第10讲 第五章 一元函数的导数及其应用 章节验收测评卷（综合卷）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第10讲 第五章 一元函数的导数及其应用 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·福建宁德·期末）函数在时的瞬时变化率为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故时的瞬时变化率为， 故选：B 2．（24-25高二下·全国·课后作业）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】由基本初等函数求导法则即可得解. 【详解】由题意，，，. 故选：C. 3．（23-24高二下·湖北·期中）若函数的极小值点为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数极值点的辨析、根据极值点求参数、求已知函数的极值点 【分析】对求导后，对分类讨论，利用函数单调性与极值点的关系即可求解. 【详解】因为， 所以. 若，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时1是的极大值点，矛盾，故不符合题意； 若，则，等号成立当且仅当，此时在上单调递增， 即此时没有极值点，故不符合题意； 若，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时1是的极小值点，故符合题意； 综上所述，符合题意的的取值范围是. 故选：B. 4．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，且，则实数（    ） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【知识点】导数的乘除法 【分析】观察函数特征，不妨令，所以，则，再代入运算即可. 【详解】令，所以， 所以， 所以， 解得． 故选：． 5．（2025·宁夏·模拟预测）函数在上是单调递增的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】充分条件的判定及性质、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据利用求导判断函数单调性，转化为不等式恒成立问题，然后结合充分条件的定义即可进行选择. 【详解】因为，所以. 因为函数在上单调递增，所以恒成立， 即恒成立， 即恒成立. 因为，所以，解得， 所以函数在上是单调递增的充分条件是的非空子集. 故选：B 6．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数新定义 【分析】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【详解】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】首先根据条件构造函数，再结合导数判断函数的单调性，即可比较大小. 【详解】设函数，则， 所以函数在上为减函数，因此，即， 所以． 故选：B 8．（2025·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·贵州·期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则、直线的点斜式方程及辨析 【分析】运用导数几何意义，结合导数运算，点斜式可解. 【详解】求导得，设切点为， 则，切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，解得或. 当时，，切线方程为. 当时，，切线方程为. 故选：BC. 10．（23-24高二下·广东清远·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．的值域为 B．在处取得极小值为2 C．在上是增函数 D．若方程有2个不同的根，则 【答案】AB 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】根据题意，求导可得，即可得到函数的单调性以及值域，即可判断ABC，再结合函数图像即可判断D 【详解】因为函数，则， 令，即，解得或（舍）， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增，故C错误； 则时，函数有极小值即最小值，即，故B正确； 且，，则函数值域为，故A正确； 由函数的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示， 结合图像可知，若方程有2个不同的根，则，故D错误； 故选：AB 11．（2023·河北保定·三模）已知，则的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】先利用导数研究函数的单调性，再判断的大小，进而利用单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以， 所以在上是增函数， 因为再上是增函数， 所以， 而, 所以, 即, 所以 因为， ， 所以， 所以. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，则 ． 【答案】1 【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则 【分析】先求导，再将代入导数可求的值，最后将代入原函数即可得答案. 【详解】因为，则， 所以，所以， 故，因此． 故答案为：1. 13．（24-25高三上·北京·开学考试）若函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，利用导数判断函数为减函数，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用单调性和奇偶性将不等式化为，即可求得不等式的解集. 【详解】设，, 则，所以函数在上为减函数， 又， 所以函数为奇函数， 由，可得， 即，即， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（23-24高二下·天津和平·期中）已知函数，，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、由导数求函数的最值（不含参）、求二次函数的值域或最值 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，从而可求出实数a的取值范围. 【详解】的导函数为，当时，， 由时，，时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最小值为，最大值为， 所以对于任意的，． 因为开口向下，对称轴为轴， 又，所以当时，，当时，， 则函数在上的值域为， 又因为存在． 由题意，得， 可得，解得． 故答案为: ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)求的单调区间与最大值． 【答案】(1)， (2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，求出，并根据得到； （2）求出定义域，求导，解不等式，得到函数单调性，求出最大值. 【详解】（1）， 所以，切线方程为， 又，所以，则． （2）的定义域为． ，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以的最大值为． 16．（10-11高二上·陕西宝鸡·期末）在区间内，函数在处取得极小值，在处取得极大值. (1)求，的值； (2)讨论在上的单调性. 【答案】(1)， (2)的单调递增区间是，单调递减区间是和. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出导函数，利用极值点列方程求解即可； （2）利用导数，根据和，求函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 又由已知得，， 所以，， 联立求解得，，经验证，适合题意； （2）由（1）知， 当，解得：， 当，解得：或， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和. 17．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)的单调减区间为，单调增区间为 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）由得，，，， 所以在点处的切线方程为． （2），， ，令，解得， 因为时，，所以在上单调递减， 因为时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为． （3）由题可知，， 所以，设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以． 18．（2024高三上·江苏南京·学业考试）已知函数. (1)若函数在处有极值，求的值； (2)若函数在内单调递减，求b的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）对函数进行求导，结合在处的极值为列方程组，解方程组即可求得的值. （2）将原问题转化为在上恒成立，结合参变分离思想即可求得b的取值范围. 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，即，解得或， 当时，恒成立， 在R上单调递减，无极值； 当时，，当时，， 当时，， 函数在处取极大值，满足题意， 所以. （2）依题意，在上单调递减， 则在上恒成立，因此在上恒成立， 而当时，，则， 所以b的取值范围是. 19．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数. (1)当时，求证：函数有唯一极值点； (2)当时，求在区间上的零点个数； (3)两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）利用导数研究函数单调性，确定极值点个数； （2）利用函数单调性，结合零点存在定理，求零点个数； （3）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则，再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. 【详解】（1）函数，有，则在R上单调递增， 当时，有，即. 当时，由，得，且. 当时，. 因为，所以. 因为对任意恒成立，所以当时，. 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的唯一极值点. （2）当时，，， 当时，，所以在上单调递减， 因为， 所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点. 当时，令，则， 当时，有，所以在上单调递增， 又因为，所以存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，故在上无零点， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以在上有且仅有一个零点. 综上所述：在上有且只有2个零点. （3）设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为， 其斜率分别为，则. 因为，所以. 所以. 不妨设，则. 因为， 由“合一切线”的定义可知，. 所以. 由“合一切线”的定义可知，，所以. 当时，取， 则，符合题意. 所以. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题； （4）考查数形结合思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 第五章 一元函数的导数及其应用 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·福建宁德·期末）函数在时的瞬时变化率为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（24-25高二下·全国·课后作业）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北·期中）若函数的极小值点为1，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，且，则实数（    ） A．2024 B．2023 C． D． 5．（2025·宁夏·模拟预测）函数在上是单调递增的充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·贵州·期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·广东清远·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．的值域为 B．在处取得极小值为2 C．在上是增函数 D．若方程有2个不同的根，则 11．（2023·河北保定·三模）已知，则的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，则 ． 13．（24-25高三上·北京·开学考试）若函数，则不等式的解集为 ． 14．（23-24高二下·天津和平·期中）已知函数，，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)求的单调区间与最大值． 16．（10-11高二上·陕西宝鸡·期末）在区间内，函数在处取得极小值，在处取得极大值. (1)求，的值； (2)讨论在上的单调性. 17．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数a的取值范围． 18．（2024高三上·江苏南京·学业考试）已知函数. (1)若函数在处有极值，求的值； (2)若函数在内单调递减，求b的取值范围． 19．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数. (1)当时，求证：函数有唯一极值点； (2)当时，求在区间上的零点个数； (3)两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$