专项6 等腰三角形的常用作助线的方法&专项7“手拉手(共顶点)模型的等腰三角形-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（人教版）

八年级数学（上册） 当这个角为顶角时，则底角为180° 当∠BAC是钝角时，如答图②， 2 DE垂直平分AB, 根据题意得x=2(1802解得=90°.则底角的 ∴AE=BE. .∠BAE=∠EBA. 度数为180-=450.综上所述，底角为72或45， :∠AEB=80°， 6题答图② 2 49我10〔解析]分两升情况：①当点P在01上 云∠BME=∠EB1=号x(180°-80)=50. .∠BAC=130. 时，如答图①，OP=OQ,根据题意，得P0=AO-AP ·AB=AC, =10-2,00=10-2=1,解释1=9：②当点P ∠Ac=3×(180-130)=25, 在OB上时，如答图②，△POQ是等边三角形，根据 ∴.∠EBC=∠EBA+∠ABC=75 题意，得P0=AP-A0=21-10,0Q=1,∴.21-10= 综上，∠EBC的度数为15或75 ,解得1=10.故当1=9发10时，△P00是等腰三 专项6等腰三角形的常用作辅助线的方法 1.证明：(1)如答图，连接AD 角形 AB=AC,D为BC的中点， .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C 又：∠BAC=90° ,∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45° .'AD BD A PO 在△BED和△AFD中， 4题答图① 4题答图②2 5.142°或100°[解析]AB=AC,∠B=50°， BE =AF, ∴.∠BAC=180°-50°-50°=80°.由题意，知△EDP ∠B=∠DAF BD =AD. 只能是以DE为腰的等腰三角形.如答图，过点D作 1题答图 ∴.△BED≌△AFD(SAS).∴.ED=FD. DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,:AB=AC,D为 (2)'△BED≌△AFD,∴.∠BDE=∠ADF BC的中点，∴，AD平分∠BAC,.DG=DH,.点P可 .∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°， 能在P,的位置，也可能在P,的位置①如答图①， ∠EDF=90°，.ED⊥DF 当点P在P,的位置时，在R△DEG与R△DP,H2.证明：如答图，作EF⊥AC于点F 中，DE=DP,DG=DH,∴，Rt△DEG≌Rt△DPH, ·EA=EC.∴.AF=FC. ∴.∠APD=∠AED=69°，∠EDP,=360°-69°- .AC =2AB,.'.AF FC =2AF =2AB..AF AB. 69°-80°=142°.②如答图②，当点P在P的位置 AD平分∠BAC,∴.∠BAE=∠FAE 时，同理，可得R△DEG≌Rt△DPH,∴，∠EDG= 又：AE=AE,∴.△ABE≌AFE. ∠P2DH,∴.∠EDP2=∠GDH=360°-90°-90°- ∴.∠ABE=∠AFE=90°.∴EB⊥AB. 80°=100°.综上，∠EDP的度数为142或100 A D E P G E 2题答图 D 3.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M 5题答图① 题答图2 如答图所示， 6.解：当∠BAC是锐角时，如答图① ∴.∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. DE垂直平分AB .AB=AC, ..AE BE. ∴∠B=∠ACB, ∠BAC=∠ABE. ∴∠B=∠DMB, :∠AEB=80°. 6题答图① ∴B=MD 3题答图 ∠B1G=LABE=2×(I80°-80)=509 BD CE,..MD CE. ∠MDF=∠E, :AB=AC∠ABC=号×(180-50)=6 在△DMF和△ECF中， ∠MFD=∠CFE, MD CE. ∴.∠EBC=∠ABC-∠ABE=I5. △DMF≌△ECF(AAS),.DF=EF ·30· 参考答案及解析 4.证明：如答图，过点D作DM∥AB,交BC的延长线8.证明：证法一：如答图①，延长CA至点E,使EA= 于点M, AD,连接ED,则∠E=∠ADE. .∠MDC=∠A.∠M=∠B. ∴.∠BAC=∠E+∠ADE=2∠E. AC=BC,∴∠A=∠B, ∠BAC=2∠B .∠M=∠MDC. ∴.∠E=∠B. CD=CE, 又∠ECD=∠BCD. ÷.∠CDE=∠CED. 4题答图 CDCD. ,∠M+∠MDE+∠CED=180°， ∴.△CDE≌△CDB. E .∠M+∠MDC+∠CDE+∠CED=18O°， ..CE CB. 8题答图① ∴.∠MDC+∠CDE=90°， CE =AC+AE =AC +AD, 即∠MDE=90°，DE⊥DM. .AC AD=BC. MD∥AB,∴.DE⊥AB. 证法二：如答图②，延长DA到点E,使AE=AC,连 5.证明：(1)如答图，延长AB,DE交于点F 接EC,则∠E=∠ACE. AB∥CD,.∠F=∠2 D .·∠BAC=∠E+∠ACE ∠1=∠2，∴.∠1=∠F =2∠E. .AD =AF. :∠BAC=2∠B. AD =AB CD,AF =AB+BF, ∠B=∠E. A D B .DC=FB. .∴BC=EC. 8题答图② 5题容图 又，∠DEC=∠FEB .:∠ACD=∠BCD .△DCE≌△FBE,.BE=CE .∠ADC=∠B+∠BCD=∠B+∠ACD (2)由(I)知△DCE≌△FBE,AD=AF, 又：∠DCE=∠ACE+∠ACD=∠B+∠ACD. .DE=EFAE⊥DE .∠ADC=∠DCE. (3),DE=EF,AD=AF,∴.AE平分∠DAB ∴DE=CE. 6.解：如答图.延长GE交CB的延长线于M. .AC +AD =AE +AD DE CE BC. ,四边形ABCD是正方形， 证法三：如答图③，在BC上截取CE=CA,连接DE. .AD∥CM, :∠ACD=∠ECD,CD=CD, .∠AGE=∠M. ∴△ACD≌ECD. E为AB边的中点， ∴.AD=ED,∠BAC=∠DEC. ∴.AE=BE.在△AEG和△BEM中， ∠BAC=2∠B, D r∠AGE=∠M, ∠DEC=∠B+∠BDE, 8题答图③ ∠AEC=∠BEM, ∴∠BDE=∠B. LAE BE, G .DE BE, ∴.△AEG≌△BEM(AAS), .AC +AD=CE DE CE +BE BC. ∴.GE=ME,AG=BM=2. 9.证明：如答图，延长BD到F,使BF=BA,连接AF, 又，EF⊥MG.∴.FG=FM. 6题答图 CF. BF=4,,MF=BF+BM=4+2=6. :∠ABD=60°，△ABF为等边三角形， .GF=FM =6. .AF=AB=BF,∠AFB=60 7.证明：如答图，延长AD到G使DG=AD,连接CG. 又：AB=AC, AD为中线， .AC=AF, .BD =CD. ..∠ACF=∠AFC 又.∠ADB=∠CDG,AD=GD, 又：∠ACD=60°， ∴.△ADB≌△GDC, ∠AFB=∠ACD=60°， ∴.AB=GC,∠EAF=∠G .∠DCF=∠DFC. AE=EF,∠EAF=∠EFA. 9题答图 7题容图 .DC DF. ∠EFA=∠CFG,∴.∠G=∠CFG, ∴BD+DC=BD+DF=BF=AB, .CF=CG,∴.AB=CF 即BD+DC=AB. ·31· 八年级数学（上册） 1O.解：如答图，在DC上截取DE=BD,连接AE 3.(1)①证明：∠BAC=∠DAE :AD⊥BC,.∠ADB=∠ADE=90. .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC. 在△ABD和△AED中，AD=AD,∠ADB=∠ADE, ∠BAD=∠CAE. DB=DE,.△ABD≌△AED(SAS), 又.AB=AC,AD=AE, .AB=AE.‘,∠B=∠AEB :△ABD≌△ACE..∠ABD=∠ACE. AB BD CD,DE BD,CD DE +EC, ∴.∠BCE+∠BAC=∠BCA+∠ACE+∠BAC= ∴.AB+DE=DE+EC,∴AB=EC,.AE=EC ∠BCM+∠ABD+∠BAC=180°. 设∠EAC=∠C=x, 2解：：△ABC是等边三角形，且AB=AC=2, ∠AEB为△AEC的外角. .BC=2. ∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∴∠B=2x △ABD≌△ACE,..BD=CE 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°， .四边形ADCE的周长=AD+DC+CE+AE=AD 即2x+120°+x=180°，解得x=20°，∴.∠C=20 +DC+BD +AE BC +2AD. ∴当AD最短，即AD⊥BC时，四边形ADCE的周长 最小 ·△ABC是等边三角形，AD⊥BC, D 10题答图 .D-CB=2x2-1. 专项7“手拉手“（共顶点）膜型的等腰三角形 1.(1)证明：：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， (2)解：∠BCE+∠BAC=180 理由：如答图，设CE与AD交与点F. ∠ACB=∠DCE=90°. :∠BAC=∠DAE, .AC=BC,DC EC, 4 .∴.∠BAD=∠CAE. ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD. 又：AB=AC,AD=AE, ∴.∠BCD=∠ACE. .△ABD≌△ACE. rAC=BC, ∴.∠ADB=∠AEC. C 在△ACE和△BCD中， ∠ACE=∠BCD. 3题答图 .∠AFE=∠CFD, CE CD. ∴.∠EAF=∠ECD. .△ACE≌△BCD(SAS),,AE=BD. ∠BAC=∠FAE, (2)解：△ACB≌△DCE,△EMC≌△BNC. ∴.∠BAC=∠ECD △AON≌DOM,△MOB≌△DOE. 又∠BCE+∠ECD=180, 2.解：BM=AMM+CM.理由如下： ∴.∠BCE+∠BAC=180. 如答图，在DA上取点F,使DF=ME,连接CF 13.4课题学习最短路径问题 ,'△ABC与△EDC都是等边三 角形， 【基础巩園练】 .AC=BC =AB, 1.D【解析]要找一条最短路线，分别作点A关于 CE CD. OB,0C的对称点A',A”,连接A'A"交OB,OC于点 ∠BCA=∠ECD=60 M,N,测张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点 2题答图 ∴，∠BGM+∠ACE=∠ECD+∠ACE. 挑水，然后再沿小N走一条直线到菜国去，同理，画 即∠BCE=∠ACD.∴.△BCE≌△ACD. 出回家的路线图.故选D ∴，AD=BE,∠BEC=∠ADC 2.A[解析]如答图，点A'是点 ME FD. A关于直线a的对称点，连接 在△MEC和△FDC中， ∠MEC=∠FDC, A'B,则A'B与直线a的交点即 LEC DC, 为点P,此时PA+PB最短 ,∴△MEC≌△FDC(SAS). A'B与直线a交与点C,点 B ∴.MC=FC,∠MCE=∠FCD. P的位置应选在C点.同理，也 ∴.∠MCF=∠MCE+∠ECF=∠FCD+∠ECF= 可以找到点B关于直线a的对 2题答图 ∠ECD=60°. 称点求得 ∴.△MCF是等边三角形..MC=MF. 3.D[解析]连接BP.:△ABC是等边三角形，D是 .BM BE ME =AD -DF AM+MF AM+CM. BC的中点，.AD是BC的垂直平分线，PB=PC, ·32·第十三章轴对称 专项6等腰三角形的常用作辅助线的方法 [客案30] 类型①构造“三线合一”图形 ④如图，在△ABC中，CA=CB,D在AC延长线上， 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为BC E在BC上，且CD=CE.求证：DE⊥AB. 的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF 求证：(1)ED=DF:(2)ED⊥DF 4题图 1题图 2如图，在△ABC中AC=2AB,AD平分∠BAC交 BC于点D,E是AD上一点，且EA=EC 求证：EB⊥AB. 类型③补形法构造等腰三角形 2题阁 5如图，AB∥CD,∠1=∠2，AD=AB+CD. (1)求证：BE=CE: (2)求证：AE⊥DE; (3)求证：AE平分∠DAB. 类型②作平行线构造等腰三角形 3如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点E 5题图 在AC延长线上，且BD=CE,DE交BC于点F, 求证：DF=EF. 3题图 见此图标眼抖音/餐信扫码领取配套资源稳步提升成绩 53 八年级数学（上册） 类型【④倍长中线法构造等腰三角形 类型⑤延长（或截取）法构造等腰三角形 6(江苏南京月考)倍长中线法，就是将三角形的 8如图.在△ABC中，∠BAC=2∠B,CD平分∠ACB 中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运 交AB于点D.求证：AC+AD=BC. 用全等三角形的有关知识来解决问题的方法 利用上述方法解决以下问题：如图，在正方形 ABCD中，E为AB边的中点，G,F分别为AD,BC 边上的点.若AG=2,BF=4,∠GEF=90°，求GF D 的长 8题图 6题图 类型⑥截长补短法构造等腰三角形 ⑨如图，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC外一点 且∠ABD=60°，∠ACD=60°.求证：BD+DC=AB. 9题图 ☑如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点， AD,CE交于点F,且AE=EF,求证：AB=CF 7题图 10如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点 D,且AB+BD=DC,求∠C的度数 10题图 54g 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第十三章轴对称 专项7“手拉手”（共顶点）模型的等腰三角形[答案2] 类型①共顶点的等腰直角三角形 3在△ABC中，AB=AC,点D是射线BC上一点 (哈尔滨中考)已知，△ABC和△DCE都是等腰 (不与B,C重合)，以AD为一边在AD的右侧作 直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE,BD △ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. 交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点 (1)如图①，若△ABC是等边三角形，且AB=AC N =2,点D在线段BC上 (1)如图①，求证：AE=BD: ①求证：∠BCE+∠BAC=180°： (2)如图②，若AC=DC,在不添加任何辅助线的 ②当四边形ADCE的周长取最小时，求BD 情况下，请直接写出图②中四对全等的直角 的长. 三角形. (2)若∠BAC≠60°，当点D在线段BC的延长线 上移动时，如图②，∠BCE和∠BAC之间有 怎样的数量关系？并说明理由， 1题图① 1题图② 3题图① 3题图② 类型②共顶点的等边三角形 2如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，当点 B,C,D在一条直线上时，连接AD,BE交于点 M,连接CM,试探究线段BM与线段AM,CM之 间的数量关系，并说明理由， 2题图 见此图标眼抖音/餐信扫码领取配套资源稳步提升成绩 55