精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

高一年级第二次月考数学试题 出题人：张利艳 审题人：王艳敏 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解. 详解】集合，而， 所以. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可. 【详解】函数的定义域应满足： ，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将特称命题否定为全称命题即可. 【详解】特称命题的否定为存在命题，存在变任意，范围不变，结论变相反. 则命题“，”的否定是 “，.” 故选：C. 4. 以下函数，在区间内存在零点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理判断. 【详解】对于A，不确定； 对于B，单调增，且，所以无零点； 对于C，，在区间内必有零点； 对于D，单调增，且.所以必无零点. 故选：C. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过指数、对数函数单调性，计算得到，，得到大小关系. 【详解】，. 故. 故选：A 6. 已知，函数的图象经过点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象经过点得到，再结合基本不等式“1”的妙用方法计算即可. 【详解】函数的图象经过点，则，即， 又，. 当且仅当取等号.即取等号. 故选：D. 7. 已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定由和复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】解：令，则，即由和复合而成， 而在上单调递增， 故要使得函数在上单调递减， 需满足在上恒成立，且在上单调递减， 即，解得，即， 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的根为和 C. 函数的零点为和 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由二次函数的图像可知，二次不等式解集的两端点是对应方程的两根，是对应函数的两个零点，开口方向影响解集是两根之间还是两根之外，由韦达定理得到其他系数的正负. 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以对应函数开口向上，故，所以A选项正确； 因为二次不等式解集的两端点是对应方程的两根，所以的根为和，B选项正确； 因为二次不等式解集的两端点是对应函数的两个零点，所以函数的零点为和，C选项错误； 因为，所以且，所以，D选项错误. 故选：AB 10. 若函数且在上为单调函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数与一次函数的性质得到不等式组，需注意断点处函数值的大小关系； 【详解】因为函数（且）在上为单调函数， 所以或，解得或， 所以满足条件的有ABD. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列四个结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 图象上存在两点关于点对称 C. 的值域是 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据以及复合函数的单调性可知在(0，1)上单调递增判断A是正确的；根据在(0，1)上单调递增，在上单调递减，可知的值域为判断C是正确的；根据可知的图象关于直线对称判断D是正确的；利用反证法可知的图象上存在两点关于点(1，0)对称是错误的. 【详解】因为的定义域为，且， 又因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，故正确； 假设的图象上存在两点、关于点(1，0)对称，则， 所以，消去得， 将代入得， 所以，所以， 所以，从而，这与相矛盾，故假设不成立， 所以的图象上不存在两点关于点对称，故B不正确. 因为函数单调性，得出时，取得最大值， 当时，，， 所以的值域为，故C正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 计算______； 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据对数运算法则计算即可. 【详解】， 故答案为：. 13. 若幂函数在第一象限内单调递减，则_______. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及单调性，列式计算即得. 【详解】解：由幂函数在第一象限内单调递减， 得，解得， 所以. 故答案为： 14. 已知，定义表示不小于x的最小整数，若，则正数x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，即，对的范围进行讨论得出答案． 【详解】解：， ， 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 . (1) 求函数的定义域; (2) 求证在上是减函数; (3) 求函数的值域. 【答案】（1），（2）证明见解析，（3） 【解析】 【分析】（1）要是对数式有意义则只要真数大于零即可． （2）利用单调性的定义证明即可． （3）利用换元法，令（）则，再利用二次函数的性质求出的取值，从而可求出函数的值域． 【详解】（1）解：由，得，解得， 所以函数的定义域为 （2）证明：设, 则, , ，∴ , , ∵在上递增， . 在上是减函数. （3）由（1）可知函数的定义域为 令（）则， 因为，， 所以， 所以，即， 所以函数的值域为 16. 阅读下面材料： 由于， 设，，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，，③ 由②得④， 把③代入④得. （1）仿照上述过程，证明：； （2）已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 【答案】（1）证明见解析； （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据，结合材料即可证结论； （2）应用换底公式写出，，再由对数运算性质求结果. 【小问1详解】 由①知：， 将③代入上式，有，得证. 【小问2详解】 由题设，，， 所以. 17. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于，设，的面积为． （1）求的解析式及定义域； （2）求的最大值． 【答案】（1）（2）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用周长，可以求出的长，利用平面几何的知识可得，再利用勾股定理，可以求出的值，由矩形的周长为，可求出的取值范围，最后利用三角形面积公式求出的解析式； （2）化简（1）的解析式，利用基本不等式，可以求出的最大值． 【详解】（1）如下图所示： ∵设，则， 又， 即， ∴，得 ， ∵， ∴， ∴的面积． （2）由（1）可得， ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最大值为，此时． 【点睛】本题考查了求函数解析式，考查了基本不等式，考查了数学运算能力. 18. 已知函数为奇函数. （1）求常数的值； （2）若，试比较与的大小； （3）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由于为奇函数，可得，即可得出； （2）利用对数函数的单调性和不等式的性质通过作差可得答案； （3）利用（2）中函数的单调性、指数函数的单调性即可得答案． 【小问1详解】 为奇函数 ， 即， ，即，整理得． (使无意义,舍去）； 小问2详解】 ． ． 当时，， ， 从而， 即． 所以； 【小问3详解】 由（2）知，在递增， 所以在上单调递增． 在区间上没有零点， ． 或， 或． 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由； （3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【答案】（1）“上位点”，“下位点”；（2）是，证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）先由推导出，结合（2）中的结论，可得，，满足条件，可得出的最小值. 【详解】（1）对于平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. 点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）点是点的“上位点”，，. ， 点是点的“下位点”， ， 点是点的“上位点”； （3）若正整数满足条件，在,时恒成立， 即， 所以所以， 所以，在,时恒成立， 所以， 又由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 因此，的最小值为4039． 【点睛】本题考查的知识点是新定义“上位点”和“下位点”，同时也考查了利用作差法比较两数的大小关系，解题的关键就是对题中新定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第二次月考数学试题 出题人：张利艳 审题人：王艳敏 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 以下函数，在区间内存在零点的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A B. C. D. 6. 已知，函数的图象经过点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 7. 已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的根为和 C. 函数的零点为和 D. 10. 若函数且在上为单调函数，则值可以是（ ） A. B. C. D. 2 11. 已知函数，则下列四个结论正确是（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象上存在两点关于点对称 C. 的值域是 D. 的图象关于直线对称 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 计算______； 13. 若幂函数在第一象限内单调递减，则_______. 14. 已知，定义表示不小于x的最小整数，若，则正数x的取值范围为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 . (1) 求函数的定义域; (2) 求证在上是减函数; (3) 求函数的值域. 16. 阅读下面材料： 由于， 设，，① 于是.② 根据对数定义，由①得，，③ 由②得④， 把③代入④得. （1）仿照上述过程，证明：； （2）已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 17. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于，设，的面积为． （1）求的解析式及定义域； （2）求的最大值． 18. 已知函数为奇函数. （1）求常数的值； （2）若，试比较与的大小； （3）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围. 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由； （3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $