图 ·25·