精品解析：湖南省长沙市麓共体联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年秋季第二次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B. 任意画一个三角形，其外角和是 是必然事件 C. 数据4，9，5，7的中位数是6 D. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 2. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不存在 3. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】 A. B. C. D. 4. 如图，的顶点E在的边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 6. 如图，是 的直径，是 的弦，，垂足为E．若 ， ，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，，是 上的两点，是弧的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小明在时测得某树的影长为 ，时又测得该树的影长为 ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 一个不透明的袋中装有 个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________． 12. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 13. 如图，和 是以点 为位似中心的位似图形．若，则与 的周长比是_________． 14. 如图，， 分别与 相切于，两点，且 ，若点是 上异于点，的一点，则的大小为__________． 15. 若点，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，为的大小关系为__________（用“”表示）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为_______． 三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题各6分；20，21题各8分；22，23题各9分；24，25题各10分，共72分．） 17. 计算：． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集． 20. 已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）若该地区有1000名中学生参加研学活动，则估计愿意去基地的有______人； （3）甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率． 21. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证： ； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 22. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 23. 如图，是 的直径，是一条弦，点是的中点， 于点，交于点，连结交于点． （1）求证：； （2）延长至点，使，连接． ①求证：是 的切线； ②若，，求 的半径． 24. 我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，，如果满足，那么称P，Q两点互为“等差点”． （1）请判断在点，，中，哪些点与点互为“等差点”？ （2）已知点E在直线上，点F在曲线（k为常数，且）上，且E，F两点互为“等差点”．请求出点F的坐标（用含k的代数式表示）； （3）已知抛物线（a，b为常数且 ， ）的顶点为点G，与x轴交于M，N两点，，P，Q两点分别在抛物线和直线上，如果P，Q两点互为“等差点”，且P，Q两点的横坐标是一元二次方程的两根，求抛物线C和直线l的解析式． 25. 阅读材料： 圆的定义：到定点的距离等于定长的点所组成的图形叫做圆． 对于任何直角三角形，因为斜边上的中线长度等于斜边长度的一半，故其外接圆的直径就是斜边，外心即是斜边的中点．如果两个直角三角形共享同一个斜边，因为它们的外心和半径都相同，所以它们将拥有相同的外接圆，即这两个直角三角形的所有顶点均在同一个圆上（四点共圆）． 解决问题： 如图1，正方形的边长为6，点O是对角线，的交点，点E在上，过点C作 ，垂足为F，连接． （1）（ⅰ）求证：； （ⅱ）若，求的长． （2）如图2，取线段的中点G，连接 ，当点E在边上运动时， 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； （3）当点E在直线上运动时，将的内心记为点I，请直接写出在点E的运动过程中 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季第二次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B. 任意画一个三角形，其外角和是 是必然事件 C. 数据4，9，5，7的中位数是6 D. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义分别进行判断即可 【详解】解：A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意； B．任意画一个三角形，其外角和是 是不可能事件，故选项错误，不符合题意； C．数据4，9，5，7的中位数是，故选项准确，符合题意； D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数性质，结合题意得，解不等式即可求出． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴ ∴ 故选：B． 3. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设出反比例函数解析式，把(0.25，400)代入即可求解： 设，∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，∴k＝0.25×400＝100． ∴．故选C． 4. 如图，的顶点E在的边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，能判定，故A不符合要求； ∵，， ∴，能判定，故B不符合要求； ∵，， ∴ ，能判定，故C不符合要求； ，，不能判定，故D符合要求； 故选：D． 5. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 6. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若 ， ，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对 运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴， ， ∴在 中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 7. 如图，，是上的两点，是弧的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据是弧的中点求出，再根据圆周角定理得到，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：是弧的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，小明在时测得某树的影长为 ，时又测得该树的影长为 ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则 ，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 9. 函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 10. 如图，已知在中，点、、分别是边、 、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 【答案】A 【解析】 【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 一个不透明的袋中装有 个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据概率公式即可求解． 【详解】解：从袋中随机取出一个球是白球的概率为， ， 解得：， 故答案为：． 12. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正多边形的中心角的度数等于360度除以边数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，正多边形的边数为：． 故答案为：9． 13. 如图，和 是以点 为位似中心的位似图形．若，则与 的周长比是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论． 【详解】解：和 是以点 为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 根据与 的周长比等于相似比可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 14. 如图，， 分别与相切于，两点，且 ，若点是上异于点，的一点，则的大小为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论： 当点在优弧上时，连接 ，，由切线的性质可得，由四边形的内角和可得，由圆周角定理可得； 当点在劣弧上时，连接，，由圆内接四边形的性质可得；综上，即可得出的大小． 【详解】解：分两种情况讨论： 如图，当点在优弧上时，连接 ，， ， 分别与相切于，两点， ， ， ， ； 如图，当点在劣弧上时，连接，， 四边形是圆内接四边形， ； 综上，的大小为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，多边形内角和问题，圆周角定理，圆内接四边形的性质定理等知识点，熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质定理并运用分类讨论思想是解题的关键． 15. 若点，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，为的大小关系为__________（用“”表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，由，可知反比函数在每个象限内，y随x的增大而减小，、在第三象限内，在第一象限内，分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴、在第三象限内，在第一象限内， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段 经过原点，以 为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的图像与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作轴于点，过点作轴于点，设，则 ，由是等边三角形，，推出 ，，证明，得到，求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设，则 ， 是等边三角形，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题各6分；20，21题各8分；22，23题各9分；24，25题各10分，共72分．） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的乘方以及零指数幂运算法则化简各项后，再算加减即可． 【详解】解： = =6 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． （1）先移项，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或 ， ∴， ． 19. 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，等式的性质，从函数的图象获取信息等知识点，运用数形结合思想并从函数的图象获取正确信息是解题的关键． （1）将点代入，即可求出 的值，进而可得反比例函数的解析式； （2）将点代入反比例函数的解析式，可得，进而可得 ，于是可得点坐标，然后通过观察图象即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将点代入反比例函数的解析式，可得： ， ， ， 观察图象可知，不等式的解集为：或． 20. 已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）若该地区有1000名中学生参加研学活动，则估计愿意去基地的有______人； （3）甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率． 【答案】（1） 条形统计图补充如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，样本估计总体，用树状图或表格求概率，掌握画树状图或列表的方法是解题的关键． （1）先算抽取学生总数，再算选取红色研学基地的人数，最后请将条形统计图补充完整； （2）利用样本百分率估计总体百分率，计算即可； （3）列表，从中确定所有等可能的结果和两校恰好选取同一个基地的结果数量，根据概率的公式求解即可． 【小问1详解】 抽取学生总数为： （人）， 选取红色研学基地的人数： （人）； 【小问2详解】 （人） ∴估计愿意去基地的有 人， 故答案为： ； 【小问3详解】 列表如下： 甲\乙 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 观察表格可得，所有等可能的结果有种，其中甲、乙两所学校恰好选取同一个基地的结果有种， ∴甲、乙两所学校恰好选取同一个基地的概率为：． 21. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交 的延长线于点F． （1）求证： ； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴ ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出 ，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， 可得方程， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． 22. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 【答案】（1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元 （2）甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的实际应用． （1）设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解． （2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，先求出m的取值范围，然后列出y关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得： 解得 经检验， 是所列方程的根， ∴ 答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元． 【小问2详解】 设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得： 解得： ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴时，y取最小值，此时（个）， 答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少． 23. 如图，是的直径， 是一条弦，点是的中点， 于点，交 于点，连结交 于点． （1）求证：； （2）延长至点，使，连接． ①求证：是的切线； ②若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴ ， ∵ ，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①证明：∵为的直径， ∴， ∴ ， ∵， ∴是 的垂直平分线， ∴， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线； ②的半径为． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，可得 ，证明，可得，进一步可得结论； （2）①证明，可得是 的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解 ，，结合，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，，如果满足，那么称P，Q两点互为“等差点”． （1）请判断在点，，中，哪些点与点互为“等差点”？ （2）已知点E在直线上，点F在曲线（k为常数，且）上，且E，F两点互为“等差点”．请求出点F的坐标（用含k的代数式表示）； （3）已知抛物线（a，b为常数且 ， ）的顶点为点G，与x轴交于M，N两点，，P，Q两点分别在抛物线和直线上，如果P，Q两点互为“等差点”，且P，Q两点的横坐标是一元二次方程的两根，求抛物线C和直线l的解析式． 【答案】（1）点B与点D互为“等差点” （2）点F的坐标为或 （3）， 【解析】 【分析】(1)根据“等差点”的定义判断即可； (2)令，根据“等差点”的定义列方程求解即可； (3)先分别表示出，，再根据等腰直角三角形的性质，得到，令，，根据“等差点”的定义，得到，然后利用一元二次方程根和系数的关系，得到，，代入求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：A与， B与， C与， 点B与点D互为“等差点”； 【小问2详解】 解：点E在直线上，点F在曲线上， 令，， ，F两点互为“等差点”， ， 整理得，解得，或， 点F的坐标为或； 【小问3详解】 解：抛物线的顶点为G点，与x轴交于M，N两点， ， 令 ，则， 解得，， ， 由题意知，且， 为等腰直角三角形， ， ，化简得，① ，Q两点分别在抛物线和直线上， 令，， ，Q互为“等差点”， ， 即，② 又P，Q两点的横坐标是方程的两根， ，且， 代入②得， 整理得， ，整理得：，③ ∴联立①③，得，（， 舍）， ，． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，公式法解一元二次方程以及一元二次方程根和系数的关系，等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确理解“等差点”的定义，利用整体代入的思想解决问题是解题关键． 25. 阅读材料： 圆的定义：到定点的距离等于定长的点所组成的图形叫做圆． 对于任何直角三角形，因为斜边上的中线长度等于斜边长度的一半，故其外接圆的直径就是斜边，外心即是斜边的中点．如果两个直角三角形共享同一个斜边，因为它们的外心和半径都相同，所以它们将拥有相同的外接圆，即这两个直角三角形的所有顶点均在同一个圆上（四点共圆）． 解决问题： 如图1，正方形的边长为6，点O是对角线，的交点，点E在上，过点C作 ，垂足为F，连接． （1）（ⅰ）求证：； （ⅱ）若，求的长． （2）如图2，取线段的中点G，连接 ，当点E在边上运动时， 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； （3）当点E在直线上运动时，将的内心记为点I，请直接写出在点E的运动过程中 的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ） （2） 存在最小值， 的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）先证明出，O，F，C四点均在以为直径的圆上，得出，进而即可得解，（ⅱ）先利用勾股定理得出的长，然后用相似比计算即可得解； （2）如图，取的中点H，连接，，，先利用勾股定理求出的长，再利用三角形的三边关系得出，然后利用中位线定理得，进而通过计算代入即可得解； （3）以为斜边向下作等腰直角，先确定点I在以M为圆心，为半径的圆M的弧上运动，然后利用两点之间线段最短的性质得出当A，I，M三点位于同一直线上时， 取得最小值，进而通过计算即可得解． 【小问1详解】 （ⅰ）证明：四边形是正方形，对角线 ，交于点O， ，， 又∵ 于点F， ， ，O，F，C四点均在以为直径的圆上， ， 又∵， ； （ⅱ）解：正方形的边长为6， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：存在最小值，的最小值为，理由如下： 如图，取的中点H，连接，，， 正方形的边长为6，对角线 ，交于点O， ，，， 于点F， ， ， ， ， ， 点O为的中点，点G为的中点， ， ， ， 存在最小值，且最小值为； 【小问3详解】 解：∵由点I为 的内心， ∴， 以为斜边向下作等腰直角， ∴点I在以M为圆心，为半径的圆M的弧上运动， ∴当A，I，M三点位于同一直线上时， 取得最小值， 如图所示， 此时，， ∴ 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $