5.4 菱形的性质与判定-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河北数学 　 第 五 章 四 边 形 命题点 4　 菱形的性质与判定(必考) 考向 1　 菱形的性质 1. [2019 河北 5 题 3 分]如图,菱形 ABCD 中,∠D = 150°,则∠1 = (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 1 题图 A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 2. [2024 唐山路北区二模]已知下列选项中的图形 均为菱形,则所标数据有误的是 (　 D　 ) 3. [2024 石家庄裕华区一模]如图,在平行四边形 ABCD 中,AB = 4,BC = 6,将线段 AB 水平向右 平移 a 个单位长度得到线段 EF,若四边形 EC- DF 为菱形时,则 a 的值为 (　 B　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 3 题图 　 第 4 题图 4. [名师原创]如图,已知菱形 ABCD 的周长为 20, 若 B,D 两点间的距离逐渐减小,则对角线 AC 的长 (　 B　 ) A. 逐渐减小 B. 逐渐增大 C. 先减小,后增大 D. 先增大,后减小 变式 [2024 石家庄新华区一模]小明用四根长度 相等的木条制作了能够活动的菱形学具,他先 活动 学 具 成 为 图 ① 所 示 的 菱 形, 并 测 得 ∠ABC= 60°,接着活动学具成为图②所示的正 方形,并测得对角线 AC = 20 2 ,则图①中菱形 的对角线 BD 长为 (　 C　 ) 变式题图 A. 20 B. 30 C. 20 3 D. 20 2 5. [名师原创]如图,在菱形 ABCD 中,AD = 2,连接 AC,过点 A 作 AE⊥AC 交 CB 的延长线于点 E, 则 CE 的长为 (　 C　 ) 第 5 题图 A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 3 6. [2023 廊坊期末]甲、乙两位同学在探索下面这 道题: 第 6 题图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋如图,已知菱形 ABCD(AC<BD),延长 AB 至 点 E,使得 AB=BE,连接 EO 和 EC. 甲:四边形 BECD 是平行四边形; 乙:若△EOC 的面积为 10,则菱形 ABCD 的面 积为 20. 则下列说法正确的是 (　 D　 ) A. 甲和乙都不正确 B. 只有甲正确 C. 只有乙正确 D. 甲、乙都正确 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29 分层作业本·河北数学 　 第 五 章 四 边 形 7. [2024 衡水校级一模改编] 如图,在菱形 ABCD 中,A(0,6),B(8,0),点 C 在 x 轴上,分别以 A, B 为圆心,以大于 1 2 AB 的长为半径作弧,两弧 分别交于 P,Q 两点,作直线 PQ,交 AB 于点M, 交 AD 于点 N,则点 N 的坐标为 (　 A　 ) 第 7 题图 A. (25 4 ,6) B. (25 3 ,6) C. (4,6) D. (16 3 ,6) 考向 2　 菱形的判定 8. [2024 保定竞秀区一模]如图,根据下面平行四边 形中所标注的条件,不能判定其为菱形的是 (　 D　 ) 9. [2024 邯郸校级模拟]如图,已知∠A,按以下步 骤作图. (1)以点 A 为圆心,任意长为半径作弧,与 ∠A 的两边分别交于点 B,D; (2)分别以点 B,D 为圆心,AD 长为半径作 弧,两弧相交于点 C; (3)分别连接 DC,BC. 第 9 题图 则可以直接判定四边形 ABCD 是菱形的依据 是 (　 D　 ) A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是菱形 10. [名师原创]如图,在四边形 ABCD 中,AB =AD, AC⊥BD,垂足为 O,OA=OC. 求证:四边形 ABCD 是菱形. 第 10 题图 证明:∵ AC⊥BD,OA=OC, ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线, ∴ … ∵ AB=AD, ∴ AB=BC= CD=AD, ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 其中,“…”表示的是 (　 C　 ) A. BC=CD B. AB=BC C. AB=BC,AD=CD D. OB=OD 11. [名师原创]在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相 交于点 O,在对角线 BD 上找两点 M,N,使得 四边形 AMCN 是菱形,以下两种方案 (　 C　 ) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋方案甲:取 BM=DN 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋方案乙:分别作△ABO 和△ADO 的角平分线 AM,AN 第 11 题图 A. 只有甲正确 B. 只有乙正确 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不正确 12. 如图,在边长为 2 3的菱形 ABCD 中,∠BAD= 60°,点 E,F 分别为折线 AB-BC,AD-DC 上的 点(不含菱形顶点),AE = AF,BF,DE 相交于 点 G,作射线 AG. 甲、乙二人分别对这个问题 进行了研究: 第 12 题图 甲:射线 AG 不一定经 过点 C; 乙:当 DE 垂直于菱形 的边时,线段 AG 的长 可能为 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 39 分层作业本·河北数学 　 第 五 章 四 边 形 下列判断正确的为 (　 B　 ) A. 甲、乙都对 B. 甲、乙都错 C. 甲对,乙错 D. 甲错,乙对 13. [2024 扬州]如图,将两个宽度相等的矩形纸条 叠放在一起,得到四边形 ABCD. (1) 试判断四边形 ABCD 的形状, 并说明 理由; (2)已知矩形纸条宽度为 2 cm,将矩形纸条旋 转至如图②位置时,四边形 ABCD 的面积 为 8 cm2,求此时直线 AD,CD 所夹锐角 ∠1 的度数. 图① 　 　 图② 第 13 题图 解:(1)四边形 ABCD 是菱形,理由如下:如解图①, 作 CH⊥AB,垂足为 H,CG⊥AD,垂足为 G, ∵两个纸条为矩形, ∴AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵S▱ABCD =AB·CH=AD·CG,且 CH=CG, ∴AB=AD,∴四边形 ABCD 是菱形; 第 13 题解图 (2)如解图②,作 AM⊥CD,垂足为 M, ∵S菱形ABCD =CD·AM=8 cm2,且 AM=2 cm, ∴CD=4 cm, ∴AD=CD=4 cm, 在 Rt△ADM 中,sin∠1=AM AD = 1 2 , ∴∠1=30°. 14. [名师原创]如图,在菱形 ABCD 中,∠C= 140°, MN 垂直平分 BC,交对角线 BD 于点 M,交 BC 于点 N,连接 AM,则∠MAD 的度数是 A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 第 14 题图 　 第 15 题图 15. [名师原创]如图,在菱形 ABCD 中,E 是对角线 AC 上的一点,过点 E 作 FH∥AD,GI∥AB,若 AC= 5 cm,∠B= 60°,则 (1)四边形 BGEF 为　 平行四边形　 ,四边形 DHEI 为　 平行四边形　 ;(填特殊四边形 的形状) (2)图中阴影部分的周长为　 20　 cm. 16. [2014 河北 23 题 11 分]如图,△ABC 中,AB = AC,∠BAC= 40°,将△ABC 绕点 A 按逆时针方 向旋转 100°,得到△ADE. 连接 BD,CE 交于 点 F. (1)求证:△ABD≌△ACE; (2)求∠ACE 的度数; (3)求证:四边形 ABFE 是菱形. 第 16 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 49 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠BAD= 90°, ∵ EF⊥AB, ∴ GH∥AD, ∵ GH=AD, ∴ 四边形 AGHD 是平行四边形; (3)解:S2 = 2S1 . 【解法提示】如解图,设 EF 与 AB 交于 M,则易知 AM = 1 2 AB,∵ S2 = AD·AB,S1 = AD·AM = AD · 1 2 AB= 1 2 AD·AB,∴ S2 = 2S1 . 19. (1)证明:∵ AD∥BC,∠A= ∠C, ∴ ∠A= ∠CBE= ∠C, ∴ AB∥CD, ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形; (2)解:t 的值为 5 3 或 5. 【解法提示】∵ ∠ADB = 90°,AD = 6 cm,BD= 8 cm,∴ AB= 62 +82 = 10(cm),∵ 四边形 AB- CD 是平行四边形,∴ CD = AB = 10 cm,AD = BC = 6 cm,由 题意可知,AP= 4t,CQ = 2t,①当点 P 在线段 BA 上时,此 时 0<t≤2. 5,BP = AB-AP = 10- 4t,∵ 四边形 PBCQ 是平 行四边形,∴ PB=CQ,∴ 10-4t = 2t,解得 t = 5 3 ;②当点 P 在线段 AB 的延长线上时,此时 2. 5< t≤5,BP = AP-AB = 4t-10,∵ 四边形 BPCQ 是平行四边形,∴ BP = CQ,∴ 4t- 10 = 2t,解得 t= 5,综上可知,当 t 的值为 5 3 或 5 时,以 P, B,C,Q 为顶点的四边形为平行四边形. 命题点 3　 矩形的性质与判定 1. C　 拓展设问 　 C　 变式 1-1 　 B 变式 1-2 　 B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形,AB = 6, AD= 8,∴ OA = OB = OC = OD = 1 2 AC = 1 2 × 62 +82 = 1 2 × 10 = 5,∵ CE∥BD,DE∥AC,∴ 四边形 DECO 为平行四边 形,∵ OD=OC,∴ 四边形 DECO 为菱形,∴ OD =DE = EC = OC= 5,则四边形 OCED 的周长为 5+5+5+5 = 20. 2. A　 【解析】∵ 矩形 ABCD 的面积 S1 = 2S△ABD,S△ABD = 1 2 S2 , ∴ S1 =S2 . 3. C　 【解析】如解图,连接 AR. ∵ E,F 分别是 AP,RP 的中 点,∴ EF 为△APR 的中位线,∴ EF= 1 2 AR,为定值. 第 3 题解图 4. A　 【解析】 由平行四边形和矩形性质可知 AC = BC, ∵ OA=OB,OC = OC,∴ 两个图形中都有△AOC≌△BOC, ∴ ∠AOC = ∠BOC,∴ 射线 OC 是∠MON 的平分线,∴ 嘉 嘉,淇淇都对. 5. 56 变式 　 C　 【解析】 ∵ EF 是 BD 的垂直平分线,∴ OB = OD, ∵ ∠OBF = ∠ODE, ∠BOF = ∠DOE, ∴ △BOF ≌ △DOE, 则 OE = OF, ∵ ∠OBF = ∠ABD, ∴ △BOF ∽ △BAD,∴ FO BO = AD AB ,∵ BD = AD2 +AB2 = 10,∴ BO = 5,∴ FO= 5× 6 8 = 15 4 ,∴ EF= 2FO= 15 2 . 6. A　 7. C 8. C　 【解析】根据题意得 1 2 ab= (a-2)(b-2),即 ab-4a = 4b -8,∴ (b-4)a= 4b-8,解得 a= 4b-8 b-4 = 4(b -4) +8 b-4 = 4+ 8 b-4 , ∵ a,b 为正整数,∴ b-4 = 1 或 2 或 4 或 8,∵ a>b,∴ 当 b-4 = 1 时,a= 12,b = 5;当 b- 4 = 2 时,a = 8,b = 6;当 b- 4 = 4 时,a= 6,b= 8(舍去);当 b-4 = 8 时,a= 5,b= 12(舍去) . ∴ a 的值为 12 或 8. 9. (1)解:对角线互相平分的四边形是平行四边形; (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC, 在△BAD 和△ABC 中, AB=BA, AD=BC, BD=AC, { ∴ △BAD≌△ABC(SSS), ∴ ∠BAD= ∠ABC, ∵ AD∥BC, ∴ ∠BAD+∠ABC= 180°, ∴ ∠BAD= ∠ABC= 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是 矩形) . 命题点 4　 菱形的性质与判定 1. D　 2. D　 3. B　 4. B 变式 　 C　 【解析】由题图②知,四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠B = 90°,∵ AC = 20 2 ,∴ AB = BC = 20,如解 图,在题图①的基础上连接 AC,BD,交点为 O,∵ ∠ABC = 60°,BA=BC,∴ △ABC 是等边三角形,∴ AC=AB= 20,∵ 菱 形 ABCD, ∴ AC ⊥ BD, OA = OC = 1 2 AC = 10, OB = OD, ∴ OB= AB2 -AO2 = 202 -102 = 10 3 , ∴ BD = 2OB = 20 3 . 变式题解图 5. C　 【解析】如解图,连接 BD,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD∥EB,AC⊥BD,BC= AD = 2,∵ AE⊥AC,∴ AE∥DB,∴ 四 边形 ADBE 是平行四边形,∴ EB=AD = 2,∴ CE =EB+BC = 2+2 = 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 第 5 题解图 6. D　 【解析】 ①∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴ AB∥CD,AB = CD. 又∵ AB= BE,∴ BE∥CD,BE = CD,∴ 四边形 BECD 为 平行四边形,故甲的说法正确. ②∵ 四边形 BECD 为平行 四边形,∴ BD = EC,BD∥EC. ∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴ OC= 1 2 AC,AC⊥BD,S菱形ABCD = 1 2 AC·BD,∴ AC⊥EC,∵ S△EOC = 1 2 OC·EC = 10. ∴ S菱形ABCD = 1 2 AC·BD = 1 2 × 2OC ·EC= 20,故乙的说法正确. 7. A　 【解析】∵ 菱形 ABCD 中,A(0,6),B(8,0),∴ AD∥BC, OA= 6,OB= 8,∴ AB= OA2 +OB2 = 10,∠NAB = ∠ABO,由 作图可知,PQ 垂直平分 AB,∴ AM = 1 2 AB = 5,∠AMN = 90°,∵ cos∠NAM= AM AN ,cos∠ABO = OB AB ,∴ 5 AN = 8 10 ,∴ AN = 25 4 ,∴ 点 N 的坐标为( 25 4 ,6) . 8. D　 9. D　 10. C 11. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OB =OD,OA=OC, ∠BAC = ∠DAC, AC ⊥ BD. 若 BM = DN, 则 OM = ON, ∵ OA=OC,∴ 四边形 AMCN 是平行四边形. ∵ AC⊥BD, ∴ 四边形 AMCN 是菱形. 方案甲正确. 若 AM,AN 分别是 △ABO 和 △ADO 的角平分线, 则 ∠MAC = 1 2 ∠BAC, ∠NAC= 1 2 ∠DAC. ∴ ∠MAC = ∠NAC. ∵ ∠AOM = ∠AON = 90°,AO=AO,∴ △AOM≌△AON(ASA) . ∴ OM =ON. ∵ OA=OC,∴ 四边形 AMCN 是平行四边形. ∵ AC⊥BD,∴ 四边形 AMCN 是菱形. 方案乙正确. 综上所述,正确的方 案是甲和乙. 12. B　 【解析】当点 E 在 AB 上时,△ADE≌△ABF,则△DFG ≌△BEG,则△ADG≌△ABG,则∠DAG = ∠BAG,即 AG 平 分∠BAD;当点 E 在 BC 上时,同理可得 AG 平分∠BAD. ∴ 射线 AG 一定经过点 C,∴ 甲错;当 DE⊥AB 时,BF⊥ AD,则∠GAE = ∠GBE = 30°,AE = BE = 3 ,∴ AG = 2;当 DE⊥BC 时,同理可得 CG= 2,易知 AC= 6,此时 AG = 4,∴ 乙错. 13.解:(1)四边形 ABCD 是菱形,理由如下:如解图①,作 CH ⊥AB,垂足为 H,CG⊥AD,垂足为 G, ∵ 两个纸条为矩形, ∴ AB∥CD,AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∵ S▱ABCD =AB·CH=AD·CG,且 CH=CG, ∴ AB=AD, ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 图① 　 　 图② 第 13 题解图 (2)如解图②,作 AM⊥CD,垂足为 M, ∵ S菱形ABCD =CD·AM= 8 cm2 ,且 AM= 2 cm, ∴ CD= 4 cm, ∴ AD=CD= 4 cm, 在 Rt△ADM 中,sin∠1 = AM AD = 1 2 , ∴ ∠1 = 30°. 14. C　 【解析】如解图,连接 CM. ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB∥CD,AD = CD, ∠ABD = ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB, ∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°, ∵ ∠BCD = 140°, ∴ ∠ABC = 40°,∴ ∠ABD= ∠CBD= 20°,∵ MN 垂直平分 BC,∴ BM = CM,∴ ∠BCM= ∠CBM = 20°,∴ ∠MCD = 120°. 在△ADM 和 △CDM 中, AD=CD, ∠ADM= ∠CDM, DM=DM, { ∴ △ADM ≌ △CDM (SAS),∴ ∠MAD= ∠MCD= 120°. 第 14 题解图 15. (1)平行四边形,平行四边形;(2) 20　 【解析】 (1) ∵ 四 边形 ABCD 是菱形,AC = 5 cm, ∠B = 60°, ∴ AB = CB = AD=CD,∠B= ∠D= 60°,∴ △ABC,△ADC 都是等边三角 形,∴ AB=CB= AD = CD = AC = 5 cm,∵ FH∥AD,BC∥AD, GI∥AB,CD∥AB,∴ FE∥BG,EG∥BF,IE∥DH,EH∥DI,∴ 四边形 BGEF、四边形 DHEI 都是平行四边形;(2)由(1) 得,GE= BF,EF = BG,EH = DI, IE = DH,∴ AF+EG = AF+ BF= 5 cm,EF+CG=BG+CG= 5 cm,EH+AI=DI+AI= 5 cm, IE+CH=DH+CH = 5 cm,∴ AF+EG+EF+CG+EH+AI+IE+ CH= 5×4 = 20(cm),∴ 图中阴影部分的周长为 20 cm. 16. (1)证明:∵ △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100°得 到△ADE, ∴ ∠BAD= ∠CAE= 100°, 又∵ AB=AC,∴ AD=AE, 在△ABD 和△ACE 中, AB=AC, ∠BAD= ∠CAE, AD=AE, { ∴ △ABD≌△ACE(SAS); (2)解:∵ ∠CAE= 100°,AC=AE, ∴ ∠ACE= 1 2 (180°-∠CAE)= 1 2 ×(180°-100°)= 40°; (3)证明:∵ ∠BAD= ∠CAE= 100°,AB=AC=AD=AE, ∴ ∠ABD= ∠ADB= ∠ACE= ∠AEC= 40°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 ∵ ∠BAE= ∠BAC+∠CAE= 140°, ∴ ∠BFE= 360°-∠BAE-∠ABD-∠AEC= 140°, ∴ ∠BAE= ∠BFE,∴ 四边形 ABFE 是平行四边形. ∵ AB=AE, ∴ 四边形 ABFE 是菱形. 命题点 5　 正方形的性质与判定 1. C　 2. A 3. A　 【解析】如解图,∵ S正方形EFGH = 8,S正方形PQKT = 18,∴ EF = 2 2 ,PQ= 3 2 ,∴ AB = EF+PQ = 5 2 ,∴ S正方形ABCD = AB2 = 50,∴ S阴影 =S正方形ABCD-S正方形EFGH-S正方形PQKT = 50-8-18 = 24. 第 3 题解图 变式 3-1 　 B　 【解析】由正方形 CEFG 和正方形 ABCD, AB= 6,CE= 2,得 AD∥GF,∴ △ADH∽△FGH,∴ DH ∶HG = AD ∶GF= 6 ∶2 = 3 ∶1,∵ DG=DC-GC= 6-2 = 4,∴ DH= 4÷(1+ 3) ×3 = 3. 变式 3-2 　 B　 【解析】由题意可知 S正方形BGME ∶ S正方形BHNF ∶ S正方形BCDA = 1 ∶2 ∶3,∴ BG ∶BH ∶BC = 1 ∶ 2 ∶ 3 ,∵ EF = 2 -1, ∴ BG ∶(BG+ 2 -1)= 1 ∶ 2 ,解得 BG = 1,∴ S正方形BGME = 1,∴ 正方形 ABCD 的面积是 3. 4. A　 【解析】A:∵ 正方形的边长为 10 cm,∴ 对角线为 10 2 ≈14(cm),∵ 15>14,∴ 这个图形不可能存在. 5. B　 【解析】∵ 点 C 关于 DE 的对称点为点 P,∴ ∠PDC = 2∠CDE= 40°,DP=DC,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD = CD,∠ADC= ∠BAD = 90°,∴ AD = DP,∠ADP = 90° + 40° = 130°,∴ ∠DAP= ∠P= 1 2 ×(180°-130°) = 25°,∴ ∠PAB = 90°-25° = 65°. 变式 5-1 　 D 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ AD=CD,∠ADC= 90°,∵ DC = DE,∴ AD = DE,∠DEC = ∠DCE= 180°-∠CDE 2 ,∴ △DAE 为等腰三角形,∴ ∠DAE = ∠DEA, ∵ ∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90° + ∠CDE, ∴ ∠DEA= 180°-∠ADE 2 = 45° - ∠CDE 2 , ∴ ∠AEC = ∠DEC - ∠DEA= 180°-∠CDE 2 -(45°- ∠CDE 2 )= 45°. 变式 5-2 　 D　 【解析】∵ 菱形 ABCD 中,AB = BC,∠B = 60°,∴ △ABC 是等边三角形,∵ AC= 10 cm,∴ BC = 10 cm, 如解图,过点 E 作 EH⊥BC,交 BC 的延长线于点 H,∵ △DCE 是等边三角形,∴ ∠DCE = 60°,∴ ∠ECH = 30°,∴ EH= 1 2 CE = 5 cm,∴ S△BCE = 1 2 BC·EH = 1 2 × 10 × 5 = 25 (cm2 ) . 变式 5-2 题解图 6. 1 2 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠DAC= 45°,AD =BC,∵ ∠FEO = 45°,∴ ∠FEO = ∠DAC,∴ EF∥AD,∵ 点 E 是 OA 的中点,∴ EF 是△AOD 的中位线,∴ EF = 1 2 AD, ∴ EF= 1 2 BC,即 EF BC = 1 2 . 7. B　 8. C 9. D　 【解析】如解图,AB = 22 +22 = 2 2 ,BC = 22 +22 = 2 2 ,CD= 22 +22 = 2 2 ,AD = 22 +22 = 2 2 ,且∠BAD = ∠ADC= ∠DCB= ∠ABC= 90°,故甲、乙都正确. 第 9 题解图 　 第 11 题解图 10. D 11. A　 【解析】如解图,作 AF⊥l3 于 F,交 l2 于 E,易得 BE = AF=a+b,则 S正方形ABCD =AE2 +BE2 =a2 +(a+b) 2 ,由 3 2 a+b = 1,得 S正方形ABCD = a2 +(a+b) 2 = a2 +(a+ 1- 3 2 a) 2 = 5 4 ( a- 2 5 ) 2 + 4 5 ,由 a>0,b= 1- 3 2 a>0,得 0<a< 2 3 ,故当 a = 2 5 时,S正方形ABCD 取得最小值 4 5 . 12. (1) 2 2 ;(2) 2 + 1 2 　 【解析】(1)如解图①,连接 OB,OC. 由题意 OC⊥直线 l,∵ BC = 1,△OBC 是等腰直角三角 形,∴ OB = OC = 2 2 ;(2) 如解图②,连接 EF,AC 交于点 H,延长 AC 交直线 l 于点 J. 由题意△EFC 是等腰直角三 角形,EF= 1,∵ CH⊥EF,∴ EH = FH = CH = 1 2 ,∵ HJ = 1, ∴ CJ= 1- 1 2 = 1 2 ,∵ AC = 2 ,∴ AJ = 2 + 1 2 ,∴ 点 A 到直 线 l 的距离为 2 + 1 2 . 图① 　 　 图② 第 12 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92