数学（江苏卷02）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（江苏卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】由得， 两边乘以得，所以，故选C 2．已知集合，则的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，又，所以，故选B． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，， 所以，故选B. 4．圆台的上、下底面半径分别是，，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，因为圆台的，，且高，母线长是5， 故圆台的侧面积，故选C. 5．命题P：，，…，的平均数与中位数相等；命题Q：，，…，是等差数列，则P是Q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，，…，是等差数列，所以， 而中位数也是，所以，，…，的平均数与中位数相等， 即，是的必要条件； 若数据是，则平均数和中位数相等，但，，…，不是等差数列， 所以推不出，所以不是的充分条件； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（    ）（参考数据:） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】设至少经过个小时才能驾驶， 则由题意得，则， 所以， 所以他至少经过6个小时才能驾驶. 故选：C. 7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】 因为双曲线，则其渐近线方程为， 且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点， 则直线方程为，联立直线方程，解得， 所以，过点作轴的垂线，交轴于点， 因为，则， 则，且， 即，化简可得，则. 故选：C 8．已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为为奇函数，则， 即，可知的图象关于点对称， 可得，即， 可知的图象关于对称，则， 又因为为奇函数，则， 可得，可知的周期为4， 所以. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据（见表格），若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 1 A． B．当时的残差为 C．样本数据y的40百分位数为1 D．去掉样本点后，y与x的相关系数不会改变 【答案】BD 【解析】由，，所以样本中心点为， 对于A，将它代入，得，解得，故A错误； 对于B，当时，，所以残差为，故B正确； 对于C，样本数据的第40百分位数为，故C错误； 对于D，由相关系数公式可知，， 所以5组样本数据的相关系数为： ， 去掉样本中心点后相关系数为： ， 所以去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变，故D正确. 故选：BD. 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点作斜率为的直线与轴相交于点，与交于两点，且，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与抛物线的准线有公共点 D．以为直径的圆与拋物线的准线没有公共点 【答案】AD 【解析】设直线方程为，即，则， 由，消去整理得， 则，, 由可得，，则，整理得， 所以，解得，. 又因为直线过，所以，即， 验证 ，与抛物线有两个交点.故A正确，B错误； 可知：准线方程为，直线的方程：， 由弦长公式得， 则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线没有公共点，C错误，D正确． 故选：AD． 11．在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（    ） A． B．四面体的体积的最大值为 C．棱的长的最小值为 D．四面体的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】对于：假设，设的中点为，因为为正三角形，所以， 又，，平面，故平面， 又平面，故，而题中并不能得到，故假设不成立， 所以不一定垂直，故选项错误； 对于：要使最大，只需三棱锥高最大，设三棱锥的高为， 易知当为等边三角形时，高最大， 此时的最大值为，故选项正确； 对于：由选项中可知，最大时最小， 故的最小值为，故选项正确； 对于：设的外心为，为的中点， 则由正弦定理得， 设过与平面垂直的直线为，过作于点，则， 则外接球球心在上，只需， 又，， 设，由，可得，解得， 所以， 所以四面体的外接球的表面积为，故选项正确． 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】根据题意得， ． 因为， 所以，解得． 13．已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是 .（写出一个满足条件的即可） 【答案】（写出一个满足条件的即可） 【解析】若，此时的斜率为. 设的方程为，则点到的距离，解得， 因此的方程为或. 若经过的中点， 当的斜率不存在时，此时的方程为，满足与圆相切； 当的斜率存在时，设其方程为， 则点到直线的距离，解得，此时直线的方程为. 14．高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧.因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞之间至少要有一名同学的规则.高三(一)班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞.则添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为 【答案】1 【解析】由题意可设高三(一)班共有七名女生坐成一排依次为， 由于两侧已经摆好了两个遮阳伞，则1，7一定晒不到， 现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞，即在7位同学之间形成的空中选3个放置，共有种放法； 设晒黑女生人数为X，则X可能取值为0，1，2， 时，若12之间放一把伞，则另外2把分别放在34，56之间， 若23之间放一把伞，则另外1把分别放在56之间，第三把放在34或45之间， 若67之间放一把伞，则另外2把分别放在23，45之间， 则； 时，被晒的人若是2，则23之间没有伞，34之间必有一把伞，其余2把伞有3种放法， 同理被晒的人若是6，则67之间没有伞，45之间必有一把伞，其余2把伞有3种放法， 被晒的人若是3或4或5，此时3把伞均有2种放法， 故， ， 故晒黑女生人数的数学期望为, 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【解】（1）由题设得，即.由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 16．（本小题满分15分）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解】（1）连接，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由，，知，， 则，又四点共面，所以， 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由为的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，，则平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）（法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 则， 由平面平面知直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取，得， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 又，则时，的最大值为． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （法二）在直三棱柱中，底面， 因为底面，所以， 由（1）知，，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作交于， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽，且正方形的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中， 过作交于，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 17．（本小题满分15分）已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由椭圆的对称性知，，，三点在椭圆C上， 故，，得，从而椭圆C的方程为． （2）直线MN过定点，证明如下： 假设存在，不妨设直线、、MN的斜率分别为，，k，满足， 设直线MN的方程为（），且，， 与椭圆C的方程联立，得， 则，即（*）， 且 那么， 化简得，， 即整理得：， 解得或，当时，中一点与重合，故舍去， 故直线MN过定点．    18．（本小题满分17分）已知函数. (1)时，求的零点个数; (2)若恒成立，求实数的最大值; (3)求证:. 【解】（1）当时，，则， 所以，令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 当时，，所以在上为增函数， 当时，，所以在上为减函数， 又，， 且时，，则存在，，使得， 所以有两个零点. （2）令由，得， 令所以， 令，可得， 所以在上为增函数，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以恒成立，所以实数的最大值是实数； （3）因为， 由（2）可得，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 19．（本小题满分17分）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． (1)求随机变量的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求证：． 【解】（1）由题可知的可能取值为0，1，2， 根据相互独立事件的概率公式得到：即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则 ， 的分布列为： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即，即，， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ， 即的通项公式； （3） ， 所以 得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（江苏卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．已知集合，则的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．圆台的上、下底面半径分别是，，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 5．命题P：，，…，的平均数与中位数相等；命题Q：，，…，是等差数列，则P是Q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（    ）（参考数据:） A．8 B．7 C．6 D．5 7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 8．已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（    ） A．0 B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据（见表格），若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 1 A． B．当时的残差为 C．样本数据y的40百分位数为1 D．去掉样本点后，y与x的相关系数不会改变 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点作斜率为的直线与轴相交于点，与交于两点，且，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与抛物线的准线有公共点 D．以为直径的圆与拋物线的准线没有公共点 11．在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（    ） A． B．四面体的体积的最大值为 C．棱的长的最小值为 D．四面体的外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，且，则实数的值为 ． 13．已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是 .（写出一个满足条件的即可） 14．高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧.因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞之间至少要有一名同学的规则.高三(一)班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞.则添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 16．（本小题满分15分）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 17．（本小题满分15分）已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分17分）已知函数. (1)时，求的零点个数; (2)若恒成立，求实数的最大值; (3)求证:. 19．（本小题满分17分）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． (1)求随机变量的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（江苏卷）02 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B C B C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．（写出一个满足条件的即可） 14．1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由题设得，即.由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 16．（本小题满分15分） 【解】（1）连接，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由，，知，， 则，又四点共面，所以， 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由为的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，，则平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）（法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 则， 由平面平面知直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取，得， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 又，则时，的最大值为． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （法二）在直三棱柱中，底面， 因为底面，所以， 由（1）知，，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作交于， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽，且正方形的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中， 过作交于，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由椭圆的对称性知，，，三点在椭圆C上， 故，，得，从而椭圆C的方程为． （2）直线MN过定点，证明如下： 假设存在，不妨设直线、、MN的斜率分别为，，k，满足， 设直线MN的方程为（），且，， 与椭圆C的方程联立，得， 则，即（*）， 且 那么， 化简得，， 即整理得：， 解得或，当时，中一点与重合，故舍去， 故直线MN过定点．    18．（本小题满分17分） 【解】（1）当时，，则， 所以，令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 当时，，所以在上为增函数， 当时，，所以在上为减函数， 又，， 且时，，则存在，，使得， 所以有两个零点. （2）令由，得， 令所以， 令，可得， 所以在上为增函数，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以恒成立，所以实数的最大值是实数； （3）因为， 由（2）可得，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 19．（本小题满分17分） 【解】（1）由题可知的可能取值为0，1，2， 根据相互独立事件的概率公式得到：即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则 ， 的分布列为： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即，即，， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ， 即的通项公式； （3） ， 所以 得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（江苏卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．已知集合，则的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．圆台的上、下底面半径分别是，，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 5．命题P：，，…，的平均数与中位数相等；命题Q：，，…，是等差数列，则P是Q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（    ）（参考数据:） A．8 B．7 C．6 D．5 7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 8．已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（    ） A．0 B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据（见表格），若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 1 A． B．当时的残差为 C．样本数据y的40百分位数为1 D．去掉样本点后，y与x的相关系数不会改变 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点作斜率为的直线与轴相交于点，与交于两点，且，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与抛物线的准线有公共点 D．以为直径的圆与拋物线的准线没有公共点 11．在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（    ） A． B．四面体的体积的最大值为 C．棱的长的最小值为 D．四面体的外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，且，则实数的值为 ． 13．已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是 .（写出一个满足条件的即可） 14．高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧.因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞之间至少要有一名同学的规则.高三(一)班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞.则添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 （1）求; （2）若求△ABC的周长. 16．（本小题满分15分）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 17．（本小题满分15分）已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分17分）已知函数. （1）时，求的零点个数; （2）若恒成立，求实数的最大值; （3）求证:. 19．（本小题满分17分）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． （1）求随机变量的分布列； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$