专题03 轴对称图形（8个知识点回顾+10大题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

专题03 轴对称图形 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 轴对称图形的相关概念】 【题型2 关于坐标轴对称的点的坐标性质】 【题型3 线段垂直平分线的性质及应用】 【题型4 线段垂直平分线和角平分线的作图】 【题型5 等腰三角形的性质】 【题型6 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 【题型7 等腰三角形的判定与性质】 【题型8 等边三角形的判定与性质综合】 【题型9含30°角的直角三角形的性质】 【题型10 将军饮马-最短路径问题】 知识点1 ：轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 知识点2 ：轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. 知识点4 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点5：等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点6：等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3. 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点7：含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点8：将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短 题型归纳 【题型1 轴对称图形的相关概念】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列图形是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，牢记轴对称图形的定义是解答本题的关键，属于基础题，比较简单．根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，从而进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，和关于直线l对称，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．由轴对称的性质即可得． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，把一张长方形的纸片沿折叠，若则为 度．    【答案】68 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠性质，矩形的性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出，根据折叠求出，即可求出答案． 【详解】解：四边形是长方形， 沿折叠到， 故答案为：68． 【题型2 关于坐标轴对称的点的坐标性质】 5．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）已知点和关于轴对称，则值为（   ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据点和关于轴对称，可得，，求出和的值，进一步计算即可． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， 解得，， ， 故选：B 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若点与点关于y轴对称，则x，y的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，熟知这一性质是解题的关键． 根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴，． 故选：B． 7．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称点的坐标变换，熟练掌握关于y轴对称点的坐标变换特征是解题的关键．根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标互为相反数， 纵坐标相等求解即可． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：C． 8．（24-25八年级上·北京·期中）一只电子跳蚤从点开始，先以x轴为对称轴跳至点A 的对称点B，紧接着又以y轴为对称轴跳至点B 的对称点C，则点 C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，掌握关于x轴对称横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数成为解题的关键． 首先写出A点关于x轴对称的点B的坐标，再写出点B关于y轴对称的点C的坐标即可解答．关于x轴对称x坐标不变，另一个坐标变成相反数． 【详解】解∶∵， ∴点A关于x轴对称的点B的坐标是， 点B以y轴为对称轴的点C的坐标是∶ ． 故选B． 【题型3 线段垂直平分线的性质及应用】 9．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若的周长是，则的周长是等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，得到，进而得到的周长等于，进而求出的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∴的周长， ∴， ∵， ∴的周长； 故选A． 10．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 11．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，连接，证明，得到，证明，得到，进而得到，求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边垂直平分线的交点的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边垂直平分线的交点的性质． 根据到三个村庄的距离相等，即确定一个点到三角形三个顶点都相等，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得这个点是三角形三个垂直平分线的交点． 【详解】解：∵由三条公路连接的A，B，C三个村庄所构成的三角形区域内修建一个集贸市场，且使集贸市场到三个村庄的距离相等， 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点， ∴这个集贸市场应建在三角形三边垂直平分线的交点处． 故选：D． 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的边的垂直平分线交于点D．连接．若，则 ． 【答案】5 【分析】先求出，再由线段垂直平分线的性质推出，即可作答．本题考查线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质定理的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∵D在的垂直平分线上， ∴ 故答案为：5． 14．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，已知是的角平分线，、分别是和的高． (1)请你判断与关系，并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)垂直平分，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据三角形全等的判定得出，求出，根据垂直平分线的判定即可得出答案； （2）根据三角形面积公式得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：垂直平分，理由如下： ∵是的角平分线，、分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，三角形面积公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 15．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，是的角平分线，D是的中点，，，垂足分别是点E，F，求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据是的角平分线，，，利用角平分线的性质可得，结合D是的中点，即可证明，由此可证； （2）首先由得到点D在的垂直平分线上，然后由得到，得到，然后得到，然后利用垂直平分线的判定求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴点D在的垂直平分线上， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【题型4 线段垂直平分线和角平分线的作图】 16．（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．先作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，则与的交点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求作的点． 17．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知及点C、D，求作一点P，使，并且使点P到的距离相等．（尺规作图） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线和的平分线，它们的交点即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 18．（24-25八年级上·浙江·期中）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为12． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为18，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 19．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在 中，，° (1)（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：）作的垂直平分线分别交于于； (2)依据（1）的图形，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到，则，根据等腰三角形的性质得到，则，进而得到，从而可得． 【详解】（1）解：直线即为所求； （2）解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【题型5 等腰三角形的性质】 20．（24-25八年级上·云南昭通·期中）一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①为腰，为底，能构成三角形，此时周长为； ②为底，为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去． ∴该三角形的周长是． 故选：A． 21．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当高在三角形的内部时： 由题意，得：，， ∴； 当高在三角形的外部时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 故选D． 22．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论． 【详解】解：当角为顶角，顶角度数即为； 当为底角时，顶角； 综上，若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是或， 故选：C． 23．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，，点在线段上，且满足．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握等腰三角形性质是关键；由及，得；由可求得，再由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选：B． 24．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（    ）    A．9 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】根据角平分线上点到角两边的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余，求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求解即可． 【详解】解：平分，且，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，含度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等；等边对等角；直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 25．（24-25八年级上·江苏·期中）如图，已知中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理，由作图可得，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出的度数，最后由计算即可得解． 【详解】解：由作图可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型6 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 26．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定， 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 一共有8个点. 故选：C． 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有2个， 当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，可找出格点的个数有6个； 这样的顶点有8个． 故选：C． 【题型7 等腰三角形的判定与性质】 28．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 29．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接． (1)求的度数； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的性质得出，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，再用角的和差来计算求解； （2）由（1）得，结合等腰三角形性质得到的度数，再结合三角形外角性质得到，从而得出即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）解：由（1）得．． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理和外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解答关键． 30．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在和中，，，与交于点E，过点E作于点F． (1)求证：垂直平分； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定定理先判定，然后根据其全等性质即可得出，进而得出，判定是等腰三角形，根据三线合一性质，即可得证； （2）证明平分，得出，由（1）得，得出，结合，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∴垂直平分； （2）解：∵，， ∴平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的判定、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 31．（24-25八年级上·天津南开·期中）在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相于点． (1)如图，当时，______（度），______（度）； (2)如图，若，证明：； (3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)的形状可以是等腰三角形，的度数为为或． 【分析】（）根据三角形内角和定理得到，然后利用，，即可得解； （）首先推导出进一步推导出，利用外角的性质得到，利用证明即可； （）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论； 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：的形状可以是等腰三角形，的度数为或，理由如下: ∵，， ∴， 分三种情况讨论： 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点与点重合，不合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的形状可以是等腰三角形，的度数为为或． 【题型8 等边三角形的判定云性质综合】 32．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，都是等边三角形，连接，交于点，求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得，进而可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于，于，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，根据“在角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，于，如下图， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 33．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）如图所示，过点作，可得是等边三角形，，，，证明，即可求解； （2）如图所示，过点作，由（1）的证明可得，是等边三角形，，由等边三角形的性质，外角和的性质，对顶角相等的知识可得，，，则有，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作， 由（1）的证明可得，是等边三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和的性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 34．（24-25八年级上·江西南昌·期中）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明和全等； （2）通过全等的性质得到，证得，再根据，得到，进而得 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ≌； （2）解：由（1）知：， ， ， ， ， 35．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)如图2，和均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请求出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等： （1）利用等边三角形的性质得出，，，进而证明即可； （2）同（1）可证，推出．再根据为等腰直角三角形，得出，即可得出． 【详解】（1）证明： 和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 和均为等腰三角形， ∴，， ， ∴，即． 在和中， ， ， ∴． ∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴． 【题型9含30°角的直角三角形的性质】 36．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，在中，，于点D，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键；根据直角三角形的性质可求，根据角度关系求出，再根据直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：，，， ，， ， ， ， ， 的长为， 故选：． 37．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，在中，根据含度角的直角三角形的性质先求得，在中，同理可得的长，即可求解． 【详解】解：在中， ，，， ， 在中， ， ， ． 故答案为： 38．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．由直角三角形的性质和角平分线定义得，则，，得，再求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 39．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键． 首先根据等边三角形的性质得到，，求出 可得，从而可得答案． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ∴ ∴． 故答案为：2． 【题型10 将军饮马-最短路径问题】 40．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即长就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 41．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线的对称点，连接，由，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则，    在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 42．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：． 43．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质、等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题， 连接交于点E，点C、关于直线对称，推出当点D与B重合时，的值最小，最小值为线段的长． 【详解】解：连接交于点E，过点B作直线， ∵， 是等边三角形，边长为8， ∴是等边三角形，， ∵A、B、三点在同一直线上， ∴和关于直线l的对称， ∵， ∴ ， ∵， ∴，， ∴点C、关于直线对称， ∴当点D与点B重合时，的值最小， 最小值为线段， 故选：C． 44．（18-19八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东韶关·期中）下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的识别，涉及轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，故选项符合题意； C、不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故选：D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据三线合一性质直接能得到点D是线段的中点，即可求解． 【详解】解∶∵，，， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A．17 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键． 运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，同理：，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长为． 故选：C． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，平行线的性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由折叠的性质可知，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，对于，小颖作如下操作：①分别以A、C为圆心，大于长为半径在的两侧画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于E、F两点；连接，恰好，已知于D，周长为16，，则长为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质．由作图痕迹知直线是线段的垂直平分线，推出，根据等腰三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：由作图痕迹知直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵周长为16，， ∴，即， ∴， 故选：A． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质．先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∴， 故选：C． 8．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为点E，F，，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．连接，，由的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得，则可得，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 9．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到，结合可得，即有，利用同样的方法得到， ，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：B． 二、填空题 10．（2012·山东德州·一模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为； 故答案为： ． 11．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，于，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质．首先根据可以判断是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一定理可求的长度． 【详解】解：， ， 又， ， 又， ． 故答案为： ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，于D，E､F为上两点，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，由三线合一定理和垂直的定义得到，，据此可证明，进而推出，据此可证明 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5. 13．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，由题意得的周长，根据点C在的垂直平分线上得，即可求解； 【详解】解：∵平分， ∴， ∴的周长， ∴， ∵点C在的垂直平分线上． ∴， ∴， 故答案为： 14．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 【答案】4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题解题的关键． 根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为：4 ． 15．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，等腰中，，，点D为的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，如果在某一时刻与全等，那么 ． 【答案】2或 【分析】设运动后，与全等，此时，，根据和两种情况解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，分类思想，熟练掌握情深几许的性质，分类思想是解题的关键． 【详解】解：设运动后，与全等，此时，， ∵，，点D为的中点． ∴，， 当时， ∴，， ∴，， ∴，， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 故答案为：2或． 16．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是的角平分线，，，，点，分别是，上的动点，当有最小值时，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识点，正确画出图形成为解题的关键． 如图，作点N关于AD的对称点，连接，根据轴对称确定最短路线问题，的长度即为的最小值，再过点C作于E，则当点和点重合时，为最小值；然后再根据直角三角形的性质求得的长，进而求得的长，最后再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，作点N关于AD的对称点，连接， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴点在边上， 过点C作于E， ∴当点和点重合时，为最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，点N关于AD的对称点， ∴， ∴． 故答案为3． 三、解答题 17．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在轴上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，格点中计算三角形面积，轴对称最短路径的计算，掌握轴对称图形的性质，格点的特点是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）运用网格的性质求三角形的面积即可求解； （3）根据轴对称的性质，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短，连接交轴于点即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，点即为所求． 18．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，点，是边上两点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．先证明，，再利用证明即可得出结论． 【详解】证明：，， ，， 在与中， ， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． (1)若的周长为，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，，在由的周长为，的周长为列式，即可得出的长． （2）由三角形内角和可得，再由等边对等角可得，即可求得，在由三角形外角即可求得的度数． 【详解】（1）解：垂直平分， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ． （2）解：∵，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形内角和，三角形外角，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．（24-25八年级上·广西南宁·期中）综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？    【观察猜想】 （1）在中，，猜想与的大小关系； 【操作证明】 （2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点落在边上的点，折线交于点，连接，发现，……，请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【拓展应用】 （3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点、紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由； （4）如图4，在中，，，，分别是边，上的动点、当四边形为“筝形”时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或． 【分析】本题考查折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形“三线合一”的性质．掌握三角形全等的判定定理和性质定理，理解“筝形”的定义是解题关键． （1）做出自己猜想即可； （2）由折叠可得出，再根据三角形外角性质即可解答； （3）易证，得出为的平分线，结合等腰三角形“三线合一”的性质得出，从而可证； （4）由题意可求出，再分类讨论：①当，时和②当，时，结合全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）在三角形中长边对应大角，猜想； （2）由折叠可知， ∵， ∴， 即； （3）在和中，， ∴， ∴，即为的平分线． ∵， ∴． ∵为铅锤线， ∴是水平的，即门框是水平的； （4）∵，， ∴． 分类讨论：①当，时，如图，    ∵四边形为“筝形”， ∴， ∴， ∴； ②当，时，如图，    ∵四边形为“筝形”， ∴， ∴， ∴． 综上可知或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称图形 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 轴对称图形的相关概念】 【题型2 关于坐标轴对称的点的坐标性质】 【题型3 线段垂直平分线的性质及应用】 【题型4 线段垂直平分线和角平分线的作图】 【题型5 等腰三角形的性质】 【题型6 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 【题型7 等腰三角形的判定与性质】 【题型8 等边三角形的判定与性质综合】 【题型9含30°角的直角三角形的性质】 【题型10 将军饮马-最短路径问题】 知识点1 ：轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 知识点2 ：轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. 知识点4 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点5：等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点6：等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3. 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点7：含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点8：将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短 题型归纳 【题型1 轴对称图形的相关概念】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列图形是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，和关于直线l对称，（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，把一张长方形的纸片沿折叠，若则为 度．    【题型2 关于坐标轴对称的点的坐标性质】 5．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）已知点和关于轴对称，则值为（   ） A．0 B． C．1 D．无法确定 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若点与点关于y轴对称，则x，y的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 7．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·北京·期中）一只电子跳蚤从点开始，先以x轴为对称轴跳至点A 的对称点B，紧接着又以y轴为对称轴跳至点B 的对称点C，则点 C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型3 线段垂直平分线的性质及应用】 9．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若的周长是，则的周长是等于（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的边的垂直平分线交于点D．连接．若，则 ． 14．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，已知是的角平分线，、分别是和的高． (1)请你判断与关系，并说明理由； (2)若，，，求的长． 15．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，是的角平分线，D是的中点，，，垂足分别是点E，F，求证： (1)； (2)垂直平分． 【题型4 线段垂直平分线和角平分线的作图】 16．（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 17．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知及点C、D，求作一点P，使，并且使点P到的距离相等．（尺规作图） 18．（24-25八年级上·浙江·期中）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 19．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在 中，，° (1)（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：）作的垂直平分线分别交于于； (2)依据（1）的图形，若，求的长． 【题型5 等腰三角形的性质】 20．（24-25八年级上·云南昭通·期中）一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D． 21．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 22．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 23．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，，点在线段上，且满足．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（    ）    A．9 B．6 C．7 D．5 25．（24-25八年级上·江苏·期中）如图，已知中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型6 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 26．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【题型7 等腰三角形的判定与性质】 28．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 29．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接． (1)求的度数； (2)若，求长． 30．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在和中，，，与交于点E，过点E作于点F． (1)求证：垂直平分； (2)如图2，若，求的度数． 31．（24-25八年级上·天津南开·期中）在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相于点． (1)如图，当时，______（度），______（度）； (2)如图，若，证明：； (3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时的度数；若不可以，请说明理由． 【题型8 等边三角形的判定云性质综合】 32．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，都是等边三角形，连接，交于点，求证： (1)； (2)平分． 33．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长． 34．（24-25八年级上·江西南昌·期中）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，求证： (1)； (2) 35．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)如图2，和均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请求出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【题型9含30°角的直角三角形的性质】 36．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，在中，，于点D，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 38．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 39．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ． 【题型10 将军饮马-最短路径问题】 40．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 41．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 42．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 43．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 44．（18-19八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东韶关·期中）下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A．17 B．18 C．20 D．22 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，对于，小颖作如下操作：①分别以A、C为圆心，大于长为半径在的两侧画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于E、F两点；连接，恰好，已知于D，周长为16，，则长为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为点E，F，，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2012·山东德州·一模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 11．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，于，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，于D，E､F为上两点，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 13．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 ． 14．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 15．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，等腰中，，，点D为的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，如果在某一时刻与全等，那么 ． 16．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是的角平分线，，，，点，分别是，上的动点，当有最小值时，则的长是 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在轴上画出点，使最小． 18．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，点，是边上两点，且．求证：． 19．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． (1)若的周长为，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 20．（24-25八年级上·广西南宁·期中）综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？    【观察猜想】 （1）在中，，猜想与的大小关系； 【操作证明】 （2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点落在边上的点，折线交于点，连接，发现，……，请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【拓展应用】 （3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点、紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由； （4）如图4，在中，，，，分别是边，上的动点、当四边形为“筝形”时，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$