4.7 全等三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋S△ABC = 1 2 AC·BE= 2+ 2 . 图② 　 图③ 变式题解图 解法 3:如解图③,过点 C 作 CD⊥BC 交 BA 的延长线于 点 D,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,则∠CAD = ∠CDA = 67. 5°,得 CD = AC = 2,∠ACE = 45°,∴ AE = CE = 2 ,则 DE=CD-CE= 2- 2 ,易知△DAE∽△DBC,∴ BC = 2 2 + 2,则 S△ABC = 1 2 BC·CE= 2+ 2 . 12. (1)45°;(2) 10 2 13. C 变式 　 B　 【解析】当选取的三块纸片的面积分别是 1, 4,5 时,围成的直角三角形的面积是 1 × 4 2 = 1;当选取的 三块纸片的面积分别是 2,3,5 时,围成的直角三角形的 面积是 2 × 3 2 = 6 2 ;当选取的三块纸片的面积分别是 3, 4,5 时,围成的三角形不是直角三角形;当选取的三块纸 片的面积分别是 2,2,4 时,围成的直角三角形的面积是 2 × 2 2 = 1,∵ 6 2 >1,∴ 围成的三角形是面积最大的直角 三角形时选取的三块纸片的面积分别是 2,3,5. 14. B　 【解析】由题意知,当 CA⊥BA 或 CA≥BC 时,能作出 唯一一个△ABC,①当 CA⊥BA 时,∵ ∠B = 45°,BC = 2, ∴ AC=BC·sin45° = 2× 2 2 = 2 ,即此时 d = 2 ;②当 CA= BC 时,∵ BC= 2,∴ 此时 AC = 2,即 d≥2,综上,当 d = 2 或 d≥2 时,能作出唯一一个△ABC,即甲,丙答案合在一 起才完整. 变式 　 C　 【解析】解法 1:x 从 1 开始取整,以 B 为圆 心,以 5 为半径画圆,观察与 OM 的交点有几个. 发现到 5 时,另一点与 O 重合,所以从 1 到 5 都可以. 之后在不断 扩大的过程中,都会有 2 个交点,直到相切的情况,根据 ∠MON= 30°,得到 x= 10 时也成立,所以共有 6 个解. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:∵ ∠MON = 30°,当 AB 为最短直角边时 OB = 2AB= x= 10,满足条件;当 x>10 时,△AOB 中,边 AB>5, 舍去,当 5<x< 10 时,满足条件的三角形有 2 个,舍去, 当 x≤5 时,即 x = 1,2,3,4,5 时,总可以画出△AOB 且 唯一,∴ x 可以取的值有 1,2,3,4,5,10,共 6 个. 命题点 7　 全等三角形的性质与判定 1. C　 2. (1)2　 (2)110°　 (3)70°　 3. A　 4. A　 5. C 6. C 　 【 解 析 】 如 解 图, 在 △ABC 和 △DEA 中, AB=DE, ∠ABC= ∠DEA= 90°, BC=AE, { ∴ △ABC≌△DEA( SAS),∴ ∠1 = ∠4(或观察图形得到∠1 = ∠4),∵ ∠3+∠4 = 90°,∴ ∠1 +∠3 = 90°,又∵ ∠2 = 45°, ∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 90° + 45° = 135°. 第 6 题解图 7. (1)36t;(2)3 或 4　 【解析】(1)∵ BF= 3t m,∠B = 90°,CB = 24 m,∴ S△BFC = 1 2 BF·CB= 1 2 × 3t ×24 = 36t( m2 );(2) 由题意可得,AD= xt m,BF = 3t m,当△AFD 与△BCF 全等 时,分两种情况:①当△AFD≌△BCF 时,有 AF =BC,AD = BF,∴ 36-3t = 24,xt = 3t,解得 t = 4,x = 3;②当△AFD≌ △BFC 时,有 AF=BF,AD=BC,∴ 36-3t = 3t,xt = 24,解得 t = 6,x= 4. 综上所述,x 的值为 3 或 4. 8. C　 【解析】如解图是△A′B′C′的可能形状,∴ AC = A′C1 ′ = A′C2 ′,当∠1 = ∠C=n°时,∠1 = ∠2 = n°,∴ ∠3 = 180°-n°, ∴ ∠C′= n°或 180° -n°;当∠3 = ∠C = n°时,同理得∠1 = 180°-n°,∴ ∠C′ = n°或 180° -n°. 综上所述,∠C′ = n°或 180°-n°. 第 8 题解图 　 变式 8-2 题解图 变式 8-1 　 C 变式 8-2 　 D 　 【解析】 当△A′B′C′与 △ABC 全等时, S△A′B′C′ =S△ABC =m;当△A′B′C′与△ABC 不全等时有两种情 况,如解图,当点 C 在 C1 处,点 C′在 C2 处时,过点 A 作 AD ⊥BC2 于点 D,∵ ∠B= 30°,AB= 6,∴ AD = 3,∵ AC1 =AC2 = 5,AD⊥BC2 ,∴ 由勾股定理得 C1D=C2D= 4,∴ C1C2 = 8,∴ S△A′B′C′ =S△ABC1 +S△AC1C2 = m+ 8× 3× 1 2 = m+ 12;同理当点 C 在 C2 处, 点 C′在 C1 处时, S△A′B′C′ = m - 12, 综上所述, S△A′B′C′ =m 或 m+12 或 m-12. 变式 8-3 　 D　 【解析】∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. 在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, ∠B= ∠C, BE=CD, { ∴ △ABE≌△ACD(SAS),∴ AE = AD. ∵ AB = AB, ∠B = ∠B, AD = AE, ∠BAD ≠ ∠BAE, ∴ △ABD 和△ABE 是一对 “ 伪全等三角形” . 同理可得, △ABD 和 △ACD 是一对 “ 伪 全 等 三 角 形”, △ACD 和 △ACE 是一对“伪全等三角形”,△ABE 和△ACE 是一对 “伪全等三角形” . 所以图中的“伪全等三角形”共有 4 对. 9. (1)证明:∵ BE=FC, ∴ BE+CE=FC+CE, ∴ BC=EF, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 在△ABC 和△DEF 中, AB=DE, AC=DF, BC=EF, { ∴ △ABC≌△DEF(SSS); (2)解:AB∥DE,AC∥DF. 理由如下:由(1)得△ABC≌△DEF, ∴ ∠ABC= ∠DEF,∠ACB= ∠DFE, ∴ AB∥DE,AC∥DF. 变式 　 B 10. (1)证明:∵ P 是 AB 的中点, ∴ PA=PB, 在△APM 和△BPN 中, ∠A= ∠B, PA=PB, ∠APM= ∠BPN, { ∴ △APM≌△BPN(ASA); (2)解:由(1)得△APM≌△BPN, ∴ PM=PN, ∴ MN= 2PN, ∵ MN= 2BN, ∴ BN=PN, ∴ α= ∠B= 50°; (3)解:40°<α<90°. 【解法提示】 ∵ △BPN 的外心在该三角形的内部, ∴ △BPN 是锐角三角形,∵ ∠B = 50°,∴ 40°<∠BPN< 90°, 即 40°<α<90°. 11. (1)证明:∵ OB⊥OC, ∴ ∠BOD+∠COE= 90°, 又∵ CE⊥OA,BD⊥OA, ∴ ∠CEO= ∠ODB= 90°, ∴ ∠BOD+∠B= 90°, ∴ ∠COE= ∠B, 在△COE 和△OBD 中, ∠CEO= ∠ODB, ∠COE= ∠B, OC=BO, { ∴ △COE≌△OBD(AAS), ∴ OE=BD; (2)解:由(1)知△COE≌△OBD, ∴ CE=OD= 15 cm, ∴ DE=OD-OE= 7 cm. 命题点 8　 相似三角形的性质与判定(含位似) 1. A　 2. C　 3. D 4. D　 拓展设问 　 (1)A　 (2) 1 4 　 变式 　 1 2 5. C　 变式 　 A　 【解析】如解图,过 O 作 ON⊥CD 于 N,交 AB 于 M,∵ CD∥AB,∴ OM⊥AB,∵ OC =OD,∴ CN = 1 2 CD = 3 cm,∴ ON = OC2 -CN2 = 52 -32 = 4( cm),∵ CD∥ AB,∴ △CDO∽ △ABO,∴ OA OC = OM ON ,∴ 3 5 = OM 4 , ∴ OM = 12 5 cm,∴ h= 4- 12 5 = 8 5 (cm) . 变式题解图 6. D　 【解析】如解图,过 A 作 AH⊥BC 于 H,交 DE 于 F, ∵ 点 B,C,D,E 处的读数分别为 8,16,10. 5,14. 5,∴ BC = 16- 8 = 8,DE = 14. 5 - 10. 5 = 4, ∵ DE∥BC, ∴ ∠ADE = ∠ABC,∠AED= ∠ACB,∴ △ADE∽△ABC,∴ DE BC = AF AH ,∵ 直尺宽为 3,∴ FH= 3,∴ 4 8 = AH -3 AH ,∴ AH = 6,∴ △ABC 中 BC 边上的高为 6. 第 6 题解图 7. A　 变式 　 A　 8. A 9. B　 【解析】依题意,∠A= ∠A,添加一组对应角相等,可以 使得△ADB∽△ABC,故甲的做法以及过程没有问题,乙的 做法添加的条件有问题,应为 AD AB =AB AC . 10. C　 11. ∠ADE= ∠C(答案不唯一) 12. (1)△GED　 (2)是　 13. C 14. (1)A;( 2) 1 2 ;( 3) ( 3,6) 　 【解析】 ( 2) ∵ AB = 2,BC = 12 +12 = 2 ,AC= 12 +32 = 10 ,DE= 4,EF= 22 +22 = 2 2 ,DF= 22 +62 = 2 10 ,∴ AB DE =BC EF = AC DF = 1 2 ,∴ k = 1 2 ;(3)如解图,连接 AD,BE,CF,交点即为位似中心,∴ 位似中心的坐标为(3,6) . 第 14 题解图 15. B　 16. (1)是　 (2) 4 5 5 17. (1)1;( 2) 7　 【解析】 ( 1) 如解图①,连接 B1D1 ,B1D2 , B1C2 ,B1C3 ,C3D3 ,∵ △ABC 的面积为 2,AD 为 BC 边上的 中线,∴ S△ABD =S△ACD = 1 2 S△ABC = 1 2 ×2 = 1,∵ 点 A,C1 ,C2 , C3 是线段 CC4 的五等分点,∴ AC =AC1 =C1C2 =C2C3 =C3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 分层作业本·河北数学 　 第 四 章 三 角 形 命题点 7　 全等三角形的性质与判定(必考) 考向 1　 全等三角形的性质 1. [2024 石家庄月考]如图,若△ABC≌△DEF,则 下列结论错误的是 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 1 题图 A. ∠A= 80° B. ∠B= 40° C. x= 7 cm D. S△ABC =S△DEF 2. [名师原创]如图,Rt△ABD≌Rt△EBC,点 A,B, C 在同一条直线上. (1)若 AB= 1,BC= 3,则 DE= 　 　 　 　 ; (2)若∠ADB= 20°,则∠DEC= 　 　 　 　 ; ( 3 ) 连 接 CD, 若 ∠BCE = 25°, 则 ∠ADC = 　 70°　 . 第 2 题图 　 第 3 题图 考向 2　 全等三角形的判定 3. 如图,一块三角形的玻璃被打碎成三块,现要 配一块与原来形状完全相同的玻璃,则 (　 A　 ) A. 只带①去 B. 只带③去 C. 只带②去 D. 带②和③去 4. [名师原创]如图是利用尺规作图作∠BAC 的平 分线的示意图,步骤如下: ①以点 A 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 AB,AC 于点 E,F; ②分别以点 E,点 F 为圆心,大于 1 2 EF 长为半 径画弧,在∠BAC 的内部交于点 P; ③作射线 AP,射线 AP 即为所求. 以上作角平分线的作法,基本原理是利用了三 角形全等的判定方法 (　 A　 ) 第 4 题图 A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 5. [2024 沧州期末]已知△ABC 的六个元素如图所 示,则甲,乙,丙三个三角形中一定与△ABC 全 等的是 (　 C　 ) 　 　 　 　 第 5 题图 A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有丙 6. 如图为 6 个边长相等的正方形的组合图形,则 ∠1+∠2+∠3 = (　 C　 ) 第 6 题图 A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 7. [名师原创]如图,AB= 36 m,CB⊥AB 于点 B,EA ⊥AB 于点 A,已知 CB = 24 m,点 F 从点 B 出 发,以 3 m / s 的速度沿 BA 向点 A 运动(到达点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 37 分层作业本·河北数学 　 第 四 章 三 角 形 A 停止运动),设点 F 的运动时间为 t s. 第 7 题图 (1)△BFC 的面积可表示为　 36t　 m2;(用含 t 的代数式表示) (2)易错 ∙∙ 若点 F 从点 B 开始运动,点 D 同时从 点 A 出发,以 x m / s 的速度沿射线 AE 运 动, 当 △AFD 与 △BCF 全等时, x 的 值 为　 3 或 4　 . 考向 3　 全等三角形综合题 8.易错 ∙∙ [2023 河北 13 题 2 分]在△ABC 和△A′B′C′ 中,∠B=∠B′= 30°,AB=A′B′= 6,AC=A′C′= 4.已 知∠C=n°,则∠C′= (　 C　 ) A. 30° B. n° C. n°或 180°-n° D. 30°或 150° 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 全角度考法探究 变式 8-1 [2024 邯郸校级二模]如图,课本上 给出了小明一个画图的过程,这个画图过 程说明的事实是 (　 C　 ) 变式 8-1 题图 A. 两个三角形的两条边和夹角对应相等, 这两个三角形全等 B. 两个三角形的两个角和其中一角的对 边对应相等,这两个三角形全等 C. 两个三角形的两条边和其中一边对角 对应相等,这两个三角形不一定全等 D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等, 这两个三角形不一定全等 变式 8-2 在△ABC 和△A′B′C′中, ∠B = ∠B′= 30°,AB=A′B′= 6,AC=A′C′= 5,已知 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 S△ABC =m,则 S△A′B′C′ = (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. m B. m+6 C. m 或 m+12　 　 　 D. m 或 m+12 或 m-12 变式 8-3 [ 2024 遂宁] 如图 ①, △ABC 与 △A1B1C1 满足∠A = ∠A1,AC = A1C1,BC = B1C1,∠C≠∠C1,我们称这样的两个三角 形为“伪全等三角形” . 如图②,在△ABC 中,AB=AC,点 D,E 在线段 BC 上,且 BE = CD,则图中共有“伪全等三角形” (　 D　 ) 图① 图② 变式 8-3 题图 A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 9. [2016 河北 21 题改编]如图,点 B,E,C,F 在直线 l 上(E,C 之间不能直接测量),点 A,D 在 l 同 侧,测得 AB=DE,AC=DF,BE=FC. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)指出图中所有平行的线段,并说明理由. 第 9 题图 (1)证明:∵BE=FC,∴BE+CE=FC+CE, ∴BC=EF,在△ABC 和△DEF 中, AB=DE, AC=DF, BC=EF, ì î í ï ï ïï ∴△ABC≌△DEF(SSS); (2)解:AB∥DE,AC∥DF. 理由如下:由(1)得△ABC≌△DEF, ∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE, ∴AB∥DE,AC∥DF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47 分层作业本·河北数学 　 第 四 章 三 角 形 变式 如图,若在△ABC 和△DEF 中,点 B,F, C,E 在同一直线上,∠ACB = ∠DFE,BF = EC, 只添加一个条件,不能判定△ABC≌△DEF 的 是 (　 B　 ) 变式题图 A. AC=DF B. AB=DE C. ∠A= ∠D D. ∠B= ∠E 10. [2018 河北 23 题 9 分·冀教八上 P47 第 2 题改编] 如图,∠A = ∠B = 50°,P 是 AB 的中点,点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的任意一点,连 接 MP,并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N, 设∠BPN=α. (1)求证:△APM≌△BPN; (2)当 MN= 2BN 时,求 α 的度数; (3)若△BPN 的外心在该三角形的内部,直接 ∙∙ 写出 α 的取值范围. 第 10 题图 (1)证明:∵P 是 AB 的中点,∴PA=PB, 在△APM 和△BPN 中, ∠A=∠B, PA=PB, ∠APM=∠BPN, ì î í ï ï ïï ∴△APM≌△BPN(ASA); (2)解:由(1)得△APM≌△BPN, ∴PM=PN,∴MN=2PN, ∵MN=2BN, ∴BN=PN,∴α=∠B=50°; (3)解:40°<α<90°. 【解法提示】∵△BPN 的外心在 该三角形的内部,∴△BPN 是锐角三角形,∵ ∠B = 50°,∴40°<∠BPN<90°,即 40°<α<90°. 11. [学科融合·2024 邯郸经开区二模]小明在物理 课上学习了发声物体的振动实验后,对其做 了进一步的探究:在一个支架的横杆点 O 处 用一根细绳悬挂一个小球 A,小球 A 可以自由 摆动,如图,OA 表示小球静止时的位置. 当小 明用发声物体靠近小球时,小球从 OA 摆到 OB 位置,此时过点 B 作 BD⊥OA 于点 D,当 小球摆到 OC 位置时,OB 与 OC 恰好垂直(图 中的 A,B,O,C 在同一平面上),过点 C 作 CE ⊥OA 于点 E,测得 CE= 15 cm,OE= 8 cm. (1)证明:OE=BD; (2)求 DE 的长. 第 11 题图 (1)证明:∵OB⊥OC, ∴∠BOD+∠COE=90°, 又∵CE⊥OA,BD⊥OA, ∴∠CEO=∠ODB=90°, ∴∠BOD+∠B=90°, ∴∠COE=∠B, 在△COE 和△OBD 中, ∠CEO=∠ODB, ∠COE=∠B, OC=BO, ì î í ï ï ïï ∴△COE≌△OBD(AAS), ∴OE=BD; (2)解:由(1)知△COE≌△OBD, ∴CE=OD=15 cm, ∴DE=OD-OE=7 cm. 1. 五种造构全等三角形的方法练习———见专项培 优练 P15-P16 2. 一线三等角(含弦图)模型练习———见专项培优 练 P17 3. 手拉手模型练习———见专项培优练 P18 4. 对角互补模型练习———见专项培优练 P19-P20 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57