5.3 矩形的性质与判定-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河北数学 　 第 五 章 四 边 形 命题点 3　 矩形的性质与判定(必考) 考向 1　 矩形的性质 1. [2024 成都]如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,则下列结论一定正确的是 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 1 题图 A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠ACB= ∠ACD 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 全角度考法探究 拓展设问 若∠ADB = 32°,则∠AOB 的度数 为 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 32° B. 48° C. 64° D. 96° 变式 1-1 如图,矩形 ABCD 的顶点 B,D 在 数轴上,且 B 点表示的数为-3,D 点表示的 数为 4,则 AC 的长为 (　 B　 ) A. 12 B. 7 C. 6 D. 1 变式 1-1 题图 　 变式 1-2 题图 变式 1-2 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于点 O,CE∥BD,DE∥AC,若 AB= 6, AD= 8,则四边形 OCED 的周长是 (　 B　 ) A. 10 B. 20 C. 28 D. 30 2. 如图,矩形 ABCD 和矩形 BDEF,点 A 在 EF 边 上,设矩形 ABCD 和矩形 BDEF 的面积分别为 S1,S2,则 S1 与 S2 的大小关系为 (　 A　 ) A. S1 =S2 B. S1 >S2 C. S1 <S2 D. 3S1 = 2S2 3. 如图,已知在矩形 ABCD 中,R,P 分别是 DC, BC 上的点,E,F 分别是 AP,RP 的中点,当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时,下列结论 成立的是 (　 C　 ) A. 线段 EF 的长逐渐增大 B. 线段 EF 的长逐渐减小 C. 线段 EF 的长不改变 D. 线段 EF 的长先增大后减小 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 4. 如图,已知∠MON,点 A 在 OM 边上,点 B 在 ON 边上,且 OA = OB,点 E 在 OB 边上,嘉嘉, 淇淇分别在图①,图②中作了矩形 AEBF,平行 四边形 AEBF,并连接了对角线,两条对角线交 于点 C,嘉嘉,淇淇都认为射线 OC 是∠MON 的平分线,你认为说法正确的是 (　 A　 ) 图① 　 　 图② 第 4 题图 A. 嘉嘉,淇淇都对 B. 嘉嘉,淇淇都错 C. 嘉嘉错误,淇淇正确 D. 嘉嘉正确,淇淇错误 5. [2017 河北 18 题 3 分]如图,依据尺规作图的痕 迹,计算∠α= 　 56　 °. 第 5 题图 　 变式题图 变式 如图,在矩形 ABCD中,AB=8,AD= 6,EF 是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 09 分层作业本·河北数学 　 第 五 章 四 边 形 对角线 BD的垂直平分线,则 EF 的长为(　 C　 ) A. 15 4 B. 15 3 C. 15 2 D. 8 考向 2　 矩形的判定 6. [名师原创]依据所标数据,下列四边形不一定 为矩形的是 (　 A　 ) 7. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于 点 O,对于下列条件: ①∠1+∠3 = 90°; ②BC2 +CD2 =AC2; ③∠1 = ∠2; ④AC⊥BD. 能判定四边形 ABCD为矩形的个数是 (　 C　 ) 第 7 题图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. [名师原创]如图,在矩形 ABCD 中,AB=a,BC = b (a,b 为正整数,且 a>b),两个矩形的对应边 的间距都等于 1,且小矩形的面积是大矩形 ABCD 面积的一半,则 a 的值为 (　 C　 ) 第 8 题图 A. 12 B. 8 C. 12 或 8 D. 12 或 8 或 6 9. [2024 遂宁]康康在学习了矩形定义及判定定理 1 后,继续探究其他判定定理. (1)实践与操作 ①如图①,任意作两条相交的直线,交点 记为 O; ②以点 O 为圆心,适当长为半径画弧,在两 条直线上分别截取相等的四条线段 OA, OB,OC,OD; ③顺次连接所得的四点得到四边形 ABCD. 于是可以直接判定四边形 ABCD 是平行四 边形,则该判定定理是:　 对角线互相平分 的四边形是平行四边形　 . (2)猜想与证明 通过和同伴交流,他们一致认为四边形 ABCD 是矩形,于是猜想得到了矩形的另 外一种判定方法:对角线相等的平行四边 形是矩形. 并写出了以下已知、求证,请你 完成证明过程. 已知:如图②,四边形 ABCD 是平行四边 形,AC=BD. 求证:四边形 ABCD 是矩形. 图① 　 图② 第 9 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠BAD= 90°, ∵ EF⊥AB, ∴ GH∥AD, ∵ GH=AD, ∴ 四边形 AGHD 是平行四边形; (3)解:S2 = 2S1 . 【解法提示】如解图,设 EF 与 AB 交于 M,则易知 AM = 1 2 AB,∵ S2 = AD·AB,S1 = AD·AM = AD · 1 2 AB= 1 2 AD·AB,∴ S2 = 2S1 . 19. (1)证明:∵ AD∥BC,∠A= ∠C, ∴ ∠A= ∠CBE= ∠C, ∴ AB∥CD, ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形; (2)解:t 的值为 5 3 或 5. 【解法提示】∵ ∠ADB = 90°,AD = 6 cm,BD= 8 cm,∴ AB= 62 +82 = 10(cm),∵ 四边形 AB- CD 是平行四边形,∴ CD = AB = 10 cm,AD = BC = 6 cm,由 题意可知,AP= 4t,CQ = 2t,①当点 P 在线段 BA 上时,此 时 0<t≤2. 5,BP = AB-AP = 10- 4t,∵ 四边形 PBCQ 是平 行四边形,∴ PB=CQ,∴ 10-4t = 2t,解得 t = 5 3 ;②当点 P 在线段 AB 的延长线上时,此时 2. 5< t≤5,BP = AP-AB = 4t-10,∵ 四边形 BPCQ 是平行四边形,∴ BP = CQ,∴ 4t- 10 = 2t,解得 t= 5,综上可知,当 t 的值为 5 3 或 5 时,以 P, B,C,Q 为顶点的四边形为平行四边形. 命题点 3　 矩形的性质与判定 1. C　 拓展设问 　 C　 变式 1-1 　 B 变式 1-2 　 B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形,AB = 6, AD= 8,∴ OA = OB = OC = OD = 1 2 AC = 1 2 × 62 +82 = 1 2 × 10 = 5,∵ CE∥BD,DE∥AC,∴ 四边形 DECO 为平行四边 形,∵ OD=OC,∴ 四边形 DECO 为菱形,∴ OD =DE = EC = OC= 5,则四边形 OCED 的周长为 5+5+5+5 = 20. 2. A　 【解析】∵ 矩形 ABCD 的面积 S1 = 2S△ABD,S△ABD = 1 2 S2 , ∴ S1 =S2 . 3. C　 【解析】如解图,连接 AR. ∵ E,F 分别是 AP,RP 的中 点,∴ EF 为△APR 的中位线,∴ EF= 1 2 AR,为定值. 第 3 题解图 4. A　 【解析】 由平行四边形和矩形性质可知 AC = BC, ∵ OA=OB,OC = OC,∴ 两个图形中都有△AOC≌△BOC, ∴ ∠AOC = ∠BOC,∴ 射线 OC 是∠MON 的平分线,∴ 嘉 嘉,淇淇都对. 5. 56 变式 　 C　 【解析】 ∵ EF 是 BD 的垂直平分线,∴ OB = OD, ∵ ∠OBF = ∠ODE, ∠BOF = ∠DOE, ∴ △BOF ≌ △DOE, 则 OE = OF, ∵ ∠OBF = ∠ABD, ∴ △BOF ∽ △BAD,∴ FO BO = AD AB ,∵ BD = AD2 +AB2 = 10,∴ BO = 5,∴ FO= 5× 6 8 = 15 4 ,∴ EF= 2FO= 15 2 . 6. A　 7. C 8. C　 【解析】根据题意得 1 2 ab= (a-2)(b-2),即 ab-4a = 4b -8,∴ (b-4)a= 4b-8,解得 a= 4b-8 b-4 = 4(b -4) +8 b-4 = 4+ 8 b-4 , ∵ a,b 为正整数,∴ b-4 = 1 或 2 或 4 或 8,∵ a>b,∴ 当 b-4 = 1 时,a= 12,b = 5;当 b- 4 = 2 时,a = 8,b = 6;当 b- 4 = 4 时,a= 6,b= 8(舍去);当 b-4 = 8 时,a= 5,b= 12(舍去) . ∴ a 的值为 12 或 8. 9. (1)解:对角线互相平分的四边形是平行四边形; (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC, 在△BAD 和△ABC 中, AB=BA, AD=BC, BD=AC, { ∴ △BAD≌△ABC(SSS), ∴ ∠BAD= ∠ABC, ∵ AD∥BC, ∴ ∠BAD+∠ABC= 180°, ∴ ∠BAD= ∠ABC= 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是 矩形) . 命题点 4　 菱形的性质与判定 1. D　 2. D　 3. B　 4. B 变式 　 C　 【解析】由题图②知,四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠B = 90°,∵ AC = 20 2 ,∴ AB = BC = 20,如解 图,在题图①的基础上连接 AC,BD,交点为 O,∵ ∠ABC = 60°,BA=BC,∴ △ABC 是等边三角形,∴ AC=AB= 20,∵ 菱 形 ABCD, ∴ AC ⊥ BD, OA = OC = 1 2 AC = 10, OB = OD, ∴ OB= AB2 -AO2 = 202 -102 = 10 3 , ∴ BD = 2OB = 20 3 . 变式题解图 5. C　 【解析】如解图,连接 BD,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD∥EB,AC⊥BD,BC= AD = 2,∵ AE⊥AC,∴ AE∥DB,∴ 四 边形 ADBE 是平行四边形,∴ EB=AD = 2,∴ CE =EB+BC = 2+2 = 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72