精品解析：江苏省扬州市朱自清中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期月度学科素养体验九年级数学 2024.12 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义，找出是一元二次方程的选项即可． 【详解】解：A、该选项的方程是二元一次方程，故该选项不符合题意； B、该选项有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，故该选项符合题意； C、该选项的方程是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、该选项有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 2. 已知的半径是，线段，则点（　　） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内．根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内，点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上，点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：点到圆心距离，则点P在内， 故选：C． 3. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：D ． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 优弧一定大于劣弧 C. 不同的圆中不可能有相等的弦 D. 直径是一个圆中最长的弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等弧、等弦的概念，优弧、劣弧大小的比较，弦与直径的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等弧的定义，弦的定义即可解答． 【详解】解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A选项错误； B、两弧若不在同圆或等圆中，则结论不一定成立，故B选项错误； C、在等圆中，存在长度相等的弦，例如等圆中的直径都相等，故C选项错误； D、直径是一个圆中最长的弦，正确，故D选项正确； 故选：D． 5. 如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（　　） A. B. AF=BF C. OF=CF D. ∠DBC=90° 【答案】C 【解析】 【详解】∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误． 考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 点评：本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般． 6. 二次函数的最小值是 （ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于二次函数的顶点式y=a+k而言，函数的最小值为k. 所以二次函数的最小值为2， 故选：B 7. 抛物线与坐标轴的交点个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式， 令，解得：，∴抛物线与轴的交点为（0，4）， 令，得到 ∴抛物线与轴的交点分别为（，0），（1，0）． 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3． 故选A． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，解一元一次、二次方程，熟练掌握其性质是解题的关键． 8. 已知，且有及，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2018 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出，进而可得是关于t的方程的两个实数根，则由根与系数的关系可求出，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴是关于t的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 如果一个圆最长的弦是，那么它的半径是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，圆中最长的弦是直径，据此求出该圆的直径长，进而可得该圆的半径长． 【详解】解：∵一个圆最长的弦是， ∴这个圆的直径为， ∴这个圆的半径为， 故答案为：． 10. 一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 即或， 解得，． 11. 已知与面积的比为．若，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：，与面积之比为， 与相似比为，即， ， ． 故答案为：4 12. 如图，点、、在上，若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】解：在中，点、、在上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键． 13. 某超市今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是_____． 【答案】20％ 【解析】 【分析】设该超市销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，由3月份的销售额是2.88万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设该超市销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元， 根据题意得：2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 所以，该超市销售额平均每月的增长率是20%． 故答案为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14. 若是方程的根，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算即可求出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： ． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 16. 已知圆锥的底面直径为4cm，其母线长为3cm，则它的侧面积为______cm2． 【答案】6π 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求解即可． 【详解】解：∵底面直径为4cm， ∴底面周长=4π， ∴侧面积=×4π×3=6πcm2． 故答案为：6π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解答本题的关键． 17. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝___． 【答案】-4 【解析】 【分析】由表格可知，（0，-2），（2，-2）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为3的对称点（-1，-4）即可． 【详解】观察表格可知，当x=0或2时，y=-2， 根据二次函数图象的对称性， （0，-2），（2，-2）是抛物线上两对称点， 对称轴为x==1，顶点（1，-2）， 根据对称性，x=3与x=-1时，函数值相等，都是-4． 故答案为：-4 18. 如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=-∠IPO-∠IOP=-（∠HOP+∠OPH）=，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO上取点P，连PA，PO，可得∠APO=-=，得∠AO=，OA=×4=2，然后利用弧长公式计算弧OA的长． 【详解】如图，连OI，PI，AI， ∵△OPH的内心为I， ∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH， ∴∠PIO=-∠IPO-∠IOP=-（∠HOP+∠OPH）， 而PH⊥OA，即∠PHO=， ∴∠PIO=-（∠HOP+∠OPH）=-（-）=， 又∵OP=OA，OI公共， 而∠IOP=∠IOA， ∴△OPI≌△OAI， ∴∠AIO=∠PIO=， 所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O， 在优弧AO上取点P，连PA，PO， ∵∠AIO=， ∴∠APO=-=， ∴∠AO=，而OA=4cm， ∴∠AO=， ∴O′O=OA=×4=2， ∴弧OA的长=（cm）， 所以内心I所经过的路径长为cm． 故答案为：cm． ． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，弧长的计算公式，三角形的内心的定义，圆周角定理，三点共圆，证明以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上是解题的关键． 三．解答题（共10小题，共96分） 19. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20. 如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，该圆弧所在圆记为，圆心记为 （1）请在图中画出圆心的位置；圆心的坐标为_____ （2）该圆的半径为_____ （3）若点为上一点，且点在轴的正半轴上，则点的坐标为_____ 【答案】（1） 解：如图所示，连接，作的垂直平分线，交垂直平分线于P，P即为圆心， ∴圆心的坐标为； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，确定圆心的位置，圆的基本性质等等： （1）如图所示，连接，作的垂直平分线，交垂直平分线于P，P即为圆心，据此求出点P的坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）根据的长为的半径长结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴该圆的半径为； 【小问3详解】 解：设， ∵点为上一点， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 21. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）请你选取一个你喜欢的正整数的值代入方程并求出这个方程的两根． 【答案】（1） （2）当时， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元二次方程根的判别式，熟练掌握：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根． （1）根据题意得出，计算即可求出k的取值范围； （2）结合（1）的结果，将代入方程,解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：； 【小问2详解】 解：若， 则， 解得：． 22. 如图，中，是的延长线上一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若的面积为2，求的面积 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ． （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）由四边形是平行四边形，得， ，所以，进而推断出． （2）根据相似三角形的性质，由的面积为2，故可求的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ． 23. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点．过点作，垂足为点． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接、， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴D为中点， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等． （1）由直径所对的圆周角是直角可得，再由等腰三角形的性质可得D为中点，根据三角形中位线定理可得，由平行线的性质得，再根据切线的判定定理即可得证； （2）由（1）知，，利用勾股定理求得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，点D为中点， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 24. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）能否通过上下平移上述二次函数的图象，使得到的新的图象经过点？如果能，请直接写出平移的方向和距离；如果不能，说明理由． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 （3）向上平移4个单位长度 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把解析式化为顶点式即可得到答案； （3）设将二次函数向上平移m个单位长度后得到的新的图象经过点，先求出平移后的函数解析式，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得该二次函数解析式为， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：设将二次函数向上平移m个单位长度后得到的新的图象经过点， ∴平移后的二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴将原二次函数向上平移4个单位长度后，使得到的新的图象经过点． 25. 某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量(件)与每件的销售价(元)之间的函数关系为． （1）当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； （2）如果商场想销售这种服装每天获得元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？ 【答案】（1）当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元 （2）每件服装的销售价应定为元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值，一元二次方程的应用； （1）根据求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解； （2）设每件服装的销售价应定为元，根据商场想销售这种服装每天获得元的毛利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， 元， 答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元； 【小问2详解】 设每件服装的销售价应定为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵考虑薄利多销， ∴ 答：每件服装的销售价应定为元． 26. 【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】 （1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 27. 如图1，在中，，，，．如果以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图2），若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为秒． （1）点坐标_____ （2）_____，_____（用的关系式表示） （3）是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，此时t的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，再用的面积求出，据此可得答案； （2）根据题意求出，进而求出即可； （3）分当时，如图3，此时，当时，如图4，此时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，理由如下： 分两种情况： ①当时，如图3，此时， ∴，即， 解得； ②当时，如图4，此时， ∴，即， 解得； 综上所述，存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，此时t的值为或． 28. 综合实践 小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形，点、、、分别在边、、、上，若，则” 经过思考，大家给出了以下两个方案： （甲）过点作交于点，过点作交于点； （乙）过点作交于点，作交的延长线点 小杰和他的同学顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索． …… （1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）； （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设，（如图2），试探究、之间有怎样的数量关系．并证明你的结论； （3）如果把条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为4，的长为（如图3），试求的长度． 【答案】（1） ①选择甲方案，证明如下： 如图，过点A作交于点M，过点B作交的延长线于点N． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形、四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， 在和中， ，，， ， ，即． ②选择乙方案，证明如下： 如图，过点A作交于点M，作交的延长线于点N． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形、四边形是平行四边形， ，， ∵四边形是正方形， ，， ∴， ， ， ∴， ， 在和中， ， ， ，即． （2） 结论： 证明：过点A作交于点M，作交的延长线于点N， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形、四边形是平行四边形， ，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）选择甲方案，过点A作交于点M，过点B作交的延长线于点N，证明，可得，从而； 选择乙方案，过点A作交于点M，作交的延长线于点N． 证明，得，从而． （2）同（1）一样，只不过将全等三角形该成了相似三角形，通过相似三角形得出的对应线段成比例来得出； （3）过点A作交于点M，过点A作交于点N． 延长到P，使，证明，得，，证明，得，设，则，，在Rt中，，解得：，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点A作交于点M，过点A作交于点N． 延长到P，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形、四边形是平行四边形， ∴ 又， 在Rt中，， 在和中， ， ， ，， 又与所夹角为， ， ， 即， ∵，， ， ， 设，则，， ， ， 在中，， ， 解得：， 即， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．通过辅助线将所求的线段与已知的线段构建到一对全等或相似的三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期月度学科素养体验九年级数学 2024.12 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径是，线段，则点（　　） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 3. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 优弧一定大于劣弧 C. 不同的圆中不可能有相等的弦 D. 直径是一个圆中最长的弦 5. 如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（　　） A. B. AF=BF C. OF=CF D. ∠DBC=90° 6. 二次函数的最小值是 （ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 7. 抛物线与坐标轴的交点个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 已知，且有及，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2018 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 如果一个圆最长的弦是，那么它的半径是_____ 10. 一元二次方程的根为______． 11. 已知与面积的比为．若，则的长为_____． 12. 如图，点、、在上，若，则______． 13. 某超市今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是_____． 14. 若是方程的根，则的值为_____ 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 16. 已知圆锥的底面直径为4cm，其母线长为3cm，则它的侧面积为______cm2． 17. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝___． 18. 如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为_________． 三．解答题（共10小题，共96分） 19. 解一元二次方程： （1） （2） 20. 如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，该圆弧所在圆记为，圆心记为 （1）请在图中画出圆心的位置；圆心的坐标为_____ （2）该圆的半径为_____ （3）若点为上一点，且点在轴的正半轴上，则点的坐标为_____ 21. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）请你选取一个你喜欢的正整数的值代入方程并求出这个方程的两根． 22. 如图，中，是的延长线上一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若的面积为2，求的面积 23. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点．过点作，垂足为点． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求的面积． 24. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）能否通过上下平移上述二次函数的图象，使得到的新的图象经过点？如果能，请直接写出平移的方向和距离；如果不能，说明理由． 25. 某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量(件)与每件的销售价(元)之间的函数关系为． （1）当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； （2）如果商场想销售这种服装每天获得元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？ 26. 【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 27. 如图1，在中，，，，．如果以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图2），若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为秒． （1）点坐标_____ （2）_____，_____（用的关系式表示） （3）是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 28. 综合实践 小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形，点、、、分别在边、、、上，若，则” 经过思考，大家给出了以下两个方案： （甲）过点作交于点，过点作交于点； （乙）过点作交于点，作交的延长线点 小杰和他的同学顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索． …… （1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）； （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设，（如图2），试探究、之间有怎样的数量关系．并证明你的结论； （3）如果把条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为4，的长为（如图3），试求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $