第09讲 第五章 一元函数的导数及其应用 重点题型章末总结（13类技巧总结）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第09讲 第五章 一元函数的导数及其应用 重点题型章末总结 题型01导数的运算、公式、法则的灵活应用 【典例1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）下列求导运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1】（23-24高二下·湖北·期中）下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）下列求导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·四川成都·期中）求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) (5) 题型02导数的几何意义 【典例1】（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）若函数在点处的切线与平行，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【典例3】（24-25高三上·河北·开学考试）若曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【变式1】（23-24高二下·陕西西安·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·广东茂名·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则（    ）. A．1 B．2 C． D． 【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线在处的切线与直线垂直，则 . 题型03已知切线条数求参数 【典例1】（2024·四川凉山·一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·山东临沂·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04利用切线研究最短距离问题 【典例1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D．1 【典例2】（23-24高二下·重庆渝北·期中）已知在函数的图像上，在直线上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【典例3】（2024·山东·一模）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 ． 【变式1】（23-24高二下·福建厦门·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A． B． C．2 D．8 【变式2】（23-24高二下·安徽池州·期中）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是 ． 【变式3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为 . 题型05利用导数研究函数的单调性（选填题） 【典例1】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·江西南昌·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·天津·期末）已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）若函数在其定义域内的一子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型06利用导数研究函数的单调性（含参问题讨论单调性） 【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的值域． (2)当时，讨论的单调区间． 【典例2】（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【典例3】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【变式3】（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)试讨论函数的单调性． 题型07用导数求函数的极值、最值（不含参） 【典例1】（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数的图象在点处的切线过点. (1)求实数的值； (2)求的极值. 【典例2】（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数. (1)求函数单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值. 【典例3】（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）已知函数． (1)若在处的切线与直线平行，求实数m的值； (2)若，求函数的极值． 【变式2】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知轴是曲线在点处的切线. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间和极值. 【变式3】（23-24高二下·广西北海·期末）已知函数的图象是曲线C，直线与曲线C相切于点. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型08 用导数求函数的最值（含参） 【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）设函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且，其中，求证：； (3)若，函数，求在上的最大值． 【典例2】（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线斜率为，求的取值和曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值． 【典例3】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数. (1)若是的极值点，求实数的值； (2)若，求在区间上的最大值. 【变式1】（23-24高二下·江苏无锡·期中）函数. (1)求的单调区间； (2)求在上最小值. 【变式2】（2024·山西吕梁·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值. 【变式3】（23-24高二下·北京·阶段练习）设函数，. (1)当时， 试求的单调增区间； (2)试求在上的最大值. 题型09根据函数的极值（点）求参数 【典例1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的最大值为1． (1)求实数的值； (2)若函数有极值，求实数的取值范围． 【典例2】（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求在上的值域； (2)若的极小值为，求m的值． 【变式1】（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，． (1)若，求a的值； (2)当时，求曲线在点处的切线方程； (3)若在时取得极值，求a的值. 【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在内取得极小值-1，求a的值． 题型10根据函数的最值求参数 【典例1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)求在上的最小值. 【典例2】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知，其中． (1)当时，求的极值； (2)求在区间上的最大值． 【典例3】（23-24高三·全国·对口高考）已知函数，其中． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【变式1】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数在上的最小值． 【变式2】（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数． (1)若的单调递增区间为，求的值． (2)求在上的最小值． 【变式3】（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． (3)讨论在上的最大值 题型11利用导数求解不等式恒成立与有解问题 【典例1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【典例2】（2024·新疆·二模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的最大值． 【典例3】（23-24高二下·天津·期中）已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式2】（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数，，是的导函数. (1)证明：在上存在唯一零点； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【变式3】（23-24高三下·河北衡水·阶段练习）已知函数（，）． (1)当（是自然对数的底数）时，求函数的单调区间； (2)若，使得，求实数的取值范围． 题型12利用导数研究函数的零点（方程的根） 【典例1】（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知且，函数． (1)，，为数列的前项和，当时，试比较与2024的大小，并说明理由： (2)当时，证明：； (3)当且时，试讨论的零点个数． 【典例2】（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中. (1)当时，求证：在上单调递减； (2)若有两个不相等的实数根，，求实数a的取值范围. 【典例3】（2024·湖南）已知函数． (1)求的最小值； (2)证明：方程有三个不等实根． 【变式1】（23-24高三上·广东广州·期中）已知函数，（其中e为自然对数的底数） (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【变式2】（2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)若关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围． 题型13形如，，的问题对比 【典例1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）设为实数，已知，. (1)求在区间的值域； (2)对于，，使得成立，求实数的取值范围. 【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）若，讨论函数的单调性； （3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围. 【典例3】（23-24高二下·山西·期中）已知函数， （1）求的值域； （2）若使得，求的取值范围； （3）对，总存在使得，求的取值范围． 【变式1】（2024·广西柳州·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【变式2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设函数其中为实数，是自然对数的底数，. （1）若函数为定义域内的单调函数，求实数的取值范围； （2）已知，在区间上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围. 【变式3】（23-24高二下·安徽·期中）已知函数，在处取得极值2. （1）求的解析式；. （2）设函数，若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 第五章 一元函数的导数及其应用 重点题型章末总结 题型01导数的运算、公式、法则的灵活应用 【典例1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）下列求导运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】利用导数运算法则及求导公式，逐项求导判断即可. 【详解】对于A：，A错误； 对于B，令，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 故选：A 【典例2】（多选）（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据常见函数的导数及复合函数的导数判断即可. 【详解】对于A，常数的导数为0，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 【典例3】（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、导数的乘除法、简单复合函数的导数 【分析】（1）利用求导法则求导即得； （2）利用分式函数的求导法则求导即得； （3）利用分式函数的求导法则求导即得； （4）利用复合函数的求导法则求导即得. 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式1】（23-24高二下·湖北·期中）下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的乘除法、导数的加减法、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】利用求导公式分别求出各个选项的导数，即可得出答案． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，是常数，导数为0，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：C． 【变式2】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）下列求导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数的乘除法、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的运算法则和复合函数的导数公式，即可求解. 【详解】，故A错误，，故B错误， ，故C错误，，故D正确. 故选：D 【变式3】（23-24高二下·四川成都·期中）求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5). 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数的加减法、导数的乘除法 【分析】根据求导四则运算法则和复合函数求导法则进行计算 【详解】（1）由可得； （2）由可得； （3）由得； （4）由， 则； （5）由， 则. 题型02导数的几何意义 【典例1】（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】对求导，得到，从而有，再利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 所以在点处的切线方程是，即， 故选：A. 【典例2】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）若函数在点处的切线与平行，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据切点与斜率以及导数求得，进而求得. 【详解】直线的斜率为， ， 解得，所以. 故选：D 【典例3】（24-25高三上·河北·开学考试）若曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与，消元，根据计算可得. 【详解】由，所以，则， 所以曲线在点处的切线为，即； 又与曲线相切， 由，可得， 则，解得或（舍去）， 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·陕西西安·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】用导数几何意义去求切线方程即可. 【详解】由，得， 所以该曲线在点处的切线斜率为， 故所求切线方程为， 即． 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·广东茂名·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】由函数，可得，则， 因为直线的斜率为2，可得. 故选：B. 【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知直线垂直求参数、基本初等函数的导数公式 【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解. 【详解】由题意得函数的导函数为，故在处切线的斜率为， 直线的斜率存在为，根据题意得，，解得. 故答案为:. 题型03已知切线条数求参数 【典例1】（2024·四川凉山·一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的加减法 【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可. 【详解】由， 不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且 若，则恒成立，不符合题意，可排除A项； 所以，此时易知单调递增， 要满足题意则需. 故选：D 【典例2】（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数图象及性质 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入，得到，构造，求导，得到函数单调性，从而得到，结合当时，，当时，，从而得到答案. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得. 令，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，且当时，，当时，， 又直线与曲线的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 故选：C 【典例3】（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根 【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围. 【详解】在曲线上任取一点， ， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得， 令函数， 则. 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以. 设， 所以， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 的图象如图： 由题意可知，直线与的图象有两个交点，则. 故选：B 【变式1】（23-24高二下·山东临沂·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】根据题意，求出切线方程，然后对进行讨论即可. 【详解】设切点为 , 对 求导可得： , 切线的斜率为 , 可得切线方程为： , 把点 代入可得 , 化为 , 令 , , 令得;令得 所以函数 在 上单调递增, 在 上单调递减, 可得 时函数 取得极大值. 当 时, , 当 时, . 时， 与函数 的图象最多有一个交点, 不符合题意, 舍去. 时, 由过点 可以作曲线 的两条切线, 与函数 的图象有两个交点, . 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】设切点为，表示出切线方程，根据题意可得方程有两个不同的根，由此可得a的范围． 【详解】设切点为，∴切线的斜率， ∴切线方程是， ∵切线过点A（a，0）， ∴，即， ∵过点A（a，0）可以作两条切线， ∴方程有两个不同的根， ∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3． 故选：D. 【变式3】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 题型04利用切线研究最短距离问题 【典例1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离 【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为3，然后利用点到线距离公式求出最小距离. 【详解】直线的斜率为， 所以，令得，， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 故选：B. 【典例2】（23-24高二下·重庆渝北·期中）已知在函数的图像上，在直线上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离、简单复合函数的导数 【分析】设函数上在点的切线恰与直线平行，利用导数的几何意义求出，则的最小值即为切点到直线的距离. 【详解】设函数上在点的切线恰与直线平行， 由，可得，则， 所以，解得， 所以的最小值为点到直线的距离. 故选：A 【典例3】（2024·山东·一模）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】求点到直线的距离、已知切线（斜率）求参数 【分析】由题意的最小值为到直线上距离的最小值，再设，则当处的切线与平行时取得最小值. 【详解】由题意的最小值为曲线上点到直线距离的最小值， 设，则为增函数， 令则，故当时，单调递减；当时，单调递增. 故，即在曲线下方. 则当处的切线与平行时取得最小值. 设，对求导有，由可得. 故当时取最小值. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·福建厦门·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、求点到直线的距离 【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离． 【详解】直线的斜率，函数定义域为， 点是曲线上任意一点，设，求导得， 令，而，解得，此时， 曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离，为点到直线的距离. 故选：B 【变式2】（23-24高二下·安徽池州·期中）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是 ． 【答案】 【知识点】导数的加减法、求点到直线的距离、已知切线（斜率）求参数 【分析】当P为与直线平行且与曲线相切的切线的切点时，点P到直线的距离最短，根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果. 【详解】由可得， 设与直线平行，且与曲线相切的直线，对应切点坐标为， 则，解得，则， 则点到直线的距离，即为点P到直线的最小距离， 即为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、求点到直线的距离 【分析】借助导数的几何意义找出曲线与直线平行的切线的切点，结合点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】假设是曲线上的一个动点， 当曲线在处的切线与直线平行时，所求的距离最小，设此时， 由题意得，由，得，则， 所以所求距离的最小值为. 故答案为：. 题型05利用导数研究函数的单调性（选填题） 【典例1】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，则原问题转化为在R上恒成立，分离参数得恒成立，构造函数，结合其奇偶性以及利用导数求其最值，即可求得答案. 【详解】由于，故， 函数是定义在上的增函数， 故在R上恒成立，即恒成立， 令，为偶函数， 故考虑时，，令， 即在上单调递增，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 故，故， 实数的取值范围是， 故选：B 【典例2】（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先求导函数把函数存在减区间转化为导函数为负有解，最后构造函数根据最值求解. 【详解】由题可知， 因为函数+1存在减区间，则有解， 即有解， 令，， 令，解得；令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 因为有解，所以， 解得. 故选：D. 【典例3】（23-24高二下·江西南昌·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】求导，分析可知在内有根，在内有根，结合零点存在性定理分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 因为在上不单调，等价于在上有极值点， 等价于在内有根，即在内有根， 结合的形式特征可得：原题意等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】对求导并将问题转化为函数在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围. 【详解】由题设，，又在上不单调， 所以函数在上存在变号零点， 设，， 则，则在上单调递增， 所以，即，解得， 则的取值范围是 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·天津·期末）已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】由题意转化为存在，使，参变分离后，转化为求函数的最值问题，即可求解. 【详解】，， 由题意可知，存在，使，即， 则，， 当时，取得最小值， 即，得. 故选：B 【变式3】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）若函数在其定义域内的一子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值点求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意转化为极值点在区间，求解函数的极值点，并列不等式，即可求解. 【详解】函数定义域为，求导得，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增，由题意得， 解得：. 故选：D. 题型06利用导数研究函数的单调性（含参问题讨论单调性） 【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的值域． (2)当时，讨论的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）当时，，求导分析单调性，极值，即可得出答案. （2）求导得，分情况讨论的符号，的单调性. 【详解】（1）当时，， ， 令，得或，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以，又， 因为，所以， 所以当时，，所以的值域为. （2）， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，令，得或2，当，即时，不符合题意， 当，即时，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增， 当，即时，在上，单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【典例2】（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义分析求解； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 【典例3】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，可得，进而可得切线方程为，进而可得恒过原点； （2），分，，三种情况讨论可得的单调性. 【详解】（1）由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 故切线方程为，即，所以恒过原点． （2）由（1）得， ①时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 令，则 ②且，即时，，在上单调递增， 时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则， 所以在上单调递减， 综上：时，在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递增； 在上单调递减． 【点睛】方法点情，利用分类讨论法是求解含参数的函数的单调区间常用的方法. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性． 【答案】答案见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导可得，含参分类讨论、、和时函数的单调性即可求解. 【详解】的定义域为，且， 当时，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，则有： 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】对函数求导，然后对参数分类讨论，注意讨论正负以及与的关系，然后根据导数判断函数的单调性. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 当时，， 由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； 当时， 若，即，则由，得或；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； 若，即，则恒成立，因此函数在上单调递增； 若，即，则由，得或；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是，递减区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是； 当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 【变式3】（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)试讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当，求出，令得出方程的根，判断所求根两边导函数的符号即可得到函数的极值； （2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域范围内分别求解即可. 【详解】（1）若，，定义域为， 则， 令，可得， 由，可得，所以在上单调递增， 由，可得，所以在上单调递减， 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值； （2）的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，可得或， 因为，所以舍去， 所以当时，， 则在上单调递减， 当时，， 则在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 题型07用导数求函数的极值、最值（不含参） 【典例1】（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数的图象在点处的切线过点. (1)求实数的值； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求解； （2）利用导数研究函数单调性和极值. 【详解】（1）由已知得， 则，又， 所以的图象在点处的切线方程为， 将点代入得，解得. （2），定义域为， 所以， 令，则， 易得在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以极小值为，无极大值 【典例2】（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数. (1)求函数单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，最大值为0 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数可得答案； （2）利用导数求出极值与端点值可得答案. 【详解】（1）， 当，或时，， 当时，， 所以的单调递增区间为，， 单调递减区间为， 所以极小值为，极大值为； （2）由（1），在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以极小值为，极大值为， ，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 【典例3】（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为2 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）先求导，进而根据题意即可求出、，从而得解. （2）先求出的解析式，再求导研究函数在上的单调性，结合其端点值和极值即可得解. 【详解】（1）由可得， 所以由题意得，即，解得，， 所以. （2）由题意可知， 所以， 令，解得，， 列表有 x 1 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 由上可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以最小值为，最大值为2. 【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）已知函数． (1)若在处的切线与直线平行，求实数m的值； (2)若，求函数的极值． 【答案】(1) (2)极小值为2，无极大值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）求导，可得切线斜率，即可根据直线平行满足的斜率关系求解， （2）根据导数求解函数的单调性，即可由极值定义求解. 【详解】（1）由函数，定义域为， 可得， 可得，即在处的切线的斜率为， 因为在处的切线与直线平行， 可得，则； （2）若，可得，所以，其中， 可得， 令，可得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以当时，函数取得极小值为，无极大值． 【变式2】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知轴是曲线在点处的切线. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值是，极小值是 【知识点】求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）根据切线斜率得出导数值，再根据导函数对应列方程组求解； （2）先求导函数再根据导函数正负求出函数单调性进而求出极值即可. 【详解】（1）由题意知，，且， 所以解得 所以. （2）， 令，得. 当变化时，和的变化情况如表所示． 1 0 0 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 故的单调递增区间为和，单调递减区间为． 的极大值是，极小值是. 【变式3】（23-24高二下·广西北海·期末）已知函数的图象是曲线C，直线与曲线C相切于点. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）利用切点在直线和曲线上，结合导数的几何意义即可求解； （2）根据（1）的结论，求出，再利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【详解】（1）因为切点为， 所以，解得. 由，得， 因为直线与曲线C相切于点， 所以，解得， 所以， 由，得. 所以函数的解析式为：. （2）由（1）知，， 所以，. 可得， 令，则，解得（舍），. 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取的极小值，极小值为， 又因为， 所以当时，的最大值为，最小值为. 题型08 用导数求函数的最值（含参） 【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）设函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且，其中，求证：； (3)若，函数，求在上的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】（1）对求导，分和两种情况，讨论导函数的正负，从而得原函数的单调性； （2）由存在极值点，可得，再根据，经计算可得； （3）根据，分析其单调性，分，，三种情况求其最大值，可得结论. 【详解】（1） ①当时，，所以在上单调递增； ②当时，在上单调递增，上单调递减． （2）由（1）知，，即 因为 所以 所以 所以  又，所以． （3） 当时，，， 所以当时，，当时， 所以在上单调递增，上单调递减， 当时，，，所以 在上单调递增， ，，， ①当时，即时，在上单调递增， 所以； ②当时，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以； ③当时，即时， 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 由于，， 当时，即，所以， 当时，即，所以 则 综上，． 【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 【典例2】（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线斜率为，求的取值和曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出，即可得到函数解析式，从而求出，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的单调区间，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数在区间上的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 则，∴， ∴，， 则切线方程为，整理得； （2）由，因为，令，解得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， ①当，即时，函数在区间上单调递减， 所以在区间上的最小值为， ②当，即时，函数在区间上单调递增， 所以在区间上的最小值为， ③当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 所以当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 综上可知，当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为． 【典例3】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数. (1)若是的极值点，求实数的值； (2)若，求在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，根据极值点可得，验证即可求解， （2）求导，分类讨论，即可结合函数的单调性求解最值. 【详解】（1）． 因为是的极值点，所以，解得. 所以， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，符合题意，因此． （2）， 令，得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由题可知． （i）若，则在上单调递减，． （ii）若，则在上单调递减，在上单调递增， 若，则，所以； 若，则，所以． 综上，当时，；当时，． 【变式1】（23-24高二下·江苏无锡·期中）函数. (1)求的单调区间； (2)求在上最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导函数的符号求的单调区间； （2）分、和三种情况结合（1）中的单调区间求函数最小值. 【详解】（1）由题意可知：的定义域，其导函数， 当，则在内恒成立， 可知的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，令，解得；令，解得； 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）因为，由（1）可知： 当，在上单调递增，则在上最小值为； 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上最小值为； 当时，在上单调递减， 所以在上最小值为. 【变式2】（2024·山西吕梁·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，没有极小值； (2) 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间与极值； （2）求出函数的导函数，再分、、、四种情况讨论，得到函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最大值. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是， 函数的极大值为，没有极小值. （2）由题意得. 若，当时，，在区间上单调递增， 此时的最大值为； 若，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 此时的最大值为； 若，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 此时的最大值为； 若，则，当时，，在区间上单调递增， 此时的最大值为. 综上可得，. 【变式3】（23-24高二下·北京·阶段练习）设函数，. (1)当时， 试求的单调增区间； (2)试求在上的最大值. 【答案】(1) (2)当时，当时. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】 （1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递增区间； （2）求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别得到函数的单调性，即可得到无论为何值，当时，最大值都为或，再计算，分和两种情况讨论，即可求出函数的最大值. 【详解】（1）当时，定义域为， 且，令，解得，所以的单调增区间为. （2）因为， 令，解得， ①当即时，所以当时，恒成立， 即在上单调递增，则； ②当即时，所以当时，恒成立， 即在上单调递减，则； ③当即时， 时，，在单调递减， 时，，在上单调递增， 则， 综上，无论为何值，当时，最大值都为或， 又，， 又， 所以当时，，， 当时，，. 综上可得当时，当时. 题型09根据函数的极值（点）求参数 【典例1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的最大值为1． (1)求实数的值； (2)若函数有极值，求实数的取值范围． 【答案】(1)1； (2). 【知识点】已知函数最值求参数、根据极值求参数 【分析】（1）先求导函数及其零点，再分段讨论求单调区间及最值计算参数即可； （2）根据函数有极值得在上有零点，结合二次函数零点分布分类讨论计算即可. 【详解】（1）由题意得， 令，， 当时，，递增；当时，，递减. ，所以． （2）， 有极值，即在上有零点， 令，即在上有解 当时，，在上单调递增，无极值； 当时，在上有解， 所以，所以. 【典例2】（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求在上的值域； (2)若的极小值为，求m的值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）利用导数讨论单调性，结合单调性求最值即可得值域； （2）求导，利用导数判断极值点，根据极值列方程可得. 【详解】（1）当时，，则， 令，得或， 当x变化时，，的变化情况如表所示： x 0 1 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值0 单调递减 极小值 单调递增 0 所以在上的值域为． （2）由，得， 令，得或， 因为， 令，得； 令，得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值， 令， 解得，故m的值为6． 【变式1】（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，． (1)若，求a的值； (2)当时，求曲线在点处的切线方程； (3)若在时取得极值，求a的值. 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】根据极值求参数、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）首先求导得，根据即可解出值； （2）代入得，求出其导数，计算出切点纵坐标和切线斜率即可得到切线方程； （3）由题意代入，解出，再证明时，取得极值. 【详解】（1）因为，定义域为， 所以． 因为，所以．所以． （2）当时，． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为． （3）因为在时取得极值， 所以，即，所以． 当时，． 令，即，得； 令，即，得． 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以在时取得极大值，符合题意． 所以． 【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在内取得极小值-1，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可； （2）讨论，两种情况，分别分析导函数的零点，结合极小值的性质求解即可 【详解】（1）由可得， 当时，，，所以曲线在处的切线方程为，即 （2）由（1）， 当时，， 当时，，在上单调递减，故在内不存在极值； 当时，由得，，， 要使在内存在极小值，，解得， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以取得极小值，即， 解得，． 题型10根据函数的最值求参数 【典例1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)求在上的最小值. 【答案】(1)减区间，增区间，函数有极小值，无极大值 (2)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据和分类讨论，利用导数研究函数的单调性求解最值即可. 【详解】（1）当时，，， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 综上：的减区间是，增区间是，极小值为0，无极大值. （2）， 当时，，所以在上单调递增，所以； 当时，令，得， （ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以； （ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 则； 综上：当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为. 【典例2】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知，其中． (1)当时，求的极值； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求已知函数的极值 【分析】 （1）借助导数研究函数的单调性即可得极值；0 （2）对，与的情况分类讨论，借助导数研究其单调性即可得其最值. 【详解】（1）当时，，， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故有极大值，无极小值； （2），， 当时，恒成立，故， 即在上单调递减，故； 当时，令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即； 当时，恒成立，故， 即在上单调递增，即； 综上所述，. 【典例3】（23-24高三·全国·对口高考）已知函数，其中． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）把代入解析式，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. （2）求出函数的导数，按和进行分类讨论，结合单调性求出函数最值作答. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）依题意，，而，则， ①当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增， 则，； ②当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减， 则，； ③当时，函数在上单调递增，由，得，当时，递减， 当时，递增，， 由，得，， 由，得，， 所以当时，的最小值是，最大值是； 当时，的最小值是，最大值是； 当时，的最小值是，最大值是； 当时，的最小值是，最大值是． 【变式1】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数在上的最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数分类讨论求出在上的最小值. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数，求导得，， 令，解得， ①当，即时，，，函数在上单调递减， 因此函数的最小值为； ②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数的最小值为； ③当，即时，，，函数在上单调递增， 因此函数的最小值为， 所以当时，的最小值为； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 【变式2】（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数． (1)若的单调递增区间为，求的值． (2)求在上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）对函数求导，利用导函数判断出其单调区间，再根据单调区间即可解得； （2）对参数进行分类讨论，得出其单调性即可求出函数在上的最小值． 【详解】（1）函数定义域为 由于函数的单调增区间为，且，故； 当时，，故函数的单调递增区间为． 即可得，则． （2）， ①当时，，则在上单调递增，所以； ②当，，，则在上单调递减， 时，，则在单调递增； （i）当，即时，在单调递增，此时， （ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增； 此时． 综上所述： 当时，；当时，． 【变式3】（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． (3)讨论在上的最大值 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、已知函数最值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求得切点坐标，再根据导数的几何意义可求得切线斜率，最后根据点斜式方程可求解； （2）求导后，分、、讨论求得最小值，从而可求得a的值； （3）分、、、讨论求得最大值. 【详解】（1） 当时，，， 所以切点为，，则， 所以切线方程为，即. （2） ，， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. （3）由（2）可知若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， ①即时，， ②即时，， 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，， 综上：当时，； 当时，. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的最值，首先要求函数的单调性，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的． 题型11利用导数求解不等式恒成立与有解问题 【典例1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据函数为奇函数求出的值，由处取得极大值，求出，的值，即可确定的解析式； （2）判断在上的单调性，求出函数的最值，依题意，解得即可． 【详解】（1）因为是奇函数，所以， 即，所以，所以． 由，得． 因为在上取得极大值， 所以，解得， 经检验，当时，在处取得极大值， 故． （2）由（1）可知，， 当时，， 当和时，， 即在上单调递增，在，上单调递减， 所以在取得极小值，在处取得极大值， 又因为，，，， 所以在上的最大值为，最小值为， 要使得有解，则，解得， 所以的取值范围为． 【典例2】（2024·新疆·二模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）直接代入，对函数求导，根据导数符号与函数单调性的关系即可求解； （2）参变分离，得当时，恒成立，构造函数，求出的最小值即可. 【详解】（1）当时，， 求导，得． 令，解得（舍去）或， 当时，，即在单调递增； 当时，，即在单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）当时，恒成立， 即当时，恒成立， 令，则， 令，则， 所以当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的最小值为， 所以，这表明恒成立， 这意味着在时单调递增， 所以的最小值为. 【典例3】（23-24高二下·天津·期中）已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解. （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），， 令，解得， 当时，，当时，， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. （2），， 则， 因为在单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即， 设，， 所以在上单调递增， 所以， 所以，故的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 由（1）知在上单调递增， 所以当时，， ，， ， 当时，，单调递减， ， ， ， 的取值范围为. 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，有成立，则； （2）若，有成立，则； （3）若，有成立，则. 【变式1】（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导后，分、、及进行讨论即可得； （2）可将原问题转化为对任意的恒成立，构造函数，借助导数分及计算其最小值即可得. 【详解】（1）， 当时，恒成立， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， 则当，即时，恒成立，即在上单调递增； 当，即时， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； （2）由题意可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，，则， 当时，恒成立， 故在上单调递增，则，符合要求； 当时，令，解得， 即当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即，则有， 令，即，令，， 则，即在上单调递减， 即，即当时，恒成立，不符合要求； 综上所述，. 【变式2】（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数，，是的导函数. (1)证明：在上存在唯一零点； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）对求导，构造利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理判断的零点，即可证结论； （2）问题化为在上能成立，构造，，应用分类讨论及导数研究其单调性，只需各情况下的最大值大于等于0，求参数范围. 【详解】（1）由题设，令，所以， 上，递增，上，递减，且， 故上，则恒成立， 上存在一个零点，即存在一个零点； 综上，在上存在唯一零点； （2）由（1）知：， 所以在上能成立， 令，，则， 当，时，，在上递增； 所以即可，故，此时； 当，时，，在上递减； 所以即可，故，此时； 当，使， ，，，递增； ，，，递减； 所以， 令，，则， 所以在上递增，故，即成立； 综上，的取值范围. 【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为研究，能成立，利用导数研究函数最大值的符号为关键. 【变式3】（23-24高三下·河北衡水·阶段练习）已知函数（，）． (1)当（是自然对数的底数）时，求函数的单调区间； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数的单调增区间为，单调减区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】 （1）利用导数求得的单调区间. （2）将问题转化为，对进行分类讨论，利用构造函数法，结合函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1） 当时，，其在上是增函数， 又的解集为的解集为， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）∵，使得， 又当时，， ∴只要即可． ∵当时，，在上是增函数， 当时，，在上也是增函数， ∴当或时，总有在上是增函数，又， ∴当时，，当时，． ∴在上是减函数，在是增函数． ∴当时，为和中的较大者． ． 令，∴， ∴在上是增函数． 而，故当时，，即； 当时，，即． ∴当时，，即， 函数在上是增函数，解得； 当时，，即， 函数在上是减函数，解得． 综上可知，实数的取值范围为． 【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间. 题型12利用导数研究函数的零点（方程的根） 【典例1】（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知且，函数． (1)，，为数列的前项和，当时，试比较与2024的大小，并说明理由： (2)当时，证明：； (3)当且时，试讨论的零点个数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)1个. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求等比数列前n项和 【分析】（1）求出，利用分组求和法及等差等比数列前项和公式计算即可得解. （2）把代入，利用导数探讨单调性，结合函数的零点推理即得. （3）按，分类，利用导数结合（2）的结论及零点存在性定理求解即得. 【详解】（1）当时，， 则 ， 所以当时，； （2）当时，，求导得， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，即，函数在上单调递增， 又，因此时，，当时，， 所以. （3）①若，函数在上为单调递增函数，且， 因此函数有且仅有一个零点； ②若，当时，，当时，， 由（2）知：当时，， 当时，，且，则函数只有一个零点. 综上所述：当且时，的零点个数为1个． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 【典例2】（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中. (1)当时，求证：在上单调递减； (2)若有两个不相等的实数根，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究方程的根、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用二阶导数讨论函数的单调性即可； （2）由题意可得，利用导数讨论函数的单调性求出即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，， 则，设， 得， 令，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 得，即， 所以函数在上单调递减； （2）由，得，即， 设，则， 令，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 得. 当时，，当时，， 要使方程有两个不同的实数根， 则，即， 即实数a的取值范围为. 【点睛】在解决导数的综合问题时，善于运用转化的思想，构造适当的函数，再次利用导数讨论新函数的性质即可. 【典例3】（2024·湖南）已知函数． (1)求的最小值； (2)证明：方程有三个不等实根． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】（1）设，，利用导数研究其单调性可得的最小值，再结合在定义域内单调递增，即可求出答案； （2）令，构造函数，利用导数判断单调性和值域，从而判断方程的根的个数即可 【详解】（1）设，，则， ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故的最小值为， 因为在定义域内单调递增，所以的最小值为； （2）由可得，整理可得， 设， 令，， 则，由得． 因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增． 由于，故，又由，由零点存在定理，存在，使得， ∴有两个零点1和，方程有两个根和，      则如图，时，因为，故方程有一个根， 下面考虑解的个数，其中， 设，结合的单调性可得： 在上为减函数，在上为增函数， 而，，， 故在上有且只有一个零点， ，设， 故，故即， 而，故在上有且只有一个零点， 故有两个不同的根且， 综上所述，方程共有三个不等实根 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是令，将问题转化为关于m的方程有两根，数形结合判断关于m的方程的根的情况 【变式1】（23-24高三上·广东广州·期中）已知函数，（其中e为自然对数的底数） (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可； （2）分类讨论函数的单调区间，以及函数最小值和0的大小关系即可. 【详解】（1）， 显然，令，得，解得 令，得，解得 所以在上单调递减，在上单调递增 （2） 当时，，在上单调递减，可知在上至多一个零点，不合题意. 当时，令，得，解得 令，得，解得 所以在上单调递减，在上单调递增 设， 在时恒成立 故在单调递增，且 （i）当时，，即， 可知在上至多一个零点，不合题意. （ii）当时，即 所以在上有且仅有一个零点 令，则 因为 所以在上有且仅有一个零点 综上：实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：函数的零点问题一般转化为函数图像和轴的交点个数问题，然后结合函数的单调性和最值，分类讨论求解即可. 【变式2】（2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可. （2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可. （3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可. 【详解】（1）由题意得定义域为， 而， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，解得：，当时，解得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）， 若证成立，只需证成立即可， 所以定义域为，， 在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上有唯一实根， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ，同时取对数得， ， ，， （3）若时，由已知得最多有一个零点， 当时，由已知得当时，取得最小值， ， 当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，， 由， 故在有一个零点， ， ，， 设，， 在上单调递增， ，， ， 在上有一个零点， 在上有两个零点， 综上得到的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是对参数范围分类讨论，然后找到符合零点要求的参数范围，得到所要求的参数范围即可． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)若关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究方程的根 【分析】（1）分，，，四种情况讨论，分别求出对应单调性． （2）运用同构和换元，再通过分离参数求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意函数的定义域为． 当时，若，则单调递增； 若，则单调递减． 当时，令，得或． ①当时，，则在上单调递增． ②当时，，则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． ③当时，，则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由，得， 即． 设，则， 所以为增函数，且的值域为． 令， 所以可化为，则． 令． 因为关于的方程有两个实数根， 所以直线与函数的图像有两个不同的交点． 因为， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减． 所以，且当时，， 当时，， 所以， 即实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 题型13形如，，的问题对比 【典例1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）设为实数，已知，. (1)求在区间的值域； (2)对于，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数即可求得在区间的值域； （2）先将题给条件转化为，进而得到关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由，得， 当时，， 则时，；时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数在区间上的最小值为． 又 所以函数值域为 （2），，使得成立， 又在上单调递增， 函数在区间上的最小值为， 又函数在区间上的最小值为， ，解之得. 故实数的取值范围是． 【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）若，讨论函数的单调性； （3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得的值； （2）求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知不等式在上有解，利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，. 由题意得，， 即，解得，因此，； （2）. 当时，且不恒为，所以，在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， 此时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或，由，得， 此时，在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （3）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解. 当时，，即有解， 令，，则. ， 所以，在上单调递减，所以，， 所以，，即，因此，实数的取值范围是. 【典例3】（23-24高二下·山西·期中）已知函数， （1）求的值域； （2）若使得，求的取值范围； （3）对，总存在使得，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】利用导数研究能成立问题 【详解】分析：（1）求函数导数，利用函数单调性求最值即可得值域； （2）原问题等价于方程在上有解，令，求函数导数，利用单调性求得得值域即可得解；则原问题等价于，分别求值域即可. （3）令，， 详解：（1）由题可知，，不难得到，在上单调递增，在上单调递减， ∴，，， ∴的值域为 （2）原问题等价于方程在上有解， 令，， ∴在上单调递增， ∴的值域为，∴. （3）令，， 则原问题等价于，由（1）（2）可知，， ∴，解得 ∴. 点睛：已知方程有解求参数范围常用方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 【变式1】（2024·广西柳州·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2). 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答. （2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 而，当时，由得，由得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由得，由得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则， 任意，存在，使等价于，恒成立， 则有，成立，令， 则，当时，，当时，， 即有在上单调递增，在上单调递减，， 因此当时，最大值为，则， 所以实数的取值范围是. 【变式2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设函数其中为实数，是自然对数的底数，. （1）若函数为定义域内的单调函数，求实数的取值范围； （2）已知，在区间上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）， 【知识点】利用导数研究能成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）求导，要使“为单调增函数”，转化为“恒成立”，再转化为“恒成立”，由最值法求解．同理，要使“为单调减函数”，转化为“恒成立”，再转化为“恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集． （2）因为“在，上至少存在一点，使得成立”，要转化为“”解决，易知在，上为减函数，所以，，再对分和两种情况讨论得解. 【详解】（1），要使“为单调增函数”，转化为“恒成立”，即恒成立，又，所以当时，在为单调增函数． 同理，要使“为单调减函数”，转化为“恒成立，再转化为“恒成立”，又，所以当时，在为单调减函数． 综上所述，在为单调函数，的取值范围为或 （2）因在，上为减函数，所以，， 当时，由（1）知在，上递增，（1），又在，上为减函数， 故只需，，， 即：（e）． 当时，因，，， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为，. 【变式3】（23-24高二下·安徽·期中）已知函数，在处取得极值2. （1）求的解析式；. （2）设函数，若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【知识点】利用导数研究能成立问题、根据极值求参数 【详解】分析：（I）求出导函数的解析式f′（x）=，再由函数在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式； （Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），及函数g（x）=ax﹣lnx．我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围． 详解：（Ⅰ）f′（x）== f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即， 解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为 依题意，记，∵x∈M∴ （ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得， 故此时 （ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾 （ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得 即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0≤a≤e 点睛：已知函数在上的值域为A，函数在上的值域为B，对于任意的，总存在唯一的，使得，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$