5.2 平行四边形的性质与判定-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河北数学 　 第 五 章 四 边 形 命题点 2　 平行四边形的性质与判定(必考) 考向 1　 平行四边形的性质 1. [冀教八下 P117 图 22-1-1 改编]如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,下列结论正确 的是 (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 1 题图 A. AB=AD B. ∠CDB= ∠CBD C. AC=BD D. ∠CDB= ∠ABD 2. [2024 承德模拟]如图,在▱ABCD 中,BD 为对角 线,下列结论正确的是 (　 B　 ) 第 2 题图 A. ∠α= ∠β B. ∠α+∠β= ∠γ C. ∠α+∠β>∠γ D. ∠α+∠β<∠γ 3. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别是 AB,AO 的中点,连接 EF,若 EF= 3,则 BD 的长为 (　 C　 ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 拓展设问 若 S△AEF = 2,则 S▱ABCD 为　 32　 . 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 学科融合 “力的合成” 遵循平行四边形法则, 即 F1 和 F2 的合力是以这两个力为邻边构成 的平行四边形的对角线所表示的力 F. 如图, 设两个共点力的合力为 F,现保持两力的夹角 θ(0°<θ<90°)不变,若其中一个力减小,另一个 力不变,则 (　 D　 ) A. 合力 F 一定增大 B. 合力 F 的大小可能不变 C. 合力 F 可能增大,也可能减小 D. 合力 F 一定减小 5. [名师原创]在证明命题“平行四边形的对边相 等”时,根据命题写出已知,求证. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋已知:四边形 ABCD 是平行四边形. 求证:AB=CD. 三位同学分别给出如下三种证明: 甲:如图①,连接 BD. ∵ 四边形 ABCD 是平行 四边 形, ∴ AD∥BC, AB∥CD, ∴ ∠ADB = ∠CBD,∠ABD= ∠CDB. 又∵ BD=DB, ∴ △ADB≌△CBD(ASA),∴ AB=CD. 乙:如图②,过点 A 作 AF⊥BC,交 CB 的延长 线于点 F,过点 D 作 DG ⊥ BC 于点 G,则 ∠AFB= ∠DGC = 90°. ∵ 四边形 ABCD 是平 行四边形,∴ AD∥BC,AB∥DC,∴ AF = DG, ∠ABF = ∠DCG,∴ △AFB≌ △DGC (AAS), ∴ AB=CD. 丙:如图③,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD(平行四边形对边相等) . 关于这三位同学的证明过程,判断正确的是 (　 A　 ) 图① 　 图② 图③ 第 5 题图 A. 甲、乙对,丙错 B. 甲、丙对,乙错 C. 乙、丙对,甲错 D. 甲、乙、丙都对 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 68 分层作业本·河北数学 　 第 五 章 四 边 形 6. [2023 秦皇岛海港区一模]如图,在▱ABCD 中, AD= 5,AB= 3,AE 平分∠BAD 交 BC 边于点 E, 则线段 BE,EC 的长度分别为 (　 D　 ) A. 1 和 4 B. 4 和 1 C. 2 和 3 D. 3 和 2 第 6 题图 变式题图 变式 如图,在▱ABCD 中,AB = 3,AD = 5,AE 平 分∠BAD,交 BC 于点 F,交 DC 的延长线于点 E,则AE EF 的值为 (　 B　 ) A. 5 3 B. 5 2 C. 3 2 D. 2 7. [经典好题]如图,点 P 在▱ABCD 的内部,记 △PAD,△PAB,△PCB,△PCD 的面积分别为 S1,S2,S3,S4 . 三个人根据图中 P 点的位置分别 给出了如下结论: 图① 　 图② 　 图③ 第 7 题图 甲:如图①,当点 P 在▱ABCD 内的任意位置 时,有 S1 +S3 =S2 +S4; 乙:如图②,当点 P 在▱ABCD 的对角线 AC 上 时,有 S1 -S3 =S2 -S4; 丙:如图③,当点 P 在▱ABCD 内的任意位置 时,若 S1 = 5,S2 = 3,则 S△PAC = 2. 下列判断正确的是 (　 C　 ) A. 只有甲对 B. 只有甲和乙对 C. 甲、乙、丙都对 D. 甲、乙、丙都不对 第 8 题图 8. [名师原创]如图,将 平行 四 边 形 ABCD 沿折痕 EF 折叠,使 点 D 与点 B 重合,若 ∠A= 120°,BC = 2AB = 8,则: (1)▱ABCD 的面积为　 16 3 　 ; (2)△ABE 的周长为　 12　 ; (3) 若 BF 平分∠EBD1,则折痕与边的夹角 ∠DEF= 　 75　 °. 考向 2　 平行四边形的判定 9. [2022 河北 8 题改编]如图四边形中分别标注了 部分数据,根据所标数据,不能判断该四边形 是平行四边形的是 (　 C　 ) 10. 如图,以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四 边形,则点 D 的位置可以在 (　 B　 ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,甲、乙二人给出了条件来证明四边形 ABCD 为平行四边形, 甲:AB∥CD,AD=BC; 乙:∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D= 1 ∶2 ∶1 ∶2 下列判断正确的是 (　 B　 ) A. 甲可以,乙不可以 B. 甲不可以,乙可以 C. 两人都可以 D. 两人都不可以 12. [2024 河北 10 题 2 分]下面是嘉嘉作业本上的 一道习题及解答过程: 已知:如 图, △ABC 中, AB = AC, AE 平 分 △ABC 的外角∠CAN,点 M 是 AC 的中点, 连接 BM 并延长交 AE 于点 D,连接 CD. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 78 分层作业本·河北数学 　 第 五 章 四 边 形 第 12 题图 ∵ ∠CAN = ∠ABC+ ∠3,∠CAN = ∠1 + ∠2, ∠1 = ∠2, ∴ ①　 　 　 　 . 又 ∵ ∠4 = ∠5, MA =MC, ∴ △MAD ≌ △MCB (②　 　 　 　 ) . ∴ MD=MB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 若以上解答过程正确,①,②应分别为 (　 D　 ) A. ∠1 = ∠3,AAS B. ∠1 = ∠3,ASA C. ∠2 = ∠3,AAS D. ∠2 = ∠3,ASA 13. [2023 河北 8 题 2 分]综合实践课上,嘉嘉画出 △ABD,利用尺规作图找一点 C,使得四边形 ABCD 为平行四边形. 图① ~ 图③是其作图 过程. 图① 　 图② 图③ 第 13 题图 在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形 ABCD 为平行四边形的条件是 (　 C　 ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 14. [名师原创]如图,将等腰三角形纸片 ABC 沿底 边 BC 上的高 AD 剪成两个三角形,用这两个 三角形拼接平行四边形. 第 14 题图 (1)可以拼接成　 3　 个不同的平行四边形; (2)根据图中数据,拼接成的平行四边形中对角 线最短为　 2　 ,最长为　 2 17　 . 15. 将 6 张宽为 1 的小长方形如图摆放在平行四 边形 ABCD 中,则平行四边形 ABCD 的周长为 (　 D　 ) 第 15 题图 A. 8+4 2 B. 16+4 2 C. 8+8 2 D. 16+8 2 16. [经典好题]如图,已知点 P 为平行四边形 AB- CD 内一点,现有如下结论: 结论Ⅰ:只要点 P 在平行四边形 ABCD 内部, ∠P= ∠PCD+∠PBA; 结论Ⅱ:若 CP,BP 恰好是∠BCD,∠ABC 的平 分线,则∠P= 90°; 结论Ⅲ:若∠P = 90°,则 CP,BP 必是∠BCD, ∠ABC 的平分线. 下列判断正确的是 (　 B　 ) 第 16 题图 A. Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B. 只有Ⅰ、Ⅱ对 C. 只有Ⅰ、Ⅲ对 D. 只有Ⅱ、Ⅲ对 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 88 分层作业本·河北数学 　 第 五 章 四 边 形 17. [经典好题]有一题目:“用三个等腰三角形(图 中① ② ③) 拼成一个平行四边形 ABCD,且 ∠D>90°>∠C,求∠C 的大小. ”嘉嘉认为∠C 只能是 72°;淇淇认为嘉嘉说的不对,∠C 还 应有另一个不同的值. 下列判断正确的是 (　 C　 ) 第 17 题图 A. 嘉嘉说的对,∠C 只能是 72° B. 淇淇说的对,∠C 还可以是 50° C. 嘉嘉说的不对,∠C 还可以是360° 7 D. 两人说的都不对,∠C 应有 3 个不同的值 18. 如图是嘉淇设计的“利用已知矩形作一个内 角为 30°角的平行四边形”的尺规作图过程. 第 18 题图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋已知:矩形 ABCD. 求作:▱AGHD,使∠GAD= 30°. 作法:如图, ①分别以点 A,B 为圆心,以大于 1 2 AB 长为 半径,在 AB 两侧作弧,分别交于点 E,F; ②作直线 EF; ③以点 A 为圆心,AB 长为半径作弧,交直线 EF 于点 G,连接 AG; ④以点 G 为圆心,AD 长为半径作弧,交直线 EF 于点 H,连接 DH. 则四边形 AGHD 即为所求作的平行四边形. 根据嘉淇设计的尺规作图过程,解答下列 问题: (1)∠BAG 的大小为　 60°　 ; (2)证明:四边形 AGHD 是平行四边形; (3)平行四边形 AGHD 的面积 S1 和矩形 AB- CD 的面积 S2 的数量关系为　 S2 =2S1 　 . (2)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BAD=90°, ∵EF⊥AB, ∴GH∥AD, ∵GH=AD, ∴四边形 AGHD 是平行四边形; 19. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠A = ∠C, 连接 BD,∠ADB = 90°,AD = 6 cm,BD = 8 cm, 动点 P 从点 A 出发,沿射线 AE 方向匀速运 动,同时动点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 匀速 运动,当运动到点 D 时停止运动,设运动的时 间为 t s. (1)求证:四边形 ABCD 为平行四边形; (2)若点 P 的运动速度为 4 cm / s,点 Q 的运 动速度为 2 cm / s,当运动到以 P,B,C,Q 为顶点的四边形为平行四边形时,直接 ∙∙ 写 出 t 的值. 第 19 题图 　 备用图 (1)证明:∵AD∥BC,∠A=∠C, ∴∠A=∠CBE=∠C,∴AB∥CD, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; (2)解:t 的值为 5 3 秒或 5 秒. 【解法提示】∵ ∠ADB =90°,AD = 6 cm,BD = 8 cm,∴ AB = 62+82 = 10 cm,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD =AB = 10 cm,AD=BC = 6 cm,由题意可知,AP = 4t,CQ = 2t, ①当点 P 在线段 BA 上时,此时 0<t≤2. 5,BP=AB- AP=10-4t,∵四边形 PBCQ 是平行四边形,∴ PB = CQ,∴10-4t = 2t,解得 t = 5 3 ;②当点 P 在线段 AB 的延长线上时,此时 2. 5<t≤5,BP =AP-AB = 4t- 10,∵四边形 BPCQ 是平行四边形,∴BP =CQ,∴4t -10= 2t,解得 t = 5,综上可知,当 t 的值为 5 3 秒或 5 秒时,以 P,B,C,Q 为顶点的四边形为平行四边形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 98 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 形边长是 2,可得 AB = 4,又∵ ∠CAD = 30°,AD = 2,∴ AC = 3 , ∴ m=CB=AB-AC= 4- 3 ≈2. 3,∴ m 的值可能落在数 轴上的段②. 第 8 题解图 　 　 第 9 题解图 9. D　 【解析】如解图,设左边正六边形的中心为 C,连接 CD,AB,∴ ∠BCD= 360° 6 = 60°,CB = CD = 2,∴ △BCD 是等 边三角形,∴ ∠CDB= 60°,∵ 正六边形的一个内角度数为 180°×(6-2) 6 = 120°,∴ ∠ADB = 360° - 120° - 120° = 120°, ∴ ∠CDB+∠ADB= 180°,∴ A,C,D 三点共线,∵ AD = BD, ∴ ∠DAB= ∠DBA= 180°-∠ADB 2 = 30°,∴ ∠ABC = ∠CBD+ ∠ABD= 60°+30° = 90°,∴ AB= 3BC = 2 3 ,又∵ OB =OC+ BC= 4,∴ A(2 3 ,4) . 10. (1)2 3 ;(2) 13 + 1　 【解析】 ( 1) 如解图,连接 AD 交 MN 于点 O,由对称性可知,点 O 即为圆心,连接 AE,则 AE 过点 N,且 AE⊥DE,过点 P 作 PQ⊥AE,垂足为 Q,在 Rt△APQ 中,∠APQ = 120° 2 = 60°,AP = a,∴ AQ = 3 2 AP = 3 2 a,∴ AE= 4AQ= 2 3 a,在 Rt△ADE 中,tan∠ADE= AE DE = 2 3 a a = 2 3 ;(2)如解图,在 Rt△AON 中,AN = 3 a,ON = 1 2 a,∴ OA= AN2 +ON2 = 13 2 a,∵ OC =OM+MC = 1 2 a+ 2b,∵ OA=OC,∴ 13 2 a = 1 2 a+ 2b,即 13 2 a = 1 2 a+ 6,解 得 a= 13 +1. 第 10 题解图 11. D　 【解析】由题可得六边形 GHIJKL 的两种情况如解图 ①,②,由解图②可知当 G,H 向 B,E 两点运动时,GH 增 大,但取不到 8,故 GH 不存在最大值. 图① 　 图② 第 11 题解图 12. (1)30;(2)2 3 　 【解析】(1)如解图①,根据中间正六边 形的一边与直线 l 平行及多边形外角和,得∠ACB = 60°, ∠BAC= ∠α= 90°-60° = 30°; 第 12 题解图① (2)取中间正六边形的中心为点 O,作图如解图②, 第 12 题解图② 由题意得 AG∥BF,AB∥GF,BF⊥AB,∴ 四边形 ABFG 为矩 形,∴ AB = GF,∵ ∠BAC = ∠FGH,∠ABC = ∠GFH = 90°, ∴ △ABC≌△GFH(ASA),∴ BC=FH,在 Rt△PDE 中,DE = 1,PE= 3 ,由解图②知 AG = BF = 2PE = 2 3 ,由正六边 形的 结 构 特 征 知, OM = 1 2 × 2 3 = 3 , ∵ BC = 1 2 (BF-CH)= 3 -1,∴ AB= BC tan∠BAC = 3 -1 3 3 = 3- 3 ,∴ BD= 2-AB= 3 -1,∴ BE=BD+DE= 3 ,∴ ON=OM+MN = OM+BE= 2 3 . 变式 　 (1)4;(2)45°　 【解析】(1)如解图①,由正六边 形的性质得∠CAE = 360° 6 = 60°,AD = AE,AB = 2AD,在 Rt△ACE 中,∠CAE= 60°,∴ ∠AEC = 30°,∴ AC = 1 2 AE = 1 2 AD,∵ AD+AC=CD,CD= 3,∴ AD+ 1 2 AD = 3,解得 AD = 2,∴ AB= 2AD= 4;(2)如解图②,延长 MN,PQ 交于点 O, 过点 O 作直线 m∥l,则 m⊥CD,m⊥BF,由正六边形的性 质得∠ONQ= ∠OQN = 360° 6 = 60°,∴ △ONQ 是等边三角 形,∴ ∠NOQ = 60°,∵ ∠1 = 15°,∴ ∠3 = 90° - 15° = 75°, ∴ ∠4 = 180°-75°-60° = 45°,∴ ∠2 = 90°-45° = 45°. 图① 图② 变式题解图 命题点 2　 平行四边形的性质与判定 1. D　 2. B 3. C　 【解析】∵ 点 E,F 分别是 AB,AO 的中点,连接 EF,EF = 3,∴ EF 是△OAB 的中位线,则 OB = 2EF = 6,∵ 在▱AB- CD 中,BO=OD,∴ BD= 2OB= 12. 拓展设问 　 32 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 4. D　 【解析】夹角 θ 的范围为 0°<θ<90°,根据平行四边形法 则作图,如解图可以看出,合力一定减小. 第 4 题解图 5. A 6. D　 【解析】∵ AE 平分∠BAD 交 BC 边于点 E,∴ ∠BAE = ∠EAD,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC = 5,∴ ∠DAE= ∠AEB,∴ ∠BAE= ∠AEB,∴ AB =BE = 3,∴ EC=BC-BE= 5-3 = 2. 变式 　 B 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥DE,AD∥BC,∴ ∠BAE = ∠E,∵ AE 平分∠BAD,∴ ∠EAD= ∠BAE,∴ ∠E= ∠EAD,∴ AD=DE= 5,∴ CE=DE- CD= 5-3 = 2,∵ BC∥AD,∴ EF AE =EC DE = 2 5 ,∴ AE EF = 5 2 . 7. C　 【解析】图①中,S1 +S3 =S2 +S4 = 1 2 S▱ABCD,∴ 甲对;图② 中,S1 +S4 =S2 +S3 = 1 2 S▱ABCD,∴ S1 -S3 = S2 -S4 ,∴ 乙对;图 ③中,S△BAC = 1 2 S▱ABCD =S1 +S3 ,S△PAC =S△BAC -(S2 +S3 )= S1 + S3 -(S2 +S3 )= S1 -S2 = 5-3 = 2,∴ 丙对. 8. (1)16 3 ;(2) 12;(3) 75　 【解析】 (2) ∵ BC = 2AB = 8,∴ AB= 4,根据折叠的性质可知,BE =DE,则△ABE 的周长为 AB+AE+BE=AB+AE+DE = AB+AD = 4+8 = 12;(3) ∵ ∠A = 120°,∴ ∠D = ∠EBD1 = 60°, ∵ BF 平分∠EBD1 , ∴ 易得 ∠AEB= ∠EBF= 30°,∴ ∠DEF= (180°-30°) ÷2 = 75°. 9. C　 10. B 11. B　 【解析】AB∥CD,AD=BC,四边形 ABCD 可能是平行四 边形,也可能是等腰梯形,∴ 甲不可以. ∵ ∠A ∶ ∠B ∶ ∠C ∶ ∠D= 1 ∶2 ∶1 ∶2,∴ ∠A = ∠C,∠B = ∠D,符合两组对角分 别相等的四边形是平行四边形的判定定理,∴ 乙可以. 12. D　 【解析】∵ AB=AC,∴ ∠ABC = ∠3,∵ ∠CAN = ∠ABC+ ∠3,∠CAN= ∠1+∠2,∠1 = ∠2,∴ ∠2 = ∠3,又∵ ∠4 = ∠5,MA=MC,∴ △MAD≌△MCB( ASA),∴ MD = MB,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ ①, ② 分别为 ∠2 = ∠3,ASA. 13. C 14. (1)3;(2)2,2 17 　 【解析】有 3 种拼法,如解图①,两条 对角线的长都是 2 5 ;如解图②,两条对角线的长分别为 2 和 2 17 ;如解图③,两条对角线的长分别为 4 和 4 2 . 图① 　 　 　 图② 　 　 图③ 第 14 题解图 15. D　 【解析】如解图,设 AF⊥BC 于 F,过点 C 作 CE⊥AD 于 E,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD,AD=BC, AD∥BC,∴ AF⊥AD,CE⊥BC,∴ 四边形 AFCE 是矩形,∴ AE=CF,∴ DE = BF,由图形可知:AE = CF = AF = CE = 4, DE=BF = 4,∴ △AFB 与△CED 都是直角边为 4 的等腰 直角三角形,∴ AB =CD = 4 2 ,∴ 平行四边形 ABCD 的周 长为 2(AB+BC)= 2×(4 2 +4+4)= 16+8 2 . 第 15 题解图 16. B　 【解析】如解图①,过点 P 作 PF∥AB 交 BC 于点 F,则 PF∥AB∥CD,∴ ∠PCD=∠CPF,∠BPF=∠ABP,∴ ∠BPC= ∠CPF+ ∠BPF = ∠PCD + ∠ABP, Ⅰ 正确; ∵ AB∥CD, ∴ ∠ABC+∠BCD= 180°,∵ CP,BP 恰好是∠BCD,∠ABC 的平分线,∴ ∠PBC+∠PCB = 1 2 (∠ABC+∠BCD)= 90°, ∴ ∠CPB= 90°,Ⅱ正确;如解图②,以 BC 为直径的圆,在 平行四边形 ABCD 内的部分上任意一点,都有∠P = 90°, 显然,CP,BP 不一定是∠BCD,∠ABC 的平分线,Ⅲ错误. 图① 　 图② 第 16 题解图 17. C　 【解析】由题意可知:AD = DE,∴ ∠DAE = ∠DEA,设 ∠DAE = ∠DEA = x, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ CD∥AB,∠C = ∠DAB,∴ ∠DEA = ∠EAB = x,∴ ∠C = ∠DAB= 2x,①当 AE=AB 时,∠ABE= 1 2 (180°-x),若 BE =BC,则有∠BEC= ∠C = ∠ABE,即 2x = 1 2 (180°-x),解 得 x= 36°,∴ ∠C = 72°;若 EC = EB,则有∠EBC = ∠C = 2x,∵ ∠DAB+∠ABC = ∠DAB+ ∠ABE+ ∠EBC = 180°,∴ 4x+ 1 2 (180°-x)= 180°,解得 x= 180° 7 ,∴ ∠C= 360° 7 ;②当 EA = EB 时, 同 理 可 得 ∠C= 72°; ③当 BA=BE 时, ∵ ∠AEB= ∠BAE = x,∴ ∠DEB = 2x,∵ ∠C = 2x,∠DEB = ∠C+ ∠EBC, 这 种 情 形 显 然 不 可 能. 综 上 所 述, ∠C= 72°或 360° 7 . 18. (1)解:60°;【解法提示】如解图,连接 BG,由作图可知 EF 是线段 AB 的垂直平分线,∴ AG=BG,∵ AB=AG,∴ AB =AG=BG,∴ △ABG 是等边三角形,∴ ∠BAG= 60°. 第 18 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠BAD= 90°, ∵ EF⊥AB, ∴ GH∥AD, ∵ GH=AD, ∴ 四边形 AGHD 是平行四边形; (3)解:S2 = 2S1 . 【解法提示】如解图,设 EF 与 AB 交于 M,则易知 AM = 1 2 AB,∵ S2 = AD·AB,S1 = AD·AM = AD · 1 2 AB= 1 2 AD·AB,∴ S2 = 2S1 . 19. (1)证明:∵ AD∥BC,∠A= ∠C, ∴ ∠A= ∠CBE= ∠C, ∴ AB∥CD, ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形; (2)解:t 的值为 5 3 或 5. 【解法提示】∵ ∠ADB = 90°,AD = 6 cm,BD= 8 cm,∴ AB= 62 +82 = 10(cm),∵ 四边形 AB- CD 是平行四边形,∴ CD = AB = 10 cm,AD = BC = 6 cm,由 题意可知,AP= 4t,CQ = 2t,①当点 P 在线段 BA 上时,此 时 0<t≤2. 5,BP = AB-AP = 10- 4t,∵ 四边形 PBCQ 是平 行四边形,∴ PB=CQ,∴ 10-4t = 2t,解得 t = 5 3 ;②当点 P 在线段 AB 的延长线上时,此时 2. 5< t≤5,BP = AP-AB = 4t-10,∵ 四边形 BPCQ 是平行四边形,∴ BP = CQ,∴ 4t- 10 = 2t,解得 t= 5,综上可知,当 t 的值为 5 3 或 5 时,以 P, B,C,Q 为顶点的四边形为平行四边形. 命题点 3　 矩形的性质与判定 1. C　 拓展设问 　 C　 变式 1-1 　 B 变式 1-2 　 B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形,AB = 6, AD= 8,∴ OA = OB = OC = OD = 1 2 AC = 1 2 × 62 +82 = 1 2 × 10 = 5,∵ CE∥BD,DE∥AC,∴ 四边形 DECO 为平行四边 形,∵ OD=OC,∴ 四边形 DECO 为菱形,∴ OD =DE = EC = OC= 5,则四边形 OCED 的周长为 5+5+5+5 = 20. 2. A　 【解析】∵ 矩形 ABCD 的面积 S1 = 2S△ABD,S△ABD = 1 2 S2 , ∴ S1 =S2 . 3. C　 【解析】如解图,连接 AR. ∵ E,F 分别是 AP,RP 的中 点,∴ EF 为△APR 的中位线,∴ EF= 1 2 AR,为定值. 第 3 题解图 4. A　 【解析】 由平行四边形和矩形性质可知 AC = BC, ∵ OA=OB,OC = OC,∴ 两个图形中都有△AOC≌△BOC, ∴ ∠AOC = ∠BOC,∴ 射线 OC 是∠MON 的平分线,∴ 嘉 嘉,淇淇都对. 5. 56 变式 　 C　 【解析】 ∵ EF 是 BD 的垂直平分线,∴ OB = OD, ∵ ∠OBF = ∠ODE, ∠BOF = ∠DOE, ∴ △BOF ≌ △DOE, 则 OE = OF, ∵ ∠OBF = ∠ABD, ∴ △BOF ∽ △BAD,∴ FO BO = AD AB ,∵ BD = AD2 +AB2 = 10,∴ BO = 5,∴ FO= 5× 6 8 = 15 4 ,∴ EF= 2FO= 15 2 . 6. A　 7. C 8. C　 【解析】根据题意得 1 2 ab= (a-2)(b-2),即 ab-4a = 4b -8,∴ (b-4)a= 4b-8,解得 a= 4b-8 b-4 = 4(b -4) +8 b-4 = 4+ 8 b-4 , ∵ a,b 为正整数,∴ b-4 = 1 或 2 或 4 或 8,∵ a>b,∴ 当 b-4 = 1 时,a= 12,b = 5;当 b- 4 = 2 时,a = 8,b = 6;当 b- 4 = 4 时,a= 6,b= 8(舍去);当 b-4 = 8 时,a= 5,b= 12(舍去) . ∴ a 的值为 12 或 8. 9. (1)解:对角线互相平分的四边形是平行四边形; (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC, 在△BAD 和△ABC 中, AB=BA, AD=BC, BD=AC, { ∴ △BAD≌△ABC(SSS), ∴ ∠BAD= ∠ABC, ∵ AD∥BC, ∴ ∠BAD+∠ABC= 180°, ∴ ∠BAD= ∠ABC= 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是 矩形) . 命题点 4　 菱形的性质与判定 1. D　 2. D　 3. B　 4. B 变式 　 C　 【解析】由题图②知,四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠B = 90°,∵ AC = 20 2 ,∴ AB = BC = 20,如解 图,在题图①的基础上连接 AC,BD,交点为 O,∵ ∠ABC = 60°,BA=BC,∴ △ABC 是等边三角形,∴ AC=AB= 20,∵ 菱 形 ABCD, ∴ AC ⊥ BD, OA = OC = 1 2 AC = 10, OB = OD, ∴ OB= AB2 -AO2 = 202 -102 = 10 3 , ∴ BD = 2OB = 20 3 . 变式题解图 5. C　 【解析】如解图,连接 BD,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD∥EB,AC⊥BD,BC= AD = 2,∵ AE⊥AC,∴ AE∥DB,∴ 四 边形 ADBE 是平行四边形,∴ EB=AD = 2,∴ CE =EB+BC = 2+2 = 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72