专项5 等腰三角形中的分类讨论思想-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（人教版）

八年级数学(上册) 专项5 等腰三角形中的分类讨论思想 [答案 P20] 类型腰或底不确定时分类讨论 类型③点的位置不确定时分类讨论 已知等腰三角形的两边长分别为6和7,求这个 4(广州一中期中)如图,乙B0C=60*,A是B0的 三角形的周长 延长线上一点,0A=10cm.动点P从点A出发 沿AB以2cm/s的速度移动,动点0从点0出 发沿0C以1cm/s的速度移动,如果点P.0同 时出发,用1(s)表示移动的时间,那么当7= 时,△P00是等腰三角形 0/ 类型②顶角或底角不确定时分类讨论 4题图 5题图 2已知等腰三角形ABC中,AD1BC于点D,且AD (成都期中)如图,在等腰三角形ABC中,AB= AC. B=50*}$D为BC的中点,点E在AB上 乙AED=69*.若点P是等腰三角形ABC的腰AC 上一点,则当△EDP为等腰三角形时,/EDP的 度数是 . 类型腰的垂直平分线不确定时分类讨论 在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于 点D.交直线AC于点E,乙AEB=80*,求 EBC 的度数. 若等腰三角形中一个角的度数是另一个角的两 倍,求底角的度数 52 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 第十三章 轴对称 专项6 等腰三角形的常用作辅助线的方法 [答案 P30] 类型①构造“三线合一”图形 如图,在△ABC中.CA=CB.D在AC延长线上. 如图.在△ABC中。/A=90*.AB=AC.D为BC E在BC上,且CD=CE.求证:DE1AB 的中点,E.F分别是AB,AC上的点,且BE=AF. 求证:(1)ED=DF:(2)ED1DF. 4题图 1题图 如图,在△ABC中AC=2AB,AD平分乙BAC交 BC于点D,E是AD上一点,且EA=EC 求证:FB1AB 类型③补形法构造等腰三角形 5 2题图 如图,AB/CD. 1= 2.AD=AB+CD (1)求证:BE=CE: (2)求证:AE1DE: (3)求证:AE平分/DAB ## 类型②作平行线构造等腰三角形 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E 5题图 在AC延长线上,且BD=CE.DE交BC于点F. 求证:DF=FF 3题图 见此图标限抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 53参考答案及解析 4.2[解析]：DE垂直平分AB,∴.AE=BE=4, 2.(1)证明：，△ABC为等边三角形 .∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=15O ∴.AC=BC,∠ABC=∠ACB=60 +15=309:∠C=04C=26=7×4=2 CQ∥AB,PQ∥AC, ,.∠PCQ=∠ABC=60°，∠QPC=∠ACB=60°， 5.号[解析]知答园，过点P作Pm⊥CB于点D, △PQC为等边三角形，.PC=QC, .△APC≌△BQC,∴.AP=BQ. ∠ACB=60°，∴.∠CPD=30°.PC=12,∴.DC= (2)解：存在确定关系，关系为AD=BD+CD, 6.PM PN,PD L CB.MIN =3..MD ND 证明如下： 如答图，在AD上截取DE=BD,连接BE. CM=CD-MD=6-3=9 2 2 由(1)得△APC≌BQC, ∴.∠PAC=∠QBC. ∠APC=∠BPD D ∴.∠ACP=∠BDP=6O°. DE=BD,∴△BDE为等边三角形， BE=BD,∠DBE=6O C MDN B B 2题答图 5题答图 6题答图 :∠ABC=60°，∴.∠ABE=∠CBD, 6.解：如答图，延长AD,BC交于点E. .△ABE≌△CBD.∴.AE=CD, ∠A=30°，∠B=90°，.∠E=60°，AE=2BE. AD=DE+AE,∴AD=BD+CD :∠ADC=120°，∴.∠EDC=60°， 专项5等股三角形中的分类过论思想 ,△EDC是等边三角形. 1.解：①当底边长为6，腰长为7时，符合三角形三边 设CD=CE=DE=x 关系，周长为6+7+7=20： AD=4,BC=1, ②当底边长为7，腰长为6时，符合三角形三边关 ∴.AE=4+x,BE=1+x,又AE=2BE, 系，周长为7+6+6=19. 4+x=2(1+x),解得x=2,,CD=2. 2.解：若∠C为底角， 7.解：在△ABC中，：∠C=90°，∠A=30°， ①如答图①，当AB=AC时， ∴.∠B=60°.根据题意，知 AD⊥BC,BD=CD. 0<1≤2，BP=4-21,BQ=1 AD=BCA0=BD=CD∠C=45 (1)当B即=BQ时，△PBQ为等边三角形.即4-2：=t, 1=号放当1=青时，△P0为等边三角形. ②如答图②，当AB=BC时， AD=BC..AD=AB. (2)若△PBQ为直角三角形 ①当∠BQP=90时.BP=2BQ.即4-2t=24, 又AD⊥BC,∴∠ABD=30°，∴∠C=75 .t=1 ③如答图③，当AB=BC时， ②当∠BPQ=90时，BQ=2BP. AD=2Bc40=24B. 即1=2(4-2)， 又AD⊥BC,∠DBA=30°，∠C=15. 4=号放当1=号或1=1时，△P90为直角三角形 若∠C为顶角，如答图④，AC=BC, AD⊥BC,∴.∠ADC=90°， 题型变式 1.(1)证明：△ABC为等边三角形， A0=BC…A0=4C∠C=30 ∴.BC=AC.∠BCA=60 综上，∠C的度数为45或75或15或30， 又，CD=CE,∠BCD=ACE=60°， ,△BCD≌△ACE. (2)解：BF=2AF.证明如下： AF=CF,AB=BC,∴.BF垂直平分AC. B CC B BA=BC,∴.BD平分∠ABC 2题答图①2题答图22题答图③ 2题答图④ ∴∠ABD=∠DBC=30 3.解：设这个角的度数为x △BCD≌△ACE,∴.∠CAE=∠CBD=30 当这个角为底角时，由三角形内角和定理可知顶角 ∠BAC=60°，∴.∠BAF=∠BAC+∠CME=90°， 为180°-2x, 在Rt△ABF中，BF=2AF 根据题意得x=2(180°-2x),解得x=72 ·29· 八年级数学（上册） 当这个角为顶角时，则底角为180° 当∠BAC是钝角时，如答图②， 2 DE垂直平分AB, 根据题意得x=2(1802解得=90°.则底角的 ∴AE=BE. .∠BAE=∠EBA. 度数为180-=450.综上所述，底角为72或45， :∠AEB=80°， 6题答图② 2 49我10〔解析]分两升情况：①当点P在01上 云∠BME=∠EB1=号x(180°-80)=50. .∠BAC=130. 时，如答图①，OP=OQ,根据题意，得P0=AO-AP ·AB=AC, =10-2,00=10-2=1,解释1=9：②当点P ∠Ac=3×(180-130)=25, 在OB上时，如答图②，△POQ是等边三角形，根据 ∴.∠EBC=∠EBA+∠ABC=75 题意，得P0=AP-A0=21-10,0Q=1,∴.21-10= 综上，∠EBC的度数为15或75 ,解得1=10.故当1=9发10时，△P00是等腰三 专项6等腰三角形的常用作辅助线的方法 1.证明：(1)如答图，连接AD 角形 AB=AC,D为BC的中点， .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C 又：∠BAC=90° ,∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45° .'AD BD A PO 在△BED和△AFD中， 4题答图① 4题答图②2 5.142°或100°[解析]AB=AC,∠B=50°， BE =AF, ∴.∠BAC=180°-50°-50°=80°.由题意，知△EDP ∠B=∠DAF BD =AD. 只能是以DE为腰的等腰三角形.如答图，过点D作 1题答图 ∴.△BED≌△AFD(SAS).∴.ED=FD. DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,:AB=AC,D为 (2)'△BED≌△AFD,∴.∠BDE=∠ADF BC的中点，∴，AD平分∠BAC,.DG=DH,.点P可 .∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°， 能在P,的位置，也可能在P,的位置①如答图①， ∠EDF=90°，.ED⊥DF 当点P在P,的位置时，在R△DEG与R△DP,H2.证明：如答图，作EF⊥AC于点F 中，DE=DP,DG=DH,∴，Rt△DEG≌Rt△DPH, ·EA=EC.∴.AF=FC. ∴.∠APD=∠AED=69°，∠EDP,=360°-69°- .AC =2AB,.'.AF FC =2AF =2AB..AF AB. 69°-80°=142°.②如答图②，当点P在P的位置 AD平分∠BAC,∴.∠BAE=∠FAE 时，同理，可得R△DEG≌Rt△DPH,∴，∠EDG= 又：AE=AE,∴.△ABE≌AFE. ∠P2DH,∴.∠EDP2=∠GDH=360°-90°-90°- ∴.∠ABE=∠AFE=90°.∴EB⊥AB. 80°=100°.综上，∠EDP的度数为142或100 A D E P G E 2题答图 D 3.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M 5题答图① 题答图2 如答图所示， 6.解：当∠BAC是锐角时，如答图① ∴.∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. DE垂直平分AB .AB=AC, ..AE BE. ∴∠B=∠ACB, ∠BAC=∠ABE. ∴∠B=∠DMB, :∠AEB=80°. 6题答图① ∴B=MD 3题答图 ∠B1G=LABE=2×(I80°-80)=509 BD CE,..MD CE. ∠MDF=∠E, :AB=AC∠ABC=号×(180-50)=6 在△DMF和△ECF中， ∠MFD=∠CFE, MD CE. ∴.∠EBC=∠ABC-∠ABE=I5. △DMF≌△ECF(AAS),.DF=EF ·30·