第08讲 第四章 数列 重点题型章末总结（7类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第08讲 第四章 数列 重点题型章末总结 题型01 等差与等比数列的基本运算 【典例1】（23-24高二下·四川乐山·期中）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求． 【典例2】（23-24高二下·全国·课后作业）等差数列的公差为，数列的前项和为． (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 【典例3】（23-24高二上·西藏日喀则）（1）在等比数列中，，，，求 （2）在等差数列中，，，，求及 【典例4】（23-24高一下·贵州黔东南）等比数列中， （1）若， 求和; （2）若，求. 【变式1】（2024高二上·江苏·专题练习）在等差数列中， (1)已知，，，求和； (2)已知，，求； (3)已知，，，求． 【变式2】（23-24高二下·全国·课后作业）在等比数列中． (1)若，，，求和； (2)已知，，求. 【变式3】 （23-24高一下·黑龙江牡丹江）已知数列是等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，且 ，求的值. 题型02 等差、等比数列的判定 【典例1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设为数列的前n项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【典例2】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）数列满足：，． （1）记，求证：数列为等比数列； （2）记为数列的前项和，求． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和. （1）求证：数列{Sn}不是等比数列； （2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 【变式1】（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 【变式2】（23-24高二上·江苏·单元测试）设{an}是公比为q的等比数列． （1）推导{an}的前n项和公式； （2）设q≠1，证明数列{an＋2}不是等比数列． 题型03 等差数列的性质及应用 【典例1】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）记为等差数列的前项和，若.则（    ） A．28 B．26 C．24 D．22 【典例2】（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）在等差数列中，若则 ． 【典例3】（23-24高二下·北京·期中）等差数列的前n项和为，，，则 ． 【典例4】（23-24高三上·天津宁河·期末）已知等差数列， 的前项和分别为，，且，则 ． 【变式1】（2024·山西朔州·一模）设为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B．3 C． D．5 【变式2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于 【变式3】（23-24高三·全国）已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 . 题型04 等比数列的性质及应用 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）在等比数列中，若，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【典例2】（2024·四川内江·三模）在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【典例3】（23-24高二·江苏·课后作业）在等比数列中，，，求的值. 【变式1】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 【变式2】（2024·江西上饶·已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为 . 【变式3】（23-24高一下·江苏南京中）已知等差数列的公差不为，且是等比数列从前到后的连续三项. (1)若，求等差数列的前10项的和； (2)若等比数列的前项的和，求的值. 题型05数列求通项、求和 【典例1】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 【典例2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和为． 【典例3】（23-24高二下·广东佛山·期中）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【典例4】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）记递增的等差数列的前项和为，已知，且. (1)求和； (2)设.求数列的前项和. 【典例5】（23-24高二下·四川成都·期中）记为数列的前n项和，且，. (1)求及数列的通项公式； (2)若，前n项和为，求的取值范围. 【典例6】（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式1】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【变式2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列中，，．数列的前项和为，且． (1)求数列以及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式3】（2024高一·全国）已知数列的前项和为，等比数列的首项，公比为． (1)求两数列的通项公式； (2)设，若存在，使得成立，求数列的和． 【变式4】（23-24高二下·重庆·期中）已知数列各项均为正数，的前n项和为，从①，；②，这两个条件中任选一个，解决下面两个问题．（如果两个都选择的按第一个给分．） (1)求数列的通项公式； (2)数列为等比数列，满足，，数列满足，求的前n项和． 【变式5】（23-24高三下·四川德阳）等差数列的前项和为，等比数列中，. (1)求和. (2)若数列满足，求数列的前项和.  【变式6】 （23-24高二下·江苏南京·期中）数列满足，，. (1)的通项公式； (2)，求数列的前项和. 题型06 数学思想与方法（函数方程） 【典例1】（23-24高三上·辽宁·期中）设是公差为2的等差数列，为其前n项和，若为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】（23-24高二下·广东·期中）等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为 . 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）函数满足．若不等式对任意的恒成立，则的最小值是 ． 题型07数学思想与方法（ 分类讨论思想） 【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）数列满足． (1)求数列通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 【典例2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式1】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知数列的前项和为，满足：，且． (1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【变式2】（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 第四章 数列 重点题型章末总结 题型01 等差与等比数列的基本运算 【典例1】（23-24高二下·四川乐山·期中）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求． 【答案】(1)7； (2)2700. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】（1）根据给定条件，求出公差，再求出. （2）利用等差数列前n项和公式求解即得. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差， 所以. （2）在等差数列中，，， 所以． 【典例2】（23-24高二下·全国·课后作业）等差数列的公差为，数列的前项和为． (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （3）方法一：根据题意得到，结合等差数列通项公式进行计算；方法二：结合题意得到，利用等差数列的性质直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以整理得，解得或（负值舍去）， 所以 （2）因为，所以， 又因为，所以 （3）方法一：由，即， 所以 方法二：由，得， 所以 【典例3】（23-24高二上·西藏日喀则）（1）在等比数列中，，，，求 （2）在等差数列中，，，，求及 【答案】（1）；（2），. 【知识点】求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，代入数据，即可求得； （2）根据等差数列的前n项和公式，代入数据，可求得，代入等差数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】（1）由等比数列前n项和公式得， 所以. （2）因为为等差数列， 所以， 所以，解得 所以. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求法，等差数列、等比数列前n项和公式的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 【典例4】（23-24高一下·贵州黔东南）等比数列中， （1）若， 求和; （2）若，求. 【答案】（1）；（2）或. 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）由等比数列的性质可求公比，直接代入等比数列的前项和公式即可求； （2）由等比数列的前项和公式,解出的值即可求. 【详解】（1）因为，所以， （2）显然，由，解得或 当时，； 当时，. 【变式1】（2024高二上·江苏·专题练习）在等差数列中， (1)已知，，，求和； (2)已知，，求； (3)已知，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列前项和公式求出，再由通项公式求出； （2）设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，再由求和公式计算可得 （3）利用等差数列前项和公式及下标和性质求出，从而得到，最后由求和公式计算可得. 【详解】（1）由题意得，解得． 又，∴，∴，． （2）设等差数列的公差为， ，， ，解得， 则． （3）， ， ， ． 【变式2】（23-24高二下·全国·课后作业）在等比数列中． (1)若，，，求和； (2)已知，，求. 【答案】(1)，. (2)或 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）（2）由等比数列通项公式和前项和公式列方程组求解即可. 【详解】（1）由得，解得， 又由得，解得. 所以，. （2）显然，则，， 两式相除得，解得， 时可解得，则； 时可解得，则. 所以或 【变式3】 （23-24高一下·黑龙江牡丹江）已知数列是等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，且 ，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【详解】试题分析：（1）利用，解得可求得，再利用基本元的思想求得的值，由此得到数列的通项公式.（2）利用等比数列的前项和公式列方程，可求得的值. 试题解析： （1）依题意，所以或， 若，则，即，故 ，则，即，故， 综上可知或. （2）若，则，解得； 若，则，解得， 综上可知. 题型02 等差、等比数列的判定 【典例1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设为数列的前n项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项、判断等差数列 【分析】（1）根据和的关系即可解答. （2）根据等差数列的定义即可判断. 【详解】（1）数列的前n项和, 则当时，； 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知，当时，， 因此（常数）， 所以数列是等差数列. 【典例2】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）数列满足：，． （1）记，求证：数列为等比数列； （2）记为数列的前项和，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【知识点】等比数列的定义、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】（1）由已知可得，再由等比数列的定义即可证明. （2）由（1）可得，再由等比数列以及等差数列的前项和公式，分组求和即可求解. 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴数列是以，公比为的等比数列． （2）由（1）知，∴， ． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和. （1）求证：数列{Sn}不是等比数列； （2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 【答案】（1）证明见解析（2）当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列，详见解析 【知识点】判断等差数列、等比数列的定义 【解析】（1）假设数列{Sn}是等比数列，则，利用等比数列的求和公式可求q，结合等比数列的公比性质可判断； （2）分q＝1，q≠1两种情况即可证明. 【详解】（1）证明：假设数列{Sn}是等比数列，则， 即（1＋q）2＝·（1＋q＋q2）， 因为a1≠0，所以（1＋q）2＝1＋q＋q2， 即q＝0，这与公比q≠0矛盾， 所以数列{Sn}不是等比数列. （2）当q＝1时，Sn＝n，故{Sn}是等差数列； 当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3， 即2（1＋q）＝＋（1＋q＋q2）， 得q＝0，这与公比q≠0矛盾. 综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列. 【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，等比数列的性质及等差数列的判断，属于基础试题 【变式1】（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当时，类，当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式. （2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． （2）， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 【变式2】（23-24高二上·江苏·单元测试）设{an}是公比为q的等比数列． （1）推导{an}的前n项和公式； （2）设q≠1，证明数列{an＋2}不是等比数列． 【答案】（1）Sn＝；（2）证明见解析. 【知识点】等比数列的定义、求等比数列前n项和 【解析】（1）分q＝1时和q≠1时，分别求和，当q≠1时，前n项的和Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1　①，等式两边同时乘以q得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn　②，①－②后可求得答案. （2） 利用反证法证明，假设数列{an＋2}是等比数列，则有(a2＋2)2＝(a1＋2)(a3＋2)，推出矛盾，可得证. 【详解】（1） 当q＝1时，an＝a1，前n项和Sn＝na1； 当q≠1时，前n项的和Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1　①， 等式两边同时乘以q得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn　②， ①－②得(1－q)S＝a1－a1qn，所以Sn＝. 综合得Sn＝； （2） 假设数列{an＋2}是等比数列，则有(a2＋2)2＝(a1＋2)(a3＋2)，即(a1q＋2)2＝(a1＋2)(a1q2＋2)，整理得q2－2q＋1＝0，求得q＝1，与已知矛盾，故数列{an＋2}不是等比数列． 【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式推导和有关等比数列的证明. 突出对教材重要内容的考查，引导回归教材，重视教材.属于基础题. 题型03 等差数列的性质及应用 【典例1】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）记为等差数列的前项和，若.则（    ） A．28 B．26 C．24 D．22 【答案】D 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据题意，得到构成等差数列，列出方程，即可求解. 【详解】由为等差数列的前项和，可得构成等差数列， 即构成等差数列，可得，解得. 故选：D. 【典例2】（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）在等差数列中，若则 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】应用等差数列项的性质计算求解即可. 【详解】因为成等差数列，公差为， 所以， 故答案为:． 【典例3】（23-24高二下·北京·期中）等差数列的前n项和为，，，则 ． 【答案】 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列前项和的性质，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】根据等差数列前项和的片段和性质可知：也构成等差数列，也即构成等差数列， 则，解得. 故答案为：. 【典例4】（23-24高三上·天津宁河·期末）已知等差数列， 的前项和分别为，，且，则 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式计算可得. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 【变式1】（2024·山西朔州·一模）设为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】利用等差数列的性质可得，从而可求. 【详解】因为，故即，而， 故， 故选：A 【变式2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答. 【详解】根两个等差数列和的前项和分别为、，且， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高三·全国）已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 . 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】设等差数列的奇数项的和为，偶数项之和为，可得出，再由可求出、的值，即为所求结果. 【详解】设，， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得，， 所以. 故答案为：. 题型04 等比数列的性质及应用 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）在等比数列中，若，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的性质计算即可. 【详解】由于是等比数列，且，， 所以， 故选：C. 【典例2】（2024·四川内江·三模）在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据题意，由等比数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为等比数列，所以成等比数列， 即成等比数列，可得，所以. 故选：C 【典例3】（23-24高二·江苏·课后作业）在等比数列中，，，求的值. 【答案】50 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】利用等比数列的奇数项和与偶数项和的关系,即可求解. 【详解】解：设,， 所以, 所以， 所以. 【变式1】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 【答案】B 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列的片段和性质列式运算即可得解. 【详解】因为正项等比数列中，为其前项和， 则也是等比数列，即， 又，，所以，解得. 故选：B. 【变式2】（2024·江西上饶·已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为 . 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、正项等比数列的对数成等差数列的应用 【解析】推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则（常数）， 所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列， 因为， 同理可得，因此，. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：已知等差数列、的前项和分别为、，则. 【变式3】（23-24高一下·江苏南京中）已知等差数列的公差不为，且是等比数列从前到后的连续三项. (1)若，求等差数列的前10项的和； (2)若等比数列的前项的和，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】（1）运用等比中项以及等差数列的通项公式建立方程组求解； （2）根据可得等比数列的公比，进而运用等比数列的性质，即可得奇数项的和与偶数项的和的关系，即可求解： 【详解】（1）设公差为,则, 由得, 因为,∴,故 因此 （2）由（1）知，所以， ∴公比 又 ∴ ∴ 题型05数列求通项、求和 【典例1】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】根据对数运算法则可得，再利用等比数列性质和函数可得，利用倒序相加即可得. 【详解】由题意可知，，所以； 由等比数列性质可得； 又因为函数，所以， 即，所以； 令，则； 所以， 即. 故选：C 【典例2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和为． 【答案】(1)） (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设的公比为，由等比数列的性质可得，解方程求出，即可求出的通项公式； （2）由（1）可知，由分组求和法求解即可. 【详解】（1）设的公比为，则， 因为，所以，依题意可得，即， 整理得，解得或（舍去），所以． （2）由（1）可知， 故 【典例3】（23-24高二下·广东佛山·期中）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）由，利用分组求和法求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，所以或． 又因为，所以，所以， 故，． （2）， ． 【典例4】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）记递增的等差数列的前项和为，已知，且. (1)求和； (2)设.求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． （2）， 所以 ． 【典例5】（23-24高二下·四川成都·期中）记为数列的前n项和，且，. (1)求及数列的通项公式； (2)若，前n项和为，求的取值范围. 【答案】(1)2， (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由的关系，消去得到的递推关系，构造等比数列即可得解； （2）利用裂项相消法求出和，根据单调性分析范围即可. 【详解】（1）由可得，，解得， 当时，由可得， 两式相减可得，即， 可化为， 故数列是首项为3，公比为3的等比数列， 则，可得. （2）由， 所以， 由为递增数列可知，，又，所以， 所以的取值范围为. 【典例6】（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由构造等比求通项即可求的通项，由等差数列的通项公式求解； （2），由错位相差法求解即可． 【详解】（1）因为，所以， 又，得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故， 则， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以． （2）由（1）知，，， 所以， 所以， ， 两式相减，得 ， 故． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【知识点】倒序相加法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 【变式2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列中，，．数列的前项和为，且． (1)求数列以及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由等比数列的定义可得的通项公式，利用通项与前项和的关系式，可得的通项公式； （2）由（1）得，利用分组求和法即可求解. 【详解】（1），即， 又， 所以是首项、公比都为2的等比数列， 所以， 当时，由， 得， ， 当时，，符合上式， . （2）由（1）得， 则 数列的前项和. 【变式3】（2024高一·全国）已知数列的前项和为，等比数列的首项，公比为． (1)求两数列的通项公式； (2)设，若存在，使得成立，求数列的和． 【答案】(1) (2)1200 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由Sn求通项公式、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）当时，，当时，求出，再由等比数列的首项，代入等比数列的通项公式可得； （2）由题意可得，分类讨论为奇数时和偶数时结合可求出，再由分组求和法结合等差数列的求和公式即可得出答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 又因为当时，满足， （2）因为，所以， 当为奇数时，由可得：无解； 当为偶数时，由可得：，解得：， . 【变式4】（23-24高二下·重庆·期中）已知数列各项均为正数，的前n项和为，从①，；②，这两个条件中任选一个，解决下面两个问题．（如果两个都选择的按第一个给分．） (1)求数列的通项公式； (2)数列为等比数列，满足，，数列满足，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）若选①，根据，作差得到，从而得到，即是常数数列，从而求出的通项公式；若选②，由求出，当时利用作差法得到，从而有，即可得到是以为首项，为公差的等差数列； （2）首先求出等比数列的公比，即可求出的通项公式，则，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）若选①，，， 当时，即， 当时，所以， 即， 所以，则，所以是常数数列，又， 所以，则. 若选②， 当时，又，解得， 当时， 两式相减可得， 即，所以， 当时， 所以， 即，则， 因为，则， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）设等比数列的公比为，因为，， 即，，所以，解得， 所以， 则， 所以. 【变式5】（23-24高三下·四川德阳）等差数列的前项和为，等比数列中，. (1)求和. (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）设等差数列的首项和公差分别为，由等差数列的前项和公式求出，即可求出，再由等比数列的性质求出，即可求出； （2）由（1）可得，由裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为，设等比数列的公比为， 所以. 公差. ，公比. （2） .  【变式6】 （23-24高二下·江苏南京·期中）数列满足，，. (1)的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）利用配凑法证得数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，进而求得的通项公式. （2）利用错位相减法求得数列的前项和. 【详解】（1）数列 满足 ， 整理得 ，又， 即 (常数)， 所以数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列. 故 ， 整理得 . （2）由于 ，所以 ， 所以 ①， ②， ① - ②得： ， 所以 . 题型06 数学思想与方法（函数方程） 【典例1】（23-24高三上·辽宁·期中）设是公差为2的等差数列，为其前n项和，若为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求等差数列前n项和、根据数列的单调性求参数 【分析】求得和，结合题意转化为对恒成立，令，得到，令，结合函数的单调性，求得最大值，即可求解. 【详解】由数列是公差为2的等差数列， 可得，则， 因为数列为递增数列， 可得对恒成立， 即对恒成立， 令，则， 令，可得在为单调递减函数， 所以，当时，取得最大值，所以，即的取值范围为. 故选：A. 【典例2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）由，当时，可得，两式相减，得到，再由，即可求解； （2）由（1）得到，结合裂项相消法求和，求得，因为对任意恒成立，转化为对任意恒成立，令，结合函数的单调性，求得的最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由数列满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即， 又由时，可得，适合上式， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）知，可得， 所以 ， 因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，即， 可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又由，， 所以的最小值为，可得， 所以实数的取值范围为. 【变式1】（23-24高二下·广东·期中）等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数列不等式恒成立问题、对勾函数求最值、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知，则的公差为， 所以， 则，即恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 而，即， 所以. 故答案为： 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）函数满足．若不等式对任意的恒成立，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】数列不等式恒成立问题、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】由斐波那契数列，有，由斐波那契数列的性质有，则，可求的最小值. 【详解】斐波那契数列满足： 数列为正项递增数列， 由斐波那契数列的性质有 ∵，， ∴， 而 故只需，即的最小值是. 故答案为： 题型07数学思想与方法（ 分类讨论思想） 【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）数列满足． (1)求数列通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）由题意有，数列是首项为2，公差为2的等差数列，可求数列通项公式． （2），分为奇数和为偶数，结合分组求和法求. 【详解】（1）由，有， 又，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 则有，所以数列通项公式. （2）设， 为奇数时，；为偶数时，. 为奇数时， ； 为偶数时， . 所以. 【典例2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、数列求和的其他方法 【分析】（1）由递推公式，得出，则 是公比为2的等比数列. 再由等比数列知识求解即可． （2）结合（1），求出．分奇偶讨论求和即可 【详解】（1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 【变式1】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知数列的前项和为，满足：，且． (1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、分组（并项）法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用数列中与的关系结合等差数列的定义证明求解； （2）利用裂项相消法求和以及等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以①，②， ②①得，即③，则④， ④③得，化简得，所以， 所以数列为等差数列， 由，当时，解得， 因为，所以数列以1为首项，2为公差，所以. （2）由（1）可得, 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， 所以， 当为偶数时，， 所以， 由，得，即， 当为偶数时，对一切偶数成立， 当时，有最小值为5，,所以， 当为奇数时，对一切奇数成立，即对一切奇数成立， 当时，有最大值为，所以此时， 综上，对一切恒成立，则的取值范围是． 【变式2】（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得. 【详解】（1）由，得，即， 两边同加，得，则，因此数列为常数列， 所以数列为等差数列. （2）由（1）知，，则，， 当为正奇数时，，；当为正偶数时，，， 当为正奇数时，； 当为正偶数时，， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$