4.6 直角三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河北数学 　 第 四 章 三 角 形 命题点 6　 直角三角形的性质与判定(必考) 考向 1　 直角三角形的性质与判定(含勾股 定理) 1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂足 为 D.下列结论中,不一定成立的是 (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 1 题图 A. ∠A 与∠1 互余 B. ∠B 与∠2 互余 C. ∠A= ∠2 D. ∠1 = ∠2 2. [2024 广东]如图,一把直尺,两个含 30°角的三 角尺拼接在一起,则∠ACE 的度数为 (　 C　 ) 第 2 题图 A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 3. 易错 ∙∙ [2024 陕西]如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AD 是 BC 边上的高,E 是 DC 的中点,连接 AE,则图中的直角三角形共有 (　 C　 ) 第 3 题图 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 4. [2023 承德一模]如图,数轴上点 A,B,C 表示的 数分别为-4,-2 和 3,点 O 为原点,以 OA,OC,BC 为边长构造三角形,则构造的三角形为 (　 A　 ) 第 4 题图 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 全角度考法探究 变式 4-1 用尺规作图画 Rt△ABC,使其斜 边 AB= c,一条直角边 BC = a,嘉淇的作法 如图所示,他的作图依据是 (　 B　 ) 变式 4-1 题图 A. 勾股定理 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 勾股定理的逆定理 D. 90°的圆周角所对的弦是直径 变式 4-2 [2024 邯郸邢台部分学校联考期末] 在单位长度为 1 的正方形网格中,下面的 三角形是直角三角形的是 (　 C　 ) 5. [2023 河北 11 题 2 分]如图,在 Rt△ABC 中,AB= 4,点 M 是斜边 BC 的中点,以 AM 为边作正方 形 AMEF,若 S正方形AMEF = 16,则 S△ABC = (　 B　 ) A. 4 3 B. 8 3 C. 12 D. 16 第 5 题图 变式题图 变式—变换图形背景 如图,在 Rt△ABC 中,AB= 6,点 M 是斜边 BC 的中点,以 AM,MC 为边作 ▱AMCN,若▱AMCN 的周长为 24,则 S△ABC = 　 18 3 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 07 分层作业本·河北数学 　 第 四 章 三 角 形 6. [名师原创]定理:直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半. 方法 1:证明:如图①,延长 BO 至点 D,使 OD= OB,连接 AD,CD. 方法 2:证明:如图②,过点 O 作 OD⊥BC 于点 D. 下列说法正确的是 (　 D　 ) 图① 　 图② 第 6 题图 A. 方法 1 可以证明该定理,运用平行四边形 对角线互相平分 B. 只有方法 2 可以证明该定理 C. 方法 2 不可以证明该定理 D. 方法 1,方法 2 都可以证明该定理 7. [2024 邯郸邢台二模]如图 ,有 A,B,C 三个城镇, A 城镇位于 C 城镇正北方向,且到 C 城镇 5 km,B 城镇位于 C 城镇正东方向,且到 C 城 镇 12 km,点M,点 C 被湖水隔开,若点M 是 AB 的中点,则 MC= 　 　 　 　 km. 第 7 题图 8. [名师原创]如图为 3×3 的正方形网格,每个小 正方形的边长均为 1,且 O,A,B 三点均在格 点上. 第 8 题图 (1)若 m 是正整数,且满足 m<OA<m+1,则 m 的值为　 　 　 　 ; (2)若 C,D 分别是 OA,OB 的中点,则 CD 的长 为　 　 　 　 . 考向 2　 含 30°,45°角的直角三角形 9. 如图,一棵树在一次强台风中于离地面 3 米处 折断倒下,倒下部分与地面成 30°角,这棵树在 折断前的高度为 (　 B　 ) A. 6 米 B. 9 米 C. 12 米 D. 15 米 第 9 题图 变式 [名师原创]如图所示的螺旋型由一系列 直角三角形组成,每个三角形都以点 O 为一顶 点,则下列各角的度数是 30°的是 (　 C　 ) 变式题图 A. ∠AOB B. ∠BOC C. ∠COD D. ∠DOE 10. [2024 廊坊月考]如图是叠放在一起的一副三 角尺,若 AB= 20,则阴影部分的面积是 (　 A　 ) 第 10 题图 A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 11. [2023 承德期末] 如图,在 Rt △ABC 中,已知 ∠ACB= 90°,∠B = 15°,AB 边的垂直平分线 交 AB 于点 E,交 BC 于点 D,且 BD= 13,则 AC 的长是 (　 B　 ) 第 11 题图 A. 13 B. 6. 5 C. 30 D. 6 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 17 分层作业本·河北数学 　 第 四 章 三 角 形 变式 多解法 ∙∙∙ 如图,在△ABC 中,∠B= 22. 5°, ∠C= 45°,若 AC= 2,则△ABC 的面积是 (　 D　 ) 变式题图 A. 3+ 2 2 B. 1+ 2 C. 2 2 D. 2+ 2 【提示】构造 22. 5°角的 2 倍角. 12. [名师原创]如图,每个小正方形的边长为 1,A, B,C 是小正方形的顶点,连接 AB,BC,CA,则 第 12 题图 (1)∠ACB 的度数为　 45°　 ; (2)取 BC 的中点 D,连接 AD,则 AD 的长度 为　 　 　 　 . 13. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成 的图形,其中阴影部分的面积是 (　 C　 ) 第 13 题图 A. 16 B. 25 C. 50 D. 41 变式 [2020 河北 16 题 2 分·冀教八上 P152 第 2 题改编]如图是用三块正方形纸片以顶点相连 的方式设计的“毕达哥拉斯”图案. 现有五种 正方形纸片,面积分别是 1,2,3,4,5,选取其 中三块(可重复选取)按如图的方式组成图 案,使所围成的三角形是面积最大的直角三 角形,则选取的三块纸片的面积分别是 (　 B　 ) 变式题图 A. 1,4,5 B. 2,3,5 C. 3,4,5 D. 2,2,4 14. [2022 河北 16 题 2 分]题目:“如图,∠B = 45°, BC= 2,在射线 BM 上取一点 A,设 AC=d,若对 于 d 的一个数值,只能作出唯一一个△ABC, 求 d 的取值范围. ”对于其答案,甲答:d≥2, 乙答:d= 1. 6,丙答:d= 2 ,则正确的是 (　 B　 ) 第 14 题图 A. 只有甲答的对 B. 甲,丙答案合在一起才完整 C. 甲,乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 变式 多解法 ∙∙∙ 如图,∠MON = 30°,点 A 在边 OM 上,点 B 在边 ON 上,OB = x,AB = 5,若 △OAB 是唯一确定的,且 x 为整数,则 x 的值 有 (　 C　 ) 变式题图 A. 1 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 10 个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 形,∴ OP=CP-OC=OQ,即 2t = 3t-8,解得 t = 8,故 t = 8 或 8 5 ,即甲、乙合在一起才正确. 10. (1)是;(2)30° 11. B　 【解析】当 BP = AP 时,∵ AB = 6,BC = 2,∴ BP = AP = 1 2 AB= 3;若 AP = BC = 2,则 BP = AB-AP = 4,∵ AP+BC = BP= 4,不符合三角形三边关系;若 BP = BC = 2,则 AP = AB-BP = 4,∵ BP+BC = AP = 4,不符合三角形三边关系. 综上所述,BP 的长为 3. 12. D　 【解析】如解图①,②,共有 5 个点满足条件. 图① 　 图② 第 12 题解图 13. (1)3;(2)20°或 50°或 80°;(3) 0<x< 90 且 x≠60　 【解 析】(2)若∠A 为顶角,则∠B = (180°-∠A) ÷ 2 = 50°;若 ∠A 为底角,∠B 为顶角,则∠B = 180°- 2× 80° = 20°;若 ∠A 为底角,∠B 为底角,则∠B = 80°;(3)分两种情况: ①当 90≤x<180 时,∠A 只能为顶角,∴ ∠B 的度数只有 1 个;②当 0<x<90 时,若∠A 为顶角,则∠B = ( 180-x 2 )°; 若∠A 为底角,∠B 为顶角,则∠B = ( 180 - 2x)°;若∠A 为底角,∠B 为底角,则∠B = x°. 当 180-x 2 ≠180 - 2x 且 180-2x≠x 且 180-x 2 ≠x,即 x≠60 时,∠B 有 3 个不同的 度数. 综上所述,当 0<x<90 且 x≠60 时,∠B 有 3 个不同 的度数. 14. (1) 13 6 ; ( 2) 1 或 2 或 3 2 　 【解析】 ( 1) ∵ ∠MAC = α, ∠NBC=β,α+β= 270°,∴ ∠MAC+∠NBC= 270°,∴ ∠CAB +∠CBA= 360°- 270° = 90°,∴ ∠ACB = 90°,∵ AM = 2,AB = x,MN= 5,∴ AC= 2,BC=BN= 3-x,由勾股定理得 22 +(3 -x) 2 = x2 ,解得 x = 13 6 ;(2) ∵ AC = 2,△ABC 为等腰三角 形,∴ 当 BC=AC= 2 时,AB = 1,此时 1+ 2> 2> 2- 1,等腰 △ABC 存在;当 AB=AC= 2 时,BC= 1,此时 1+2>2>2-1, 等腰△ABC 存在;当 BC = AB 时,∵ AC = 2,AB+AC+BC = 5,∴ AB+BC= 3,∴ AB = BC = 3 2 ,此时 3 2 + 3 2 > 2> 0,等腰 △ABC 存在. 综上所述,x 的值为 1 或 2 或 3 2 时,△ABC 为等腰三角形. 命题点 6　 直角三角形的性质与判定 1. D　 2. C　 3. C　 4. A　 变式 4-1 　 B　 变式 4-2 　 C 5. B 　 【解析】 ∵ S正方形AMEF = 16, ∴ AM = 16 = 4, ∵ 在 Rt△ABC 中,点 M 是斜边 BC 的中点, ∴ BC = 2AM = 8, ∴ AC= BC2 -AB2 = 82 -42 = 4 3 ,∴ S△ABC = 1 2 AB·AC = 1 2 ×4×4 3 = 8 3 . 变式 　 18 3 　 【解析】∵ 点 M 是斜边 BC 的中点,∴ AM= BM=CM,∴ ▱AMCN 为菱形,∵ ▱AMCN 的周长为 24,∴ AM=BM=AB= 6,∴ △ABM 为等边三角形,∴ ∠B = 60°,∴ 在 Rt△CAB 中,AC=AB·tanB= 6× 3 = 6 3 ,∴ S△ABC = 1 2 × 6×6 3 = 18 3 . 6. D　 【解析】方法 1:∵ 点 O 是 AC 边的中点,∴ AO =CO,∵ BO=OD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,∵ ∠ABC = 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AC =BD,∴ BO = 1 2 BD = 1 2 AC; 方法 2:由作图知∠ABC = ∠ODC = 90°,∴ OD∥AB,∵ 点 O 是 AC 边的中点,∴ AO = CO,∴ BD = CD,∴ BO = OC = 1 2 AC,∴ 方法 1,方法 2 都可以证明该定理. 7. 13 2 　 8. (1)2;(2) 10 2 　 9. B　 变式 　 C 10. A　 【解析】由三角尺的性质可知∠ACB = 90°,∠BAC = 60°,∠D= ∠DAC = 45°,∴ ∠AFC = 45°,即△ACF 是等腰 直角三角形,∵ ∠B = 30°,AB = 20,∴ AC = 1 2 AB = 10,∴ CF=AC= 10,∴ S阴影 = 1 2 ×10×10 = 50. 11. B　 【解析】∵ AB 边的垂直平分线交 AB 于点 E,交 BC 于 点 D,∴ AD = BD = 13,∴ ∠DAE = ∠B = 15°,∴ ∠ADC = 30°,∵ ∠ACB= 90°,∴ AC= 1 2 AD= 6. 5. 变式 　 D　 【解析】解法 1:如解图①,过点 A 作 AD⊥ AC,交 BC 于点 D,作 AE⊥BC 于点 E, ∵ ∠C = 45°, ∴ △ADC 是等腰直角三角形,∴ AD = AC = 2,∠ADC = 45°, ∴ CD= 2AC= 2 2 ,∵ ∠ADC= ∠B+∠BAD,∠B = 22. 5°, ∴ ∠DAB= 22. 5° = ∠B,∴ AD = BD = 2,∵ AD = AC,AE⊥ CD,∴ DE=CE,∴ AE= 1 2 CD = 2 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AE = 1 2 ×(2+2 2 ) × 2 = 2+ 2 . 变式题解图① 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,过点 B 作 BE⊥CA 交 CA 的延长线于点 E, 则 ∠EBC = 45°, ∵ ∠ABD= 22. 5° = 1 2 ∠EBC, ∴ BA 平分∠EBC, ∴ AE = AD,由 AC= 2 得 AE=AD= 2 ,∴ BE=CE= 2+ 2 ,则 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋S△ABC = 1 2 AC·BE= 2+ 2 . 图② 　 图③ 变式题解图 解法 3:如解图③,过点 C 作 CD⊥BC 交 BA 的延长线于 点 D,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,则∠CAD = ∠CDA = 67. 5°,得 CD = AC = 2,∠ACE = 45°,∴ AE = CE = 2 ,则 DE=CD-CE= 2- 2 ,易知△DAE∽△DBC,∴ BC = 2 2 + 2,则 S△ABC = 1 2 BC·CE= 2+ 2 . 12. (1)45°;(2) 10 2 13. C 变式 　 B　 【解析】当选取的三块纸片的面积分别是 1, 4,5 时,围成的直角三角形的面积是 1 × 4 2 = 1;当选取的 三块纸片的面积分别是 2,3,5 时,围成的直角三角形的 面积是 2 × 3 2 = 6 2 ;当选取的三块纸片的面积分别是 3, 4,5 时,围成的三角形不是直角三角形;当选取的三块纸 片的面积分别是 2,2,4 时,围成的直角三角形的面积是 2 × 2 2 = 1,∵ 6 2 >1,∴ 围成的三角形是面积最大的直角 三角形时选取的三块纸片的面积分别是 2,3,5. 14. B　 【解析】由题意知,当 CA⊥BA 或 CA≥BC 时,能作出 唯一一个△ABC,①当 CA⊥BA 时,∵ ∠B = 45°,BC = 2, ∴ AC=BC·sin45° = 2× 2 2 = 2 ,即此时 d = 2 ;②当 CA= BC 时,∵ BC= 2,∴ 此时 AC = 2,即 d≥2,综上,当 d = 2 或 d≥2 时,能作出唯一一个△ABC,即甲,丙答案合在一 起才完整. 变式 　 C　 【解析】解法 1:x 从 1 开始取整,以 B 为圆 心,以 5 为半径画圆,观察与 OM 的交点有几个. 发现到 5 时,另一点与 O 重合,所以从 1 到 5 都可以. 之后在不断 扩大的过程中,都会有 2 个交点,直到相切的情况,根据 ∠MON= 30°,得到 x= 10 时也成立,所以共有 6 个解. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:∵ ∠MON = 30°,当 AB 为最短直角边时 OB = 2AB= x= 10,满足条件;当 x>10 时,△AOB 中,边 AB>5, 舍去,当 5<x< 10 时,满足条件的三角形有 2 个,舍去, 当 x≤5 时,即 x = 1,2,3,4,5 时,总可以画出△AOB 且 唯一,∴ x 可以取的值有 1,2,3,4,5,10,共 6 个. 命题点 7　 全等三角形的性质与判定 1. C　 2. (1)2　 (2)110°　 (3)70°　 3. A　 4. A　 5. C 6. C 　 【 解 析 】 如 解 图, 在 △ABC 和 △DEA 中, AB=DE, ∠ABC= ∠DEA= 90°, BC=AE, { ∴ △ABC≌△DEA( SAS),∴ ∠1 = ∠4(或观察图形得到∠1 = ∠4),∵ ∠3+∠4 = 90°,∴ ∠1 +∠3 = 90°,又∵ ∠2 = 45°, ∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 90° + 45° = 135°. 第 6 题解图 7. (1)36t;(2)3 或 4　 【解析】(1)∵ BF= 3t m,∠B = 90°,CB = 24 m,∴ S△BFC = 1 2 BF·CB= 1 2 × 3t ×24 = 36t( m2 );(2) 由题意可得,AD= xt m,BF = 3t m,当△AFD 与△BCF 全等 时,分两种情况:①当△AFD≌△BCF 时,有 AF =BC,AD = BF,∴ 36-3t = 24,xt = 3t,解得 t = 4,x = 3;②当△AFD≌ △BFC 时,有 AF=BF,AD=BC,∴ 36-3t = 3t,xt = 24,解得 t = 6,x= 4. 综上所述,x 的值为 3 或 4. 8. C　 【解析】如解图是△A′B′C′的可能形状,∴ AC = A′C1 ′ = A′C2 ′,当∠1 = ∠C=n°时,∠1 = ∠2 = n°,∴ ∠3 = 180°-n°, ∴ ∠C′= n°或 180° -n°;当∠3 = ∠C = n°时,同理得∠1 = 180°-n°,∴ ∠C′ = n°或 180° -n°. 综上所述,∠C′ = n°或 180°-n°. 第 8 题解图 　 变式 8-2 题解图 变式 8-1 　 C 变式 8-2 　 D 　 【解析】 当△A′B′C′与 △ABC 全等时, S△A′B′C′ =S△ABC =m;当△A′B′C′与△ABC 不全等时有两种情 况,如解图,当点 C 在 C1 处,点 C′在 C2 处时,过点 A 作 AD ⊥BC2 于点 D,∵ ∠B= 30°,AB= 6,∴ AD = 3,∵ AC1 =AC2 = 5,AD⊥BC2 ,∴ 由勾股定理得 C1D=C2D= 4,∴ C1C2 = 8,∴ S△A′B′C′ =S△ABC1 +S△AC1C2 = m+ 8× 3× 1 2 = m+ 12;同理当点 C 在 C2 处, 点 C′在 C1 处时, S△A′B′C′ = m - 12, 综上所述, S△A′B′C′ =m 或 m+12 或 m-12. 变式 8-3 　 D　 【解析】∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. 在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, ∠B= ∠C, BE=CD, { ∴ △ABE≌△ACD(SAS),∴ AE = AD. ∵ AB = AB, ∠B = ∠B, AD = AE, ∠BAD ≠ ∠BAE, ∴ △ABD 和△ABE 是一对 “ 伪全等三角形” . 同理可得, △ABD 和 △ACD 是一对 “ 伪 全 等 三 角 形”, △ACD 和 △ACE 是一对“伪全等三角形”,△ABE 和△ACE 是一对 “伪全等三角形” . 所以图中的“伪全等三角形”共有 4 对. 9. (1)证明:∵ BE=FC, ∴ BE+CE=FC+CE, ∴ BC=EF, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02