专题03 三角函数与解三角形(解答题热点，十一大题型)-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题03 三角函数与解三角形（十一大题型） 题型01 求值域、最值 2 题型02 三角函数中解不等式 2 题型03 零点问题 3 题型04 实数解、方程根等问题 4 题型05 导数与三角形函数 4 题型06 解三角形，周长、面积问题 5 题型07 最值问题 5 题型08 取值范围问题 6 题型09 解三角形与数列 6 题型10 平面向量、三角函数、解三角形综合 7 题型11 三角函数的实际应用 8 【解题规律·提分快招】 1、已知三角函数解析式求单调区间： 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2、奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式． 3、周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解． 4、确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 5、解三角形问题的技巧 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 题型01 求值域、最值 【典例1-1】．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 【变式1-1】．（23-24高三上·上海静安·期末）记，其中为实常数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值． 【变式1-2】．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)设，求函数的值域； 【变式1-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)将化成的形式，并写出的最小正周期及对称轴方程； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 题型02 三角函数中解不等式 【典例2-1】．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，. (1)求函数的表达式； (2)求关于x的不等式的解集. 【变式2-1】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，． (1)求函数的严格减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型03 零点问题 【典例3-1】．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）． (1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； (2)若，，求函数的值域及零点． 【典例3-2】．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【变式3-1】．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 【变式3-2】．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【变式3-3】．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【变式3-4】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为， (1)设，求函数，的单调增区间； (2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 题型04 实数解、方程根等问题 【典例4-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 【变式4-1】．（2023·上海宝山·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【变式4-2】．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中. (1)求在上的解； (2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 【变式4-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和． 题型05 导数与三角形函数 【典例5-1】．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 【变式5-1】．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 题型06 解三角形，周长、面积问题 【典例6-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，，. (1)求的值; (2)求的值. 【变式6-1】．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【变式6-2】．（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 题型07 最值问题 【典例7-1】．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【变式7-1】．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【变式7-2】．（2023·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足． (1)若，求的面积； (2)求的最大值，并求其取得最大值时的值． 【变式7-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 题型08 取值范围问题 【典例8-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且为钝角， (1)求； (2)求的取值范围是． 【变式8-1】．（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角. (1)若,，求的面积； (2)求的取值范围. 【变式8-2】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）在中，角A、、所对的边分别为、、，且满足． (1)求角A； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 题型09 三角函数或解三角形与数列 【典例9-1】．（20-21高三上·上海虹口·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且. （1）求的面积； （2）若a、b、c成等差数列，求b的值. 【典例9-2】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数. (1)求的最大值及取得最大值时的值； (2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值. 【变式9-1】．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）设的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若. (1)求证：a、b、c成等差数列； (2)若均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小. 【变式9-2】．（2019·上海松江·一模）已知函数. （1）求的最大值； （2）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长. 【变式9-3】．（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 题型10 平面向量、三角函数、解三角形综合 【典例10-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和严格增区间; (2)若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径. 【典例10-2】．（24-25高三上·上海·期中）设向量，，. (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)在中，角、、的对边分别为、、.若，，且，求的面积. 【变式10-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、．已知． (1)求角的大小； (2)设为边的中点，若，，求的大小． 【变式10-2】．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值． 【变式10-3】．（2024·上海浦东新·三模）已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【变式10-4】．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【变式10-5】．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，. (1)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围； (2)设的三边分别是，若，，求的取值范围. 题型11 三角函数的实际应用 【典例11-1】．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中． (1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长； (2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大． 【变式11-1】．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道． (1)若，，求休闲步道总长（精确到米）； (2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状． 【变式11-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．    (1)当，时，求正方形纸片的边长； (2)当变化时，求的最大值及对应的值． 一、解答题 1．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知函数， (1)若当时，函数的值域为，求实数的值； (2)在（1）条件下，求函数图像的对称中心和单调区间. 2．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 3．（2023·上海普陀·三模）设函数，其中. (1)若的最小正周期为，求的单调增区间； (2)若函数图象在上存在对称轴，求的取值范围. 4．（2023·上海闵行·一模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，且． (1)若，，求的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形（十一大题型） 题型01 求值域、最值 2 题型02 三角函数中解不等式 5 题型03 零点问题 8 题型04 实数解、方程根等问题 13 题型05 导数与三角形函数 18 题型06 解三角形，周长、面积问题 20 题型07 最值问题 22 题型08 取值范围问题 28 题型09 解三角形与数列 30 题型10 平面向量、三角函数、解三角形综合 33 题型11 三角函数的实际应用 40 【解题规律·提分快招】 1、已知三角函数解析式求单调区间： 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2、奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式． 3、周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解． 4、确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 5、解三角形问题的技巧 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 题型01 求值域、最值 【典例1-1】．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的图象性质即可求得其单调递减区间； （2）先由求得整体角，结合正弦函数的图象即可求其值域. 【解析】（1）, 由，可得， 即函数的单调递减区间为. （2）当，，则， 故函数的值域为. 【变式1-1】．（23-24高三上·上海静安·期末）记，其中为实常数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案； （2）求出，再整体换元，找出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【解析】（1）． ∴函数的最小正周期为． （2）， ，则． 令，因为，则． 当或，即或时，． 当，即时，． 【变式1-2】．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)设，求函数的值域； 【答案】(1)补充表格见解析， (2) 【分析】（1）由表得，解方程组即可得，进一步可据此完成表格； （2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解. 【解析】（1）由题意，解得， 所以函数的解析式为， 令时，解得，当时，， 将表中处的数据补充完整如下表： 0 0 1 0 0 （2）若， 则 ， 因为，所以， 进而， 所以函数的值域为. 【变式1-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)将化成的形式，并写出的最小正周期及对称轴方程； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)对称轴为直线 (2) 【分析】（1）根据题意，由恒等变换公式代入计算，化简，再由余弦型函数的性质，即可得到结果； （2）根据题意，分在上单调以及在上不单调讨论，然后结合条件列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【解析】（1） ，由题意得的最小正周期. 由图像可知，对称轴为直线. （2）若在上单调，则， 得， 则 由，得，则， 所以. 若在上不单调， 则在上的图像上必定有一个最高点或最低点， 且在上的图像无论经过任何一个最高点或任何一个最低点， 的取值范围均相同. 假设在上的图像的最高点为，则， 当，即时，，此时取得最小值， 且最小值是.易得，则，所以. 综上，的取值范围为. 题型02 三角函数中解不等式 【典例2-1】．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，. (1)求函数的表达式； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，化简，再根据为奇函数求解当时，函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，再根据奇函数的性质解不等式即可. 【解析】（1）当时，函数 . 当时，； 当时，， 即； 因为， 所以. 因此； （2）当时，， 因此有在上严格单调递增； 而当时， 因此有在上严格单调递增； 原不等式可化为：； 而是定义在上的严格增函数， 所以； 因此不等式的解集为. 【变式2-1】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，． (1)求函数的严格减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换化简得出，由可求出的取值范围，再由正弦型函数的单调性可求出函数的减区间； （2）求出的取值范围，由参变量分离法可得出，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【解析】（1）解：因为， 因为，则，由可得， 所以，函数的严格减区间为. （2）解：由（1）可知，，则， 所以，，即， 所以，， 由可得， 所以，，所以，， 因此，实数的取值范围是. 题型03 零点问题 【典例3-1】．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）． (1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； (2)若，，求函数的值域及零点． 【答案】(1)，； (2)；. 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）化简得函数解析式，利用整体思想及三角函数的性质求值域与零点即可. 【解析】（1）由， 若函数的最小正周期是，则，即，所以， 令，解之得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由（1）知：，若，则， 则时，有，则， 故，函数值域为， 而在上，只有，即， 即函数的零点为. 【典例3-2】．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间. （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解析】（1）依题意， ， 当时，，由，得， 所以函数的在上的单调递减区间为. （2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点， 即函数在只有两个零点， 因此，解得， 所以的取值范围为. 【变式3-1】．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据最小正周期及三角函数的性质、不等式恒成立有，即可求参数值； （2）应用三角恒等变换有，令求解，结合即可求结果. 【解析】（1）， 由的最小正周期为，知， ， ∴. （2）由（1）可得：， ， 或，即或，， 又，则不妨令，故. 【变式3-2】．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【解析】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    【变式3-3】．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解； （2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解. 【解析】（1）因为函数的最小正周期，所以， 则当时，， 所以，得， 因为，所以取得， （2）解法一： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解，化简得， 又在上单调递减， 所以，则. 解法二： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解， 记，对称轴为， 则由根的分布可得，即，解得， 所以. 【变式3-4】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为， (1)设，求函数，的单调增区间； (2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】(1)增区间是，减区间是； (2)． 【分析】（1）结合正弦函数的单调性求解； （2）由，得，考虑正弦函数在上的零点，可得关于的不等式，解之可得． 【解析】（1），，，则， 时，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 因此增区间是，减区间是； （2）的最小正周期为，则，即， ，则， 由题意，解得． 题型04 实数解、方程根等问题 【典例4-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可. 【解析】（1）由 ， 令，解之得， 即该函数的单调增区间为； （2）由（1）知：， 所以若，即， 因为，所以， 则满足题意的或，即或. 【变式4-1】．（2023·上海宝山·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间； （2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围． 【解析】（1）， 则函数的最小正周期； 令，解得 ， 可得函数的单调递增区间为· 令 ，解得 ， 可得因数的单调递减区间为 ； （2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减， 当，，由增大到1， 当，，由1减小到， 若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 【变式4-2】．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中. (1)求在上的解； (2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可； （2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可. 【解析】（1）由已知， 又，所以， 所以或， 所以或， 即在上的解为或； （2）由已知 ， 则在时有解，即在时有解， 因为，所以， 所以， 所以. 【变式4-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的奇偶性与对称性可得函数解析式，进而可得函数单调区间； （2）结合函数值域与对称性以及二次方程解的情况可得解. 【解析】（1） ， 由为奇函数，则， 即，， 又，所以， 又图像的相邻两条对称轴间的距离为，即，， 解得， 则，或， 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； （2）设，则方程可转化为，解得或， 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或或，即方程的解有，，； 若，则，则此时满足，即， 此时 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或，即方程的解有，； 若，由（1）得此时函数在上单调递减， 即当时函数单调递减，当时函数单调递增，当时函数单调递减， 又，且，， 所以在和分别各有一解，在上无解， 且满足与关于对称轴对称， 则， 此时. 题型05 导数与三角形函数 【典例5-1】．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 【答案】(1)； (2)7或15. 【分析】（1）把代入，求出时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域. （2）由已知可得，再利用给定区间及极值情况求出范围即可得解. 【解析】（1）当时，，由，得， 则，， 所以函数的值域是. （2）由，得，解得， 当时，而，则， 又函数在内有极小值，无极大值，则， 解得，于是或 ，解得或， 当时，，又，无解； 当时，，又，则； 当时，，又，则； 当时，，又，无解， 所以的值是7或15. 【变式5-1】．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【解析】（1）因为 ， 由，则， 令，解得， 所以函数在上的单调递减区间为； （2）由，则， 因为函数在区间上有且只有两个极大值点， 所以，解得， 即实数的取值范围. 题型06 解三角形，周长、面积问题 【典例6-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，，. (1)求的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化简可得结果. （2）根据两角和差公式，由二倍角公式得到和的值，利用正弦定理得到的值，同角三角函数的关系得到的值，最后代入求解. 【解析】（1）在中，由余弦定理得. 将题目条件代入得，解得. （2）由于为三角形内角，故， 进而有，， 在中，由正弦定理得. 由于，故为锐角，得. 因此有. 【变式6-1】．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【解析】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 【变式6-2】．（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【解析】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 题型07 最值问题 【典例7-1】．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【解析】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即. （2）由（1）可知， 所以或. 在中，由余弦定理得 ， 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 综上所述，的面积最大值为. 【变式7-1】．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1)或；当时，；当时， (2) 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可； （2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解. 【解析】（1）由，得，则， 又，所以或. 当时，； 当时，. （2）若为锐角三角形，则， 有，解得. 由正弦定理，得，则， 所以 ， 其中，又，所以， 则，故当时，取到最大值1， 所以的最大值为. 【变式7-2】．（2023·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足． (1)若，求的面积； (2)求的最大值，并求其取得最大值时的值． 【答案】(1)或； (2)最大值，. 【分析】（1）首先由余弦定理求出c，再结合三角形面积公式即可求解； （2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解． 【解析】（1），，， 又，， ． 又在中，，，， 因为，所以， 又在中，，， 再由三角形的余弦定理得：，， 即，解得或， 当时，， 当时，， （2），，． ． 其中，，，， 在中，，， 当时，取到最大值， 此时，． 【变式7-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，从而将转化为关于的三角函数，最后由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，所以， 又，所以； （2）由正弦定理， 所以，， 则 ， 其中， 又，所以当时取得最大值. 题型08 取值范围问题 【典例8-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且为钝角， (1)求； (2)求的取值范围是． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可利用三角函数的性质求解； （2）根据三角形内角和定理结合三角恒等变换化简，再根据二次函数的性质求解即可. 【解析】（1）因为，且为钝角， 由正弦定理得，又，故， 由于在中，所以或（舍去）， 所以； （2）由于，， 所以， 故 ， 由于，所以， 故， 故的取值范围为. 【变式8-1】．（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角. (1)若,，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数关系得到，结合为钝角得到 ，，利用正弦定理得到，由三角形面积公式得到答案； （2）由（1）知，，变形得到，求出，故得到. 【解析】（1）， 因为，，故， 因为为钝角，所以，， 由正弦定理得，故， 其中， 所以，解得， ， ； （2）由（1）知，， ， 因为为钝角，所以，且， 解得， 所以， . 【变式8-2】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）在中，角A、、所对的边分别为、、，且满足． (1)求角A； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和差公式求解可得； （2）利用三角恒等变换公式化简，根据锐角三角形性质求得B的范围，再由正弦函数性质可得. 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得：， 且，则，可得， 则， 所以或. （2）因为是锐角三角形，则，则， 则 ， 由是锐角三角形可得，即， 则，可得， 所以的取值范围为. 题型09 三角函数或解三角形与数列 【典例9-1】．（20-21高三上·上海虹口·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且. （1）求的面积； （2）若a、b、c成等差数列，求b的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先利用数量积和余弦值得到，再利用面积公式计算即得结果； （2）根据等差数列得到，再结合余弦定理进行运算得到关于b的关系，求值即可. 【解析】（1）由得，所以， 所以，所以， 所以； （2）因为a、b、c成等差数列，所以， 由余弦定理得， 即，解得. 【典例9-2】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数. (1)求的最大值及取得最大值时的值； (2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值. 【答案】(1)时，最大值 (2) 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，求得，再题意得到和，结合余弦定理，即可求得的值. 【解析】（1）解：由函数 ， 当时，即，此时函数取得最大值. （2）解：由函数， 因为，即，即， 又因为，可得，可得，解得， 因为成等差数列，可得， 又因为，可得，所以， 又由余弦定理可得， 即，所以. 【变式9-1】．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）设的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若. (1)求证：a、b、c成等差数列； (2)若均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，逆用和角的正弦公式，结合正弦定理角化边即得. （2）由（1）的结论及已知设，再利用余弦定理结合唯一钝角三角形条件求解即得. 【解析】（1）在中，由，得， 即， 由正弦定理得，所以a、b、c成等差数列. （2）由（1）及已知，设，显然， ，则有，又， 因此，由存在唯一的钝角满足条件，得，于是， 所以. 【变式9-2】．（2019·上海松江·一模）已知函数. （1）求的最大值； （2）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，进而可求得函数的最大值； （2）由结合角的取值范围可求得角的值，由已知条件可得，利用平面向量数量积的定义可得出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【解析】（1） ， 因此，； （2），， ，则，，故. 、、成等差数列，则， ，， 由余弦定理可得，，. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 【变式9-3】．（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得即可； （2）得到表达式后，发现（），故由分组求和法即可求解. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 对于任意，有， 所以， 故数列的前2024项和为 ． 题型10 平面向量、三角函数、解三角形综合 【典例10-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和严格增区间; (2)若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径. 【答案】(1)的最小正周期；严格增区间 (2)1或2 【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据周期公式求最小正周期，根据正弦函数的单调性求单调增区间. （2）已知和的值，可以先求出的值，再根据正弦定理（为外接圆半径）求出. 【解析】（1）， 由两角差的正弦公式得. 所以， 展开得，即. 再根据辅助角公式得.   根据周期公式得， 因为的单调增区间是. 令，则， 解得， 所以的严格增区间是. （2）已知. 因为是三角形内角，即，则. 所以，或，解得，或. 已知，根据正弦定理. 当，，则，解得. 当，，则，解得 则三角形的外接圆半径为1或2. 【典例10-2】．（24-25高三上·上海·期中）设向量，，. (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)在中，角、、的对边分别为、、.若，，且，求的面积. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，由平面向量数量积的坐标表示直接写出的解析式，再通过三角恒等变换化简，最后根据正弦型函数的性质求出最小正周期及单调增区间. （2）由（1）先将代入函数解出A的值，再由余弦定理得出bc的值，最后根据三角形面积公式求出面积. 【解析】（1）由题意知，， 故函数的最小正周期. 令，解得， 因此函数的单调增区间为. 故函数的最小正周期为，单调增区间为. （2）由题意知，即. 由于，故， 解得，即. 由余弦定理得， 故， 即， 故. 故的面积. 【变式10-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、．已知． (1)求角的大小； (2)设为边的中点，若，，求的大小． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）用正弦定理将边化角，再用两角和的正弦公式化简即可求出，进而可得角的大小； （2）用余弦定理结合题目所给条件可求出及，再用向量即可求解. 【解析】（1）, , , , ， . （2）在中, 由余弦定理得, , 又因为， 所以， 联立解得， 因为为边的中点，所以, 所以， 即， 所以.    【变式10-2】．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的单调性，通过整体代入求解可得； （2）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式展开后因式分解可解. 【解析】（1）由题意得，， 由，解得：， 所以单调递增区间为； （2）由正弦定理边化角得， 因为在中，，则， 所以，即， 所以 当时，； 当，即时，． 因为，所以． 【变式10-3】．（2024·上海浦东新·三模）已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解； （2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解. 【解析】（1）由题，，解得，故. 令， 所以的单调减区间为. （2）由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. 【变式10-4】．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可； （2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案． 【解析】（1）， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以, 则，解得， 所以． （2）由得，， 因为，所以，即， ，解得(舍负)， 过点作于点，如图所示， 由得，，则， 所以，则， 所以，则． 【变式10-5】．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，. (1)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围； (2)设的三边分别是，若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数解析式为，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. （2）先求出C，再用正弦定理边角互化，转化为三角函数求值域即可. 【解析】（1） 所以 所以即，由于， 即，故，而，故. 又由于，所以. （2），所以，即或， 由于为的内角，故. 所以由正弦定理，，. 所以，. 所以的取值范围是. 题型11 三角函数的实际应用 【典例11-1】．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中． (1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长； (2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，利用三角函数把线段、、表示为的函数，利用换元和二次函数的性质求取最大值时的值. （2）利用扇形面积公式和三角形面积公式，把种植总面积表示为的函数，利用导数研究单调性，求取最大值时的值. 【解析】（1）解：如下图，连接，则， 半圆的半径，在中，，即， 同理可得，且， 所以参观路线的长度， 令，即. 由二次函数性质可知，当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长. （2）解：由题知：扇形的面积， 的面积， 的面积， 所以杜鹃花的种植总面积， ， 令得或（舍），因为，所以，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以时，杜鹃花的种植总面积最大. 【变式11-1】．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道． (1)若，，求休闲步道总长（精确到米）； (2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理得求得，再由弧长公式，求得的长，进而求得总周长，得到答案. （2）若选择面积最小：设，得到，在中，由正弦定理，求得，，根据三角形的面积公式，结合三角恒等变换的公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解； 若选择周长最长：由正弦定理，求得，，利用三角恒等变换的公式，化简得到周长为，结合三角函数的饿性质，即可求解. 【解析】（1）解：由题意知，，所以，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以，又由弧长公式，可得的长， 所以总周长为：. （2）解：若选择面积最小： 设，因为，可得， 由正弦定理知， 所以， ， 所以 ， 因为，所以， 所以，当时，即时，面积取得最大值，最大值为， 又因为， ， 所以，. 若选择周长最长： 设，因为，可得， 由正弦定理知， 所以， ， 则的周长为 ， 其中， 因为的最大值为，所以的周长的最大值为， 即时，即时， 所以时， 的周长的最大值为. 【变式11-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．    (1)当，时，求正方形纸片的边长； (2)当变化时，求的最大值及对应的值． 【答案】(1) (2)最大值为， 【分析】（1）设正方形的边长为，则再结合图形由三角函数计算得到，代入数据计算即可； （2）分别求出和，再计算时，令，利用导数求其单调性，再求结果即可； 【解析】（1）设正方形的边长为，则 则 由即 整理得到， 当时， （2）由（1）易知 则 则， 令，则 令，求导可得恒成立， 所以可得在上单调递减， 故，故的最大值为， 此时，故 一、解答题 1．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知函数， (1)若当时，函数的值域为，求实数的值； (2)在（1）条件下，求函数图像的对称中心和单调区间. 【答案】(1)； (2)对称中心为，单调减区间为，的单调增区间为. 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，结合得到，从而列出方程组，求出实数的值； （2）整体法求解函数的对称中心和单调区间. 【解析】（1） ，， ，又， ，因此， ∴，解得：. （2）由（1）知，令， 整理得， 的图像的对称中心为， 令，整理得：， 得单调减区间为， 令，整理得：， 故的单调增区间为. 2．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)4，为等边三角形 【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求； （2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状. 【解析】（1）由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； （2）由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时为等边三角形. 3．（2023·上海普陀·三模）设函数，其中. (1)若的最小正周期为，求的单调增区间； (2)若函数图象在上存在对称轴，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出，然后利用正弦函数的单调性求解； （2）利用正弦函数的对称轴公式求参数的范围. 【解析】（1）由题意，， 又，于是，则，则， 根据正弦函数的单调递增区间，令， 解得，,即为的单调递增区间. （2）当，， 注意到题干，则， 根据正弦函数的对称轴， 显然只有时一条对称轴， 于是，解得， 结合可得 4．（2023·上海闵行·一模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，且． (1)若，，求的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由已知条件可得出的值，再利用余弦定理可求得的值； （2）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式化简得出，再利用为锐角三角形求出角的取值范围，即可求得的取值范围. 【解析】（1）因为，，，所以，， 由余弦定理可得，故. （2）因为，由正弦定理可得， 即 ， 因为为锐角三角形，则、、，所以，， 因为正弦函数在上为增函数，所以，，即， 由可得，故， 因此，的取值范围是. 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$