专题02 函数(解答题热点，九大题型)-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题02 函数（九大题型） 题型01 证明函数的单调性、奇偶性 1 题型02 函数的值域、最值问题 2 题型03 函数中的解不等式、比较大小问题 2 题型04 恒成立问题 3 题型05 有解问题 5 题型06 零点、实数根等问题 5 题型07 函数与数列 5 题型08 函数的其他应用 6 题型09 函数的实际应用 6 【解题规律·提分快招】 1、确定函数单调性的四种方法： (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法． 2、判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 3、利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． 4、求解与指数、对数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 5、求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 题型01 证明函数的单调性、奇偶性 【典例1-1】．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【变式1-1】．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数，设. (1)若，求函数，的最小值； (2)判断函数，的奇偶性，并说明理由. 【变式1-2】．（2022·上海浦东新·一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数，写出函数的单调递增区间并用定义证明. 【变式1-3】．（2021·上海徐汇·二模）已知函数． （1）若，求函数f（x）的零点； （2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性． 题型02 函数的值域、最值问题 【典例2-1】．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，. (1)求时的解析式； (2)求函数的值域. 【变式2-1】．（21-22高三上·上海黄浦·阶段练习）已知二次函数的值域为． （1）若此函数在上是单调减函数，求实数a的取值范围； （2）求在上的最小值，并求的值域． 【变式2-2】．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【变式2-3】．（21-22高三上·上海徐汇·开学考试）已知函数. (1)求的取值范围，使在闭区间上是单调函数； (2)当时，函数的最小值是关于的函数.求的最大值及其相应的值. 题型03 函数中的解不等式、比较大小问题 【典例3-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）设函数，且. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式 【典例3-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)证明函数在上严格增； (2)若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集. 【变式3-1】．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设函数（为实数）. （1）若，解不等式； （2）若当时，关于的不等式成立，求的取值范围. 【变式3-2】．（20-21高三上·上海奉贤·期中）已知 （1）若函数在的最大值为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 【变式3-3】．（23-24高三上·上海长宁·期中）已知函数，其中常数且. (1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； (2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由. 题型04 恒成立问题 【典例4-1】．（2022·上海徐汇·三模）已知为实数，函数，． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 【典例4-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式4-1】．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知函数为奇函数． (1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【变式4-2】．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中． (1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式4-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，， (1)求的单调区间和值域； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 【变式4-4】．（23-24高三上·上海·期中）已知函数（，）． (1)若时，判断函数在上的单调性，并说明理由． (2)若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m的值． 【变式4-5】．（2021·上海黄浦·三模）已知函数为实常数. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【变式4-6】．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知，其中． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，对任意非零实数c，不等式均成立，求实数t的取值范围． 【变式4-7】．（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）已知 （实数为常数）． (1)当时，求函数的定义域，判断奇偶性，并说明理由； (2)若不等式当时均成立，求实数的取值范围． 【变式4-8】．（20-21高三下·上海闵行·开学考试）已知关于的方程在复数集内有两个根，且满足， (1)求实数的值； (2)若，存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【变式4-9】．（2022·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值，并证明在上单调递增； (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 题型05 有解问题 【典例5-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【变式5-1】．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 题型06 零点、实数根等问题 【典例6-1】．（2023·上海·模拟预测）函数，且. (1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (2)，且在上有零点，求的取值范围. 【典例6-2】．（2021·上海闵行·二模）已知函数. （1）证明在区间上是增函数； （2）若函数在区间上存在零点，求实数m的取值范围. 【变式6-1】．（2021·上海松江·二模）已知函数(为常数，). （1）讨论函数的奇偶性； （2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围. 【变式6-2】．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中. （1）判断函数的奇偶性； （2）解关于x的不等式：； （3）若函数有三个不等实根，求实数a的取值范围. 【变式6-3】．（21-22高三上·上海虹口·阶段练习）已知函数，其中，且． (1)当时，若，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得方程有两个实根，求实数的取值范围． 题型07 函数与数列 【典例7-1】．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【变式7-1】．（2024·上海·模拟预测）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 题型08 函数的其他应用 【典例8-1】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知为常数. (1)若为偶函数，求的值； (2)设，若函数为减函数，求实数的取值范围. 【变式8-1】．（20-21高三上·上海闵行·阶段练习）已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）对任意，当函数的图像恒在函数图像的下方时，求实数的取值范围. 【变式8-2】．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设常数，已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)证明：不存在负实数使得． 题型09 函数的实际应用 【典例9-1】．（2021·上海嘉定·一模）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时． (1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：） 【变式9-1】．（2022·上海金山·二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）. (1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由. 【变式9-2】．（2022·上海奉贤·一模）图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆､通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形是由四个相等的小正方形（如）和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等.图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形中的展览区域，小正方形中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设的边长为300米，的周长为180米. (1)设，求的面积关于的函数关系式； (2)问取多少时，使得整个的休闲区域面积最大.(，长度精确到1米，利用精确后的长度计算面积，面积精确到1平方米) 一、解答题 1．（2023·上海杨浦·一模）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围. 2．（2021·上海浦东新·三模）已知. （1）解不等式：； （2）若在区间上的最小值为，求实数a的值. 3．（2021·上海金山·一模）已知定义域为的函数. （1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．（2021·上海虹口·二模）设且，，已知函数. （1）当时，求不等式的解； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围. 5．（2023·上海·模拟预测）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 6．（2023·上海青浦·一模）上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设： 1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物； 2.所有人员排成单列行进撤离； 3.队列中人员的间隔是均匀的； 4.队列匀速地撤离建筑物． (1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由； (2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数（九大题型） 题型01 证明函数的单调性、奇偶性 1 题型02 函数的值域、最值问题 4 题型03 函数中的解不等式、比较大小问题 8 题型04 恒成立问题 12 题型05 有解问题 22 题型06 零点、实数根等问题 23 题型07 函数与数列 28 题型08 函数的其他应用 29 题型09 函数的实际应用 31 【解题规律·提分快招】 1、确定函数单调性的四种方法： (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法． 2、判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 3、利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． 4、求解与指数、对数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 5、求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 题型01 证明函数的单调性、奇偶性 【典例1-1】．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在区间上为严格增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案； （2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案． 【解析】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得， 所以，定义域为， 且，所以； （2）在区间上为严格增函数． 证明如下：设任意，则， 由，得， 即，，， 所以，即， 故在区间上为严格增函数． 【变式1-1】．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数，设. (1)若，求函数，的最小值； (2)判断函数，的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)当时为偶函数，当时为非奇非偶函数. 【分析】（1）首先得到的解析式，将其写成分段函数，再分段利用函数的单调性分别求出函数的最小值，即可得解； （2）分别判断、的奇偶性，即可得解. 【解析】（1）当时， 当时，函数在上单调递增，则， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 综上可得. （2）因为定义域为， 又为偶函数，为偶函数， 所以当时为偶函数， 当时关于对称，此时为非奇非偶函数， 所以为非奇非偶函数， 综上可得：当时为偶函数，当时为非奇非偶函数. 【变式1-2】．（2022·上海浦东新·一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数，写出函数的单调递增区间并用定义证明. 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）分、两种情况， 利用函数奇偶性的定义判断出结果； （2）求得，可以确定的单调递增区间为，之后利用函数单调性证明即可. 【解析】（1）当时，， 定义域为， 任选，都有， 所以时函数为偶函数； 当， 则； 时函数既非奇函数又非偶函数； （2）函数的单调递增区间为. 证明：， 任取且， ， 由于，则； 由于，则； 所以，即.   函数的单调递增区间为. 【变式1-3】．（2021·上海徐汇·二模）已知函数． （1）若，求函数f（x）的零点； （2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性． 【答案】（1）；（2）当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数． 【分析】（1）根据解析式，求得定义域，当时，令，解得∈[﹣1，1]，所以零点为. （2）若f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0，代入求得a不存在，若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1），解得a=0，经检验符合题意，即可得答案. 【解析】（1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1， 即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]， 由，得， 化简得，即，则∈[﹣1，1]， 所以，函数f（x）的零点为； （2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0； 代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数， 若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0； 又当a＝0时，， 则； 对任意x∈[﹣1，1]都成立， 综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数． 题型02 函数的值域、最值问题 【典例2-1】．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，. (1)求时的解析式； (2)求函数的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用奇函数性质求的解析式； （2）由（1）得，应用基本不等式、函数单调性求在对应区间上的值域，即可得答案. 【解析】（1）令，则，故，而， 所以，则. （2）由（1）知：， 当，，当且仅当时等号成立，此时； 当，单调递增，则； 综上，函数值域为. 【变式2-1】．（21-22高三上·上海黄浦·阶段练习）已知二次函数的值域为． （1）若此函数在上是单调减函数，求实数a的取值范围； （2）求在上的最小值，并求的值域． 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）结合二次函数的值域可得开口向上，且在对称轴处取得最小值0，进而求出且，然后根据单调性得出，进而可以求出结果； （2）根据对称轴的位置分别讨论和，进而求出，然后结合分段函数的单调性即可求出值域. 【解析】（1）由题意可知数开口向上，且在对称轴处取得最小值0， 所以，且，即， 因此，因为函数在上是单调减函数， 所以，所以，故实数a的取值范围为； （2）若，即，所以在上单调递增，所以； 若，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以， 因为函数在上单调递增，且，因此的值域为. 【变式2-2】．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【解析】（1）由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 【变式2-3】．（21-22高三上·上海徐汇·开学考试）已知函数. (1)求的取值范围，使在闭区间上是单调函数； (2)当时，函数的最小值是关于的函数.求的最大值及其相应的值. 【答案】(1)或 (2)当时，有最大值4 【分析】(1)利用二次函数的图象性质结合单调性求解； (2)分类讨论二次函数在给定区间的最大值，再分段讨论的最大值即可求解. 【解析】（1）函数图象的对称轴为. 因为在闭区间上是单调函数，所以或. 故或. （2）当时，； 当时，； 当时，. 所以， 当时，； 当时，, 对称轴为，所以， 当时，. 所以当时，有最大值4. 题型03 函数中的解不等式、比较大小问题 【典例3-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）设函数，且. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式 【答案】(1)2； (2)偶函数，在上单调递减，在上单调递增，解集为. 【分析】（1）根据化简求解即可； （2）根据奇偶性定义和单调性定义即可判断奇偶性和单调性，结合单调性和奇偶性将函数符号去掉，转化为一元二次不等式求解可得. 【解析】（1）由题知，， 因为，所以， 解得. （2）由（1）知，，定义域为， 又，所以为偶函数. ，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以， 因为为偶函数，且在上单调递减， 所以，即，解得， 又，所以不等式解集为. 【典例3-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)证明函数在上严格增； (2)若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性定义证明即得； （2）根据函数的奇偶性求出值，再求出方程的解，分别利用函数在和上的单调性即可求得不等式的解集. 【解析】（1）因，任取，且， 由 ， 因，则，，故， 即. 故函数在上严格增； （2）因为函数在定义域上为奇函数，则， 所以． 所以，即， 所以， 由得：，即， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为. 【变式3-1】．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设函数（为实数）. （1）若，解不等式； （2）若当时，关于的不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）或   （2） 【分析】（1）分打开绝对值，解不等式即可； （2）由可得，再由，可得，结合，即为，分，讨论，即得解 【解析】（1）由于，不等式 可得，即 或 解不等式得：或 （2）由，解得 由，可得 当时，该不等式即为，即 当时，符合题设条件； 当时，，由题意得 解得 综上，实数的取值范围是 【变式3-2】．（20-21高三上·上海奉贤·期中）已知 （1）若函数在的最大值为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由函数在上是增函数且，故根据题意得函数的最大值为，再根据函数单调性即可得，解得. （2）根据题意得，进而分或两种情况求解即可得答案. 【解析】解：（1）因为函数在上是增函数， 所以， 因为函数在的最大值为， 所以函数的最大值为， 由于函数是增函数， 所以，解得：. （2）当时，， 所以或，解得或. 故若，求不等式的解集为 【点睛】本题考查分段函数与对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于注意到函数在上是增函数且，进而将问题转化为函数的最大值为求解，第二问的解题核心是分类讨论. 【变式3-3】．（23-24高三上·上海长宁·期中）已知函数，其中常数且. (1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； (2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由. 【答案】(1)函数在区间上的单调递减，证明见解析； (2)当时，，当且时，. 【分析】（1）利用定义法结合对数函数单调性即可得到其单调性； （2）利用（1）中的结论即可得到大小关系. 【解析】（1）在区间上单调递减， 证明：当时，任取， 则， 因为，则，所以， 即，即，所以此时在区间上单调递减， 当时，任取， 因为，则，所以， 即，即，所以此时在区间上单调递减， 综上所述，在区间上单调递减， （2）当时，时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 由（1）在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 当时，，， ， ，即， ， 当时，，，，且， 所以， 综上，当时，， 当且时，. 题型04 恒成立问题 【典例4-1】．（2022·上海徐汇·三模）已知为实数，函数，． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）当时，化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数的增区间； （2）由已知可得，推导出，可得出，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【解析】（1）解：当时，， 当时，，此时函数的单调递增区间为； 当时，，此时函数的单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为和. （2）解：当时，由可得，即，所以，， 所以，，整理得对任意的恒成立， 因为，则，所以，不等式对任意的恒成立， 只需考虑不等式对任意的恒成立， 当时，， 令，， 由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 当时，，因此，. 【典例4-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据奇函数性质求得，再验证是否满足题设，即可得解析式； （2）令，问题化为能成立求参数范围. 【解析】（1）由题设，故， 所以， 又，满足题设， 所以且； （2）由题设在上能成立， 令，则，即， 又在上递增，则， 所以. 【变式4-1】．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知函数为奇函数． (1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减 (2) 【分析】（1）根据奇函数的含义可求得的值，根据函数单调性的定义法可求得单调性； （2）根据单调性以及奇函数性质可得，从而得到不等式，求解即可. 【解析】（1）因为函数为奇函数，定义域为R，则， 所以，即， 此时，满足，即为奇函数， ，定义域为R，对，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即函数在R上单调递减； （2）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又因为函数在R上单调递减， 所以，因为存在实数，使得， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【变式4-2】．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中． (1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可． （2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题. 【解析】（1）函数定义域为R，若是奇函数，则，解得， 此时，，符合题意， 故. （2）当时，， 由，则，当且仅当，即时等号成立， 所以，又不等式恒成立，得， 则实数的取值范围为. 【变式4-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，， (1)求的单调区间和值域； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)递减区间为，递增区间为；值域为 (2) 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的图象与性质，即可求解； （2）化简函数，利用换元法和单调性，求得的值域为，根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【解析】（1）解：由函数，其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值为， 所以函数的值域为. （2）解：由函数， 当时，令，可得且， 则在为单调递减函数， 所以，所以函数的值域为， 对于任意，总存在，使得成立， 可得函数的值域为函数的值域的子集，即， 由，可得， 当时，即时，显然不成立； 当时，即，根据抛物线的对称性，可得，显然不成立； 所以要使得，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式4-4】．（23-24高三上·上海·期中）已知函数（，）． (1)若时，判断函数在上的单调性，并说明理由． (2)若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m的值． 【答案】(1)当时，在上单调递减 当时，在上单调递增 (2) 【分析】（1）按单调性的定义即可证明. （2）按题意列方程即可求解. 【解析】（1）时，记，任取 ， 故，在上单调递减 当时，在上单调递减 当时，在上单调递增 （2）由恒成立可得 化简得，解得 时，，而，无意义 符合题意 故. 【变式4-5】．（2021·上海黄浦·三模）已知函数为实常数. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）. 【分析】（1）若函数为奇函数，由奇函数的定义可求得的值；又当时，且，函数是非奇非偶函数； （2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值． 【解析】解：（1）当时， 即；故此时函数是奇函数； 因当时，，故 ，且 于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数； （2）因是奇函数，故由（1）知，从而； 由不等式，得， 令因，故 由于函数在单调递增，所以； 因此，当不等式在上恒成立时， 【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 【变式4-6】．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知，其中． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，对任意非零实数c，不等式均成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)判断见解析． (2) 【分析】（1）先求定义域，当时，判断奇偶性，当时，利用奇偶性的定义判断与的关系即可判断； （2）根据基本不等式有，再利用三角不等式取等号条件即可得出结果. 【解析】（1）函数的定义域为， 当时，， 任取，则， 所以函数为偶函数； 当时，由，， 得，且， 为非奇非偶函数． （2）对于任意非零实数，根据基本不等式有， 所以，即， 因为，所以， 由三角不等式可得，当且仅当时取等号， 实数t的取值范围为． 【变式4-7】．（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）已知 （实数为常数）． (1)当时，求函数的定义域，判断奇偶性，并说明理由； (2)若不等式当时均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，不具有奇偶性； (2) 【分析】（1）利用对数型函数的定义域、函数的奇偶性求法计算即可； （2）分离参数结合换元法求函数值域即可. 【解析】（1）当时，， 则或，解之得或， 即，显然定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性； （2）当时，，为单调递增函数， 故， 令，则， 故， 由对勾函数的性质可知在上单调递减， 故，所以， 即的取值范围为. 【变式4-8】．（20-21高三下·上海闵行·开学考试）已知关于的方程在复数集内有两个根，且满足， (1)求实数的值； (2)若，存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分有两个实根和有两个共轭虚根两种情况讨论，根据题意结合韦达定理分析运算； （2）根据题意分析可得，先根据对数函数单调性分析可得对任意恒成立，再根据恒成立问题分析运算. 【解析】（1）①当方程有两个实根时，则，即，可得，， ∵，解得； ②当方程有两个共轭虚根时，则，即， 设，则，可得，， 所以，，解得或， 即方程两根分别为，，则； 综上所述：或. （2）若，由（1）得， 由存在实数，使得不等式， 则， ∵，且在定义域内为增函数，则 ∴，则对任意恒成立， 设，则，解得， 故实数的取值范围为. 【变式4-9】．（2022·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值，并证明在上单调递增； (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）由题意可得，可得出，求得，分、，根据已知条件可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【解析】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数， 则，解得，此时， 对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，合乎题意， 任取、且，则， 所以，，则， 所以，函数在上单调递增. （2）解：由（1）可知，函数在上为增函数， 对于任意的、，都有，则， ， 因为，则. 当时，则有，解得； 当时，则有，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 题型05 有解问题 【典例5-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可构造方程求得的值； （2）利用换元法令，从而得到方程在时有解，再分参数，求出右边的值域即可. 【解析】（1）由偶函数定义知：， 即，. （2）由（1）知， ，即， 即，令，则， 则方程在时有解， 则，令，，则. 【变式5-1】．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证； （2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题. 【解析】（1）函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 题型06 零点、实数根等问题 【典例6-1】．（2023·上海·模拟预测）函数，且. (1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (2)，且在上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）由题意解出的值，再利用单调性的定义证明即可； （2）转化问题为在上有解，则有解，利用导函数求的单调性，进而求得取值范围即可. 【解析】（1）由题意可得，解得，所以， 在上单调递增，证明如下： 任取，则， 因为在上单调递增，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）得， 在上有零点，即在上有解，则有解， 令，则， 令解得，令解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，没有最大值， 所以. 【典例6-2】．（2021·上海闵行·二模）已知函数. （1）证明在区间上是增函数； （2）若函数在区间上存在零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）任取，作差，根据单调性的定义可得证. （2）原问题转化为只需求函数在上的值域，根据（1）中的单调性可求得答案. 【解析】解：（1）任取，则： ， ，，，， ，即函数在上单调递增. （2）在上存在零点，所以只需求函数在上的值域， 由（1）可知函数在上是减函数，所以， 即， 所以m的取值范围为. 【变式6-1】．（2021·上海松江·二模）已知函数(为常数，). （1）讨论函数的奇偶性； （2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可； （2）当函数为偶函数时，，列出方程，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数的取值范围． 【解析】（1）∵函数的定义域为， 又∵ ∴①当时，即时，可得 即当时，函数为偶函数； ②当时，即时，可得 即当时，函数为奇函数. （2）由（1）可得，当函数为偶函数时，， 即时， 由题可得， 令，则有 ∵ ∴， 又∵，当且仅当时，等号成立 根据对勾函数的性质可知，，即 ① 此时的取值不存在； ② 此时，可得的取值为 综上可得 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令，则方程化简为，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题． 【变式6-2】．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中. （1）判断函数的奇偶性； （2）解关于x的不等式：； （3）若函数有三个不等实根，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，函数是奇函数；当时，函数是非奇非偶函数； （2）当时，不等式得解集为；当时，不等式得解集为； （3）. 【分析】（1）分类讨论，根据奇偶性的概念进行判断； （2）分类讨论去绝对值的符号，从而化简不等式进行求解； （3）化简，从而分类讨论确定函数的单调性，从而进行求解. 【解析】（1）当时，，所以，所以函数是奇函数； 当时，，，因此，且， 所以函数是非奇非偶函数； （2）①当时，可化为，即； ②当时，（i）若，则，解得或（舍）； （ii）若，则，无解；故不等式的解集为； ③当时，（i）若，则，解得（舍）或； （ii）若，则，无解；故不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； （3）， ①当时，在定义域内单调递增，故只有一个实数根，故不合题意舍去， ②当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增；且，故只需满足，解得或；故. ③当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增；且，故不可能有三个实数根； 综上所述：实数a的取值范围为. 【变式6-3】．（21-22高三上·上海虹口·阶段练习）已知函数，其中，且． (1)当时，若，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得方程有两个实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分段解不等式，再相并即可得解； （2）当和时，利用图象列式可求出结果，当时，根据函数的单调性以及，可知不符合题意. 【解析】（1）当时，，则， 当时，解不等式，解得，故， 当时，解不等式，解得，故， 所以实数的取值范围是； （2）①当时， 由图可知，当时，存在直线与有两个交点， 由，解得，故； ②当时， 由图可知，当时，存在直线与有两个交点， 即，解得，故； 当时，函数在和上都为增函数，且， 所以为增函数， 所以不存在实数使得方程有两个实根， 综上所述：实数的取值范围是为. 题型07 函数与数列 【典例7-1】．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【解析】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 【变式7-1】．（2024·上海·模拟预测）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【解析】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 题型08 函数的其他应用 【典例8-1】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知为常数. (1)若为偶函数，求的值； (2)设，若函数为减函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数偶函数的定义求得正确答案. （2）先求得，然后根据在区间上的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【解析】（1）的定义域是，若是偶函数，则， 即，即， 两边平方并化简得，所以， 此时是偶函数，符合题意. 所以的值为. （2）， 由于，当时，， 所以， 若函数为减函数， 则，解得. 【变式8-1】．（20-21高三上·上海闵行·阶段练习）已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）对任意，当函数的图像恒在函数图像的下方时，求实数的取值范围. 【答案】（1）和；（2）. 【解析】（1）当时，，由此可求出的单调递增区间； （2）由题知在恒成立，即在恒成立，由此可求出的取值范围. 【解析】（1）当时，， 可知函数的单调递增区间为； （2）由题知在恒成立，即， 即， 即只要且在上恒成立即可， 在时，只有的最大值小于且的最小值大于即可， 当时，单调递增，则， 当时，单调递增，则， . 【点睛】本题考查含绝对值函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，属于中档题. 【变式8-2】．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设常数，已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)证明：不存在负实数使得． 【答案】(1)函数在区间上为增函数，证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）由单调性的定义证明即可； （2）用反证法证明即可 【解析】（1）函数在区间上为增函数； 任取，则 ， 因为，， 所以，， 即， 所以函数在区间上为增函数； （2）若存在负实数，使得， 即方程有负实数根， 对于， 当且时，因为， 所以， 而， 因此，不存在负实数使得， 所以不存在负实数使得． 题型09 函数的实际应用 【典例9-1】．（2021·上海嘉定·一模）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时． (1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：） 【答案】(1)（1）车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，； (2)（2）隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米． 【分析】（1）由（辆千米）时，（千米小时）求得，可得关于 的关系式，再由求解的范围得结论； （2）结合（1）写出隧道内的车流量关于的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求． 【解析】（1）解：由题意，当（辆千米）时，（千米小时）， 代入，得，解得． ， 当时，，符合题意； 当时，令，解得， ． 综上，． 故车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，； （2）由题意得，， 当时，为增函数， ，等号当且仅当时成立； 当时， ． 当且仅当，即，时成立， 综上，的最大值约为3250，此时约为87． 故隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米． 【变式9-1】．（2022·上海金山·二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）. (1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由. 【答案】(1)选择函数模型①，其解析式为（且为整数） (2)这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析 【分析】（1）将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可； （2）记日销售利润为，根据一次函数与二次函数的单调性分析的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可 【解析】（1）若选择模型（1），将以及代入可得 解得，即，经验证，符合题意； 若选择模型（2），将以及代入可得， 解得，即， 当时，，故此函数模型不符题意， 因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数） （2）记日销售利润为， 当且为整数时，， 对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元） 当且为整数时，， 当时，利润单调递减， 故当时取得最大值，且最大值为（百元） 所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型. 【变式9-2】．（2022·上海奉贤·一模）图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆､通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形是由四个相等的小正方形（如）和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等.图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形中的展览区域，小正方形中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设的边长为300米，的周长为180米. (1)设，求的面积关于的函数关系式； (2)问取多少时，使得整个的休闲区域面积最大.(，长度精确到1米，利用精确后的长度计算面积，面积精确到1平方米) 【答案】(1)()； (2)当取53米时，整个休闲区域面积最大为22235平方米. 【分析】(1)根据给定条件结合勾股定理用x表示出AF长即可求出函数关系式. (2)利用(1)的函数关系借助换元法求出y的最大值及对应的x值即可计算作答. 【解析】（1）依题意，在中，，则有， ，，则的面积， 所以的面积关于的函数关系式是：(). （2）由(1)知，，，令， ， 当且仅当，即时取“=”， 整个休闲区域是16个与全等的三角形组成，因此，整个休闲区域面积最大，当且仅当的面积最大， 当，即米，整个休闲区域面积最大为平方米， 所以当取53米时，整个休闲区域面积最大为22235平方米. 一、解答题 1．（2023·上海杨浦·一模）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化为关于的一元二次方程求解即可； （2）分离参数后，构造函数，利用导数求函数的最小值即可得解. 【解析】（1）由知，方程为， 即， 解得，即. （2）不等式即， 原不等式可化为对于一切都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 故当时，， 所以. 2．（2021·上海浦东新·三模）已知. （1）解不等式：； （2）若在区间上的最小值为，求实数a的值. 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）由对数函数的性质求解不等式即可； （2）由题意可得在区间上的最小值，在上的最大值为4，然后分和讨论即可得答案 【解析】（1）或； （2）令，则 在区间上的最小值，在上的最大值为4， 当时，，； 当，，. 综上，或 3．（2021·上海金山·一模）已知定义域为的函数. （1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递减，证明见解析；（2）. 【分析】（1）由单调性的定义证明（可根据复合函数的单调性判断）； （2）再确定函数的奇函数，然后由奇函数性质变形不等式，由单调性化简转化为一元二次不等式恒成立，从而易得参数范围． 【解析】（1）函数在上单调递减. 证明如下：任取，且， ， 因为，所以，，， 即，故函数在上单调递减. （2）因为， 故为奇函数， 所以， 由（1）知，函数在上单调递减， 故，即对于任意恒成立， 所以，令，则， 因为，所以， 所以， 即实数的取值范围是. 4．（2021·上海虹口·二模）设且，，已知函数. （1）当时，求不等式的解； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）或. 【分析】（1）根据题意得，进而分和两种情况求解即可； （2）由题知，进而根据已知条件得，再结合对勾函数性质即可得或，进而求得答案. 【解析】解：（1），不等式可化为 若，则，解得， 所以不等式的解集为. 若，则，解得， 所以不等式的解集为. 综上所述：，的解集为；，的解集为. （2）. 令，即， ∵，∴，∴； ∴ . 设，则， ∴或， 解得或. 【点睛】本题考查对数函数的性质，对数运算，函数的零点求参数，考查分类讨论思想，运算求解能力，化归转化能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于将问题转化为，有解，进而求解. 5．（2023·上海·模拟预测）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2)且 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【解析】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范团且. 6．（2023·上海青浦·一模）上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设： 1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物； 2.所有人员排成单列行进撤离； 3.队列中人员的间隔是均匀的； 4.队列匀速地撤离建筑物． (1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由； (2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据各假设的目的分别判断； （2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为，分两种情况讨论，情况一：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空，；情况二：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，，可得分段函数模型. 【解析】（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）： 假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况； 假设2 是为了方便模型的建立，与假设1相呼应； 假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法； 假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法． （2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为， 先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间 ；第二间教室最后一个人达到出口所用时间为． 在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考） 情况一： 当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为； 情况二： 当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为， . 2 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$