5.1 多边形的性质与计算-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 ∴ DN=DE+EN= ( 1 2 +3 5 5 )m, ∴ DN 的长为( 1 2 +3 5 5 )m. ★综合与实践四　 测量两点距离 1.解:(1)如解图,过点 B 作 BH⊥AP 于点 H, 第 1 题解图 ∵ AB = 60 米,∠PAB = 79°,sin79°≈0. 98, cos79°≈0. 19, ∴ AH=AB·cos 79°≈60×0. 19 = 11. 4(米), BH=AB·sin79°≈60×0. 98 = 58. 8(米), ∵ ∠PAB= 79°,∠PBA= 64°, ∴ ∠APB= 180°-79°-64° = 37°, ∴ tan∠APB= tan37° = BH PH ≈0. 75, ∴ PH≈ 58. 8 0. 75 = 78. 4(米), ∴ AP=AH+PH= 11. 4+78. 4 = 89. 8(米), 即 A,P 两点间的距离约为 89. 8 米; (2)②; ★综合与实践五　 测量旗杆高度 1. (3)①35°; ②∵ BC= 16. 8 m,AB= 1. 6 m, ∴ AE= 16. 8 m,CE= 1. 6 m. 在 Rt△ADE 中,tanα= DE AE , ∴ DE=AE·tanα≈16. 8×0. 7 = 11. 76(m), ∴ CD=CE+DE≈13. 4 m. 即旗杆的高度 CD 约为 13. 4 m; ③∵ 只有含 30°角的三角板和含 45°角的三角板,而 B 点 的仰角为 35°, ∴ 三角板测不出仰角 α 的度数; 如解图,在 AE 上作 EF=DE,连接 DF,则△DEF 为等腰直 角三角形,∠DFE= 45°, ∴ DE=EF= 11. 8 m, ∵ AE= 16. 8 m, ∴ AF=AE-EF= 5 m, ∴ 向右走 5 m,用含 45°角的直角三角板测量即可(答案不 唯一,向左走用含 30°角的三角板测量也可以) . 第 1 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第五章　 四边形 命题点 1　 多边形的性质与计算 1. D 2. A 拓展设问 (1)否;(2)增加,180;(3)减少;(4) 240　 【解 析】(1)任意多边形的外角和是 360°,故填否;(2)根据多 边形内角和定理(5-2) ×180°-(4- 2) × 180° = 180°,∴ 四 边形 BCDE 剪掉一个角得到五边形内角和增加了 180°; (3)由三角形三边关系可知周长减少;(4)如解图,∵ ∠1 = ∠4+∠B,∠2 = ∠3+∠B,∴ ∠1+ ∠2 = ∠3 + ∠4 + ∠B+ ∠B= 180°+∠B= 180°+60° = 240°. 第 2 题解图 3. B　 【解析】解法 1:正六边形每个内角为 (6-2) ×180° 6 = 120°,∵ ∠AMN = α,∠FNM = β,∴ α+β+∠AFN+∠FAM = 360°,∴ α + β = 360° - ( ∠AFN + ∠FAM) = 360° - 240° = 120°. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋解法 2 思路提示:可以将 α,β 转化到六边形 MBCDEN 中 根据六边形内角和求出 α+β 的关系. 4. B　 【解析】如解图,延长边 a,b,相交于点 M, ∵ a⊥ b, ∴ ∠M= 90°,∴ ∠BAM+∠ABM = 90°,∵ 该纸片是正 n 边 形纸片,∴ ∠BAM= ∠ABM= 45°,∴ n= 360° 45° = 8. 第 4 题解图 变式 　 A　 【解析】∵ 四边形 BCMN 是正方形,∴ ∠NBC = 90°,∵ ∠ABN= 120°,∴ ∠ABC = 360°-90°-120° = 150°, ∴ 正 n 边形的一个外角为 180° - 150° = 30°,∴ n 的值为 360° 30° = 12. 5. B　 【解析】如解图,连接 BE,由正六边形的性质得 BE = 2CD,AF∥BE∥CD,AF,BE 之间的距离与 CD,BE 之间的距 离相等,设为 h,∵ S△CDE = 1 2 CD·h = 2,∴ CD·h = 4,∴ S△BCE = 1 2 BE·h= 1 2 ×2CD·h=CD·h= 4,S△BPE = 1 2 BE· h= 1 2 ×2CD·h=CD·h = 4,∴ S四边形BCEP = S△BCE +S△BPE = 4+ 4 = 8. 第 5 题解图 6. A　 7. C 8. B　 【解析】如解图,过点 D 作 DC⊥AB 于点 C,由正六边 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 形边长是 2,可得 AB = 4,又∵ ∠CAD = 30°,AD = 2,∴ AC = 3 , ∴ m=CB=AB-AC= 4- 3 ≈2. 3,∴ m 的值可能落在数 轴上的段②. 第 8 题解图 　 　 第 9 题解图 9. D　 【解析】如解图,设左边正六边形的中心为 C,连接 CD,AB,∴ ∠BCD= 360° 6 = 60°,CB = CD = 2,∴ △BCD 是等 边三角形,∴ ∠CDB= 60°,∵ 正六边形的一个内角度数为 180°×(6-2) 6 = 120°,∴ ∠ADB = 360° - 120° - 120° = 120°, ∴ ∠CDB+∠ADB= 180°,∴ A,C,D 三点共线,∵ AD = BD, ∴ ∠DAB= ∠DBA= 180°-∠ADB 2 = 30°,∴ ∠ABC = ∠CBD+ ∠ABD= 60°+30° = 90°,∴ AB= 3BC = 2 3 ,又∵ OB =OC+ BC= 4,∴ A(2 3 ,4) . 10. (1)2 3 ;(2) 13 + 1　 【解析】 ( 1) 如解图,连接 AD 交 MN 于点 O,由对称性可知,点 O 即为圆心,连接 AE,则 AE 过点 N,且 AE⊥DE,过点 P 作 PQ⊥AE,垂足为 Q,在 Rt△APQ 中,∠APQ = 120° 2 = 60°,AP = a,∴ AQ = 3 2 AP = 3 2 a,∴ AE= 4AQ= 2 3 a,在 Rt△ADE 中,tan∠ADE= AE DE = 2 3 a a = 2 3 ;(2)如解图,在 Rt△AON 中,AN = 3 a,ON = 1 2 a,∴ OA= AN2 +ON2 = 13 2 a,∵ OC =OM+MC = 1 2 a+ 2b,∵ OA=OC,∴ 13 2 a = 1 2 a+ 2b,即 13 2 a = 1 2 a+ 6,解 得 a= 13 +1. 第 10 题解图 11. D　 【解析】由题可得六边形 GHIJKL 的两种情况如解图 ①,②,由解图②可知当 G,H 向 B,E 两点运动时,GH 增 大,但取不到 8,故 GH 不存在最大值. 图① 　 图② 第 11 题解图 12. (1)30;(2)2 3 　 【解析】(1)如解图①,根据中间正六边 形的一边与直线 l 平行及多边形外角和,得∠ACB = 60°, ∠BAC= ∠α= 90°-60° = 30°; 第 12 题解图① (2)取中间正六边形的中心为点 O,作图如解图②, 第 12 题解图② 由题意得 AG∥BF,AB∥GF,BF⊥AB,∴ 四边形 ABFG 为矩 形,∴ AB = GF,∵ ∠BAC = ∠FGH,∠ABC = ∠GFH = 90°, ∴ △ABC≌△GFH(ASA),∴ BC=FH,在 Rt△PDE 中,DE = 1,PE= 3 ,由解图②知 AG = BF = 2PE = 2 3 ,由正六边 形的 结 构 特 征 知, OM = 1 2 × 2 3 = 3 , ∵ BC = 1 2 (BF-CH)= 3 -1,∴ AB= BC tan∠BAC = 3 -1 3 3 = 3- 3 ,∴ BD= 2-AB= 3 -1,∴ BE=BD+DE= 3 ,∴ ON=OM+MN = OM+BE= 2 3 . 变式 　 (1)4;(2)45°　 【解析】(1)如解图①,由正六边 形的性质得∠CAE = 360° 6 = 60°,AD = AE,AB = 2AD,在 Rt△ACE 中,∠CAE= 60°,∴ ∠AEC = 30°,∴ AC = 1 2 AE = 1 2 AD,∵ AD+AC=CD,CD= 3,∴ AD+ 1 2 AD = 3,解得 AD = 2,∴ AB= 2AD= 4;(2)如解图②,延长 MN,PQ 交于点 O, 过点 O 作直线 m∥l,则 m⊥CD,m⊥BF,由正六边形的性 质得∠ONQ= ∠OQN = 360° 6 = 60°,∴ △ONQ 是等边三角 形,∴ ∠NOQ = 60°,∵ ∠1 = 15°,∴ ∠3 = 90° - 15° = 75°, ∴ ∠4 = 180°-75°-60° = 45°,∴ ∠2 = 90°-45° = 45°. 图① 图② 变式题解图 命题点 2　 平行四边形的性质与判定 1. D　 2. B 3. C　 【解析】∵ 点 E,F 分别是 AB,AO 的中点,连接 EF,EF = 3,∴ EF 是△OAB 的中位线,则 OB = 2EF = 6,∵ 在▱AB- CD 中,BO=OD,∴ BD= 2OB= 12. 拓展设问 　 32 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 分层作业本·河北数学 第五章　 四边形 　 第 五 章 四 边 形 命题点 1　 多边形的性质与计算(必考) 考向 1　 多边形的基本性质与计算 1. [2019 河北 1 题 3 分]下列图形为正多边形的是 (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2. [2022 河北 5 题 3 分]如图①,将三角形纸片剪掉 一角得四边形,设△ABC 与四边形BCDE 的外角 和的度数分别为 α,β,则正确的是 (　 A　 ) 第 2 题图 A. α-β= 0 　 　 　 B. α-β<0 C. α-β>0 　 　 　 D. 无法比较 α与 β 的大小 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 全角度考法探究 拓展设问 如图②,将四边形 BCDE 沿虚线 再剪掉一个角得到五边形,则 (1)变成五边形后外角和是否变化? 　 否　 (填“是”或“否”); (2)变成五边形后内角和 　 增加 　 了(填 “增加”或“减少”) 　 180　 °; (3)变成五边形后周长　 减少　 了(填“增 加”或“减少”); (4)若∠B= 60°,则∠1+∠2 = 　 240　 °. 3.多解法 ∙∙∙ [2024 河北 11 题 2 分]直线 l 与正六边形 ABCDEF 的边 AB,EF 分别相交于点 M,N,如 图所示,则 α+β= (　 B　 ) A. 115° B. 120° C. 135° D. 144° 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. [名师原创]如图表示被撕掉一块的正 n 边形纸 片,若 a⊥b,则 n 的值是 (　 B　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 变式 [2024 山东]如图,已知 AB,BC,CD 是正 n 边形的三条边,在同一平面内,以 BC 为边在该 正 n 边形的外部作正方形 BCMN. 若∠ABN = 120°,则 n 的值为 (　 A　 ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 变式题图 　 第 5 题图 5. [名师原创]如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 P 是 AF 边上一点(不与点 A,F 重合),连接 BP, PE,CE,若 S△CDE = 2,则 S四边形BCEP 的值是 (　 B　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 随着点 P 位置的变化而变化 6. [名师原创]在边长为 2 的正六边形纸片中,过 两个顶点剪下一个等腰三角形(阴影部分),裁 剪线长度所标的数据一定不正确的是 (　 A　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 48 分层作业本·河北数学 　 第 五 章 四 边 形 考向 2　 正多边形的计算———叠放型 7. [2024 北京改编]如图,两个重合的菱形叠放在一 起,若重叠部分是正八边形,则∠1= (　 C　 ) 第 7 题图 A. 60° B. 55° C. 45° D. 30° 8. [名师原创]正方形和正六边形按如图位置放 置,则 m 的值可能落在数轴上的段 (　 B　 ) 图① 　 　 图② 第 8 题图 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 考向 3　 正多边形的计算———镶嵌型 9. [2024 唐山二模]两个边长为 2 的正六边形按如 图所示方式放置,则点 A 的坐标是 (　 D　 ) A. (2 3 ,2 3 ) B. (3,4) C. (4,2 3 ) D. (2 3 ,4) 第 9 题图 　 第 10 题图 10. [2024 石家庄新华区校级二模]如图,已知四个正 六边形摆放在图中,顶点 A,B,C,D,E,F 在圆 上,其中上下两个大一点的正六边形边长均 为 a,左右两个正六边形边长均为 b. (1)tan∠ADE= 　 2 3 　 ; (2)若 b= 3,则 a= 　 13 +1　 . 11.易错 ∙∙ 已知,六边形 GHIJKL 的每个内角都是 120°,且其顶点都在如图所示的正六边形 AB- CDEF 的边上,AB = 4,则关于六边形 GHIJKL 的边长 GH 的描述正确的是 (　 D　 ) 第 11 题图 A. GH 的最大值是 4 B. GH 的最大值是 4 3 C. GH 的最大值是 8 D. GH 不存在最大值 【易错分析】本题易误认为六边形 GHIJKL 是 正六边形而致错. 12. [2023 河北 19 题 4 分]将三个相同的六角形螺 母并排摆放在桌面上,其俯视图如图①,正六 边形边长为 2 且各有一个顶点在直线 l 上,两 侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后, 其俯视图如图②,其中,中间正六边形的一边 与直线 l 平行,有两边分别经过两侧正六边形 的一个顶点. 则图②中: (1)∠α= 　 30　 度; (2) 中间正六边形的中心到直线 l 的距离 为　 2 3 　 (结果保留根号) . 图① 　 图② 第 12 题图 变式 [名师原创]两个全等的正方形和一个正 六边形按图①所示位置摆放,正六边形有一 个顶点、两个正方形各有一条边在直线 l 上, 正六边形有两个顶点与两个正方形的一个顶 点分别重合,且两条边分别与两个正方形的 一条边共线. (1)若正方形的边长为 3,则 AB= 　 4　 ; (2)在图①的基础上,保持正方形不动,把正 六边形抽出,绕正六边形的中心旋转一个 角度,并按图②所示位置摆放,若∠1 = 15°,则∠2 = 　 45°　 . 图① 　 图② 变式题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 58