三 平行与相交

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 三、平行与相交 平行的特征及性质 1.平行的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 如上图：a与 b互相平行，记作 a∥b，读作 a 平行于 b，也可以记作 b∥a，读作 b 平行于 a。 2.生活中平行的例子： 铁路两边的铁轨 栏杆 电线 （一）平行的特征及性质 （二）画平行线 （三）垂直的特征 （四）画垂线 （五）点到直线的距离 一、基础知识讲解 a b a b a b 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 二、考法技法提炼 3.平行的性质：平行线之间的距离处处相等。平行线间可以画无数条垂线且长度都相等， 4.平行的判定： 考法：运用平行的定义判断同一平面内两条直线的位置关系 例题：判断下面统一平面内两条直线的位置关系，属于平行关系的在下面画“√”。 【解析】判断是否是平行线，依据平行的概念进行判断，也可根据平行的性质进行判断。 a∥b a b 看已知的两条 直线是否相交 相交 两条直线不平行 不相交 将一条直线或两条直线向 同一端或两端适当地延长 同一平面无论怎样延长 都不相交的是平行线 （ ） （ ） （ ） （ ）（ ）（ ） 先看两条直线 是否相交 两条直线 是否平行 相交：两条直线不平行 不相交 将一条直线或两条直线向 同一端或两端适当地延长， 不相交即为平行线 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 解答： 易错点：对平行线的定义理解不准确，忽略“同一平面内”这一前提条件 易错诠释：平行指的是同一平面内的两条直线的位置关系。因此必须强调“同一平面”这一条件。 例题：判断：不相交的两条直线叫做平行线。（ ） 【分析】平行线的定义是在同一平面内不相交的两条直线。 如右图，AB 和 CD 所在的直线永不会相交，但它们不平行，因为它们不在同一平面内。 【详解】判断：不相交的两条直线叫做平行线。（×） 【点睛】平行线中必须是直线，且必须是在同一平面内的直线。 三、易错提示 看已知的两条 直线是否相交 相交 两条直线不平行 不相交 将一条直线或两条直线向 同一端或两端适当地延长 同一平面无论怎样延长 都不相交的是平行线 （ √ ） （ ） （ √ ） （ ）（ ）（ √ ） A B C D橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 画平行线 平行线的画法： 1.画平行线： 2.画已知直线的平行线： 3.过直线外一点画已知直线的平行线： 一、基础知识讲解 一放：放三角 板，使三角板的 一条直角边与 已知直线重合。 二靠：把直尺 靠在三角板 的另一条直 角边上。 三推：直尺固 定不动，沿着 直尺推动三角 尺到指定位 四画：沿直角 边画线。 一画：固定三角 板，沿着三角板 的一条直角边 画一条直线。 二靠：用直尺紧 靠三角板的另 一条直角边。 三推：直尺固 定不动，平移 三角尺。 四画：沿直角 边画线。 一放：放三角 板，使三角板的 一条直角边与 已知直线重合。 二靠：把直尺靠 在三角板的另 一条直角边上。 三推：直尺固定不 动，沿着直尺推动三 角板，使三角板的直 角边过已知点。 四画：沿着三角板 的直角边画线。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 二、考法技法提炼 考法：画平行线 例题：画一条与图中直线平行的直线。 【解析】根据画平行线的步骤“一贴、二靠、三推、四画”进行操作即可。 【点睛】平移过程中一定要注意刻度尺不要偏移，平行线作实线。 易错点：作平行线时两端没有露头，画成线段 易错诠释：平行线的两段都要露头。 三、易错提示 一贴：用三角尺其 中的一条直角边与 已知直线贴合。 二靠：用直尺 靠近三角尺的 另一条直角 三推：沿着直尺 推动三角尺到 指定位置。 四画：沿直角边 画线。 一贴 二靠 三推 四画 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 例题：判断：观察明明画的平行线，对吗？ 【分析】图中所画的平行线不对。画图错在对平行线的定义理解不到位。 平行线是直线，所以画平行线不能出现端点。 【详解】明明画的平行线不对。平行线是直线，不是线段。 【点睛】平行线中必须是直线，画图时不要出现端点。 平行线 同一平面内 不相交的直线 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 二、考法技法提炼 垂直的特征 1.认识垂直： 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交 点叫做垂足。 a与 b互相垂直，记作 a⊥b，读作 a 垂直于 b，也可以记作 b⊥a，读作 b 垂直于 a。 2.垂线的判定： 3.垂线的性质：过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。 考法：根据垂直的定义及性质，判断同一平面内两条直线的位置关系 例题：找一找，填一填。 一、基础知识讲解 a b O p l · p l · ① ② ③ ④ 同一平面内两条直线相交 相交 相交有一个角为直角 这两条线互相垂直 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 互相平行的有（ ） 互相垂直的有（ ） 相交的有（ ） 【解析】 两条直线平行的判断标准： 两条直线垂直的判断标准： 解答：互相平行的有（② ⑥） 互相垂直的有（④ ⑦ ⑧） 相交的有（① ⑤） 易错点：对垂直的定义、性质理解不透彻 易错诠释：垂直是两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，相交、直角两个条件缺一不可；只有 相互垂直的两条直线的交点才是垂足，垂直是相交的一种特殊情况。 例题：判断：（1）如果两条直线相交，那么这两条直线就互相垂直。（ ） （2）两条之间相交的交点叫做垂足。（ ） （3）在同一平面内，两条直线的关系有平行、垂直和相交三种。（ ） 三、易错提示 两条直线 在同一平面内 不相交 两条直线互相平行 两条直线互相垂直 相交 相交有一个角为直角 相交没有直角 两条直线相交不垂直 ⑦⑤ 同一平面内两条直线 永不相交 这两条线互相平行 ⑥ ⑧ 同一平面内两条直线相交 相交有一个角为直角 这两条线互相垂直 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【分析】（1）相交有两种情况，只有相交出现直角，才可以说这两条线互相垂直。 例如： 上图中两条直线相交，但并不垂直。故原题干说法错误。 （2）垂足是两条直线相交的交点，如果两条直线不垂直就不能称之为垂足。 如上图，O不是垂足，P 是垂足。故原题干说法错误。 （3）在同一平面内两条直线的关系有两种，相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。 故原题干说法错误。 【详解】（1）如果两条直线相交，那么这两条直线就互相垂直。（× ） （2）两条之间相交的交点叫做垂足。（× ） （3）在同一平面内，两条直线的关系有平行、垂直和相交三种。（× ） 【点睛】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条 直线的交点叫做垂足。 O 两条直线在同 一平面内 不相交 两条直线互相平行 两条直线互相垂直 相交 相交有一个角为直角 相交没有直角 两条直线相交不垂直 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 画垂线 1.画垂线：用一把三角尺画互相垂直的两条直线 2.过直线上一点作垂线： ①重合 ②平移 ③画线 ④标号 3.过直线外一点作垂线： ①重合 ②平移 ③画线 ④标号 一、基础知识讲解 沿着三角尺的两条 直角边画两条直线 先把三角尺放好 标出直角符号 把三角尺的一 条直角边与已 知直线重合 沿着直线平移三角 尺，使三角尺顶点和 直线上已知点重合 沿着三角尺的另一条 直角边画出一条直线， 即为已知直线的垂线 标上直角符号 把三角尺的一 条直角边与已 知直线重合 沿着直线平移三角尺， 使三角尺的另一条直角 边与直线外已知点重合 标上直角符号沿着三角尺的另一条 直角边画出一条直线， 即为已知直线的垂线 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 二、考法技法提炼 考法：按要求作图 例题：过点 P 分别向三角形的三条边画垂线。 【解析】过点 P分别向三角形的三条边画垂线，可以看作分别过三条边外一点画垂线。 解答： 【点睛】作图结束后可以用量角器或者尺子上的直角检查一下作图的准确性。 易错点：没有理解过点画垂线的性质 易错诠释：过一点（直线上或直线外）画垂线，有且只有一条垂线。 例题：判断：过一点画一条直线的垂线，有无数条。（ ） 【分析】过直线上一点或直线外一点作垂线，有且只有一条。如下图示： 三、易错提示 线边重合 点重合 画垂线 标符号 · P 把三角尺的一 条直角边与已 知直线重合 沿着直线平移三角尺， 使三角尺的另一条直角 边与直线外已知点重合 标上直角符号 沿着三角尺的另一条 直角边画出一条直线， 即为已知直线的垂线 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 故原题干说法错误。 【详解】过一点画一条直线的垂线，有无数条。（ × ） 【点睛】过直线外一点或直线上一点画垂线，有且仅有一条垂线。 · · 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 二、考法技法提炼 点到直线的距离 1.直线外一点到直线可以画无数条线段。 2.点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。 考法：点到直线的距离的应用 例题：如图，幸福村位于 318 国道的西侧。为了方便村民，村里决定从甲处修一条通往 318 国道的公路， 这条公路怎样修最近，请你在图中画出来。 【解析】要想让设计合理，就是画甲点到国道的垂直线段。 一、基础知识讲解 分别测量这些 线段的长度 线段的长度各不相等 红色垂直线段最短，即为点 P 到 这条直线的距离。 设计合理、最方便、最省 考察画点到直线的垂直线段 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 解答： 【点睛】点到直线的所有线段中，垂直线段最短。 易错点：没有理解点到直线的距离的含义 易错诠释：点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的 距离。 例题：判断：如下图，点 A 到直线 a 的距离是线段 AB 的长度。（ ） 【分析】此题错在没有理解点到直线的距离的含义。点 A到直线 a的距离即从点 A 画直线 a 的垂直线段。 故原题干说法错误。 【详解】如下图，点 A 到直线 a 的距离是线段 AB 的长度。（× ） 【点睛】点到直线的所有线段中垂直线段最短。 三、易错提示 引水渠、修路、路线等 最短、最方便、最省事 利用点到直线的线段中， 垂直线段最短 画垂直线段 a A B · a A B · 橙 子 学