5.2 平行四边形的性质与判定-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河北数学 第 五 章 　 四 边 形 命题点 2　 平行四边形的性质与判定(必考) 要点归纳 要点 1 平行四边形的性质及判定 →1-2 题 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 性质 (1)边:对边平行且①　 相等　 ; (2)角:对角②　 相等　 ,邻角③　 互补　 ; (3)对角线:对角线互相④　 平分　 ; (4)对称性:是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点,经过对称中心的 任意一条直线平分平行四边形的面积; (5)任何四边形均具有不稳定性 周长 C= 2(AB+BC) 面积 S=BC·AE 判定 定理 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法); (2)两组对边分别⑤　 相等　 的四边形是平行四边形; (3)一组对边⑥　 平行且相等　 的四边形是平行四边形; (4)对角线互相⑦　 平分　 的四边形是平行四边形; (5)两组对角分别⑧　 相等　 的四边形是平行四边形 【思维点拨】平行四边形的判定思路 ①已知一组对边相等 证这组对边平行, 证另一组对边相等;{ 　 ②已知一组对边平行 证这组对边相等, 证另一组对边平行;{ ③已知两条对角线:证对角线互相平分. 要点 2 平行四边形中的六个面积关系 图 形 l 是 过 对 称 中心 O 的任 意一条直线 (人教八下 P56 图 18. 2-8) 点 B 是平行 四边形内 任意一点 点 A 是对角线 上任意一点 结 论 S1 =S2 +S3 一对全等 ∙∙ 三角形; S1 =S2 S1 =S2; OE=OF; AF=CE; BF=DE 两对全等 ∙∙ 的三 角形;S1 = S2 =S3 =S4 S1 +S3 =S2 +S4 S1 =S2 98 基础夯实练·河北数学 第 五 章 　 四 边 形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 例 1 题图 对点练习 例 1　 如图,P 是▱ABCD 内的任意一点,连接 PA、PB、PC、PD,得到 △PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是 S1、S2、 S3、S4,给出如下结论:①S1 +S3 = S2 +S4,②若 S3 = 2S1,则 S2 = 2S4,③若 S1 +S3 = 5,则▱ABCD 的面积为 10;④S1 +S2 = S3 +S4 . 其中一定正确的是 (⑨　 A　 ) A. ①③　 　 　 　 　 　 B. ②③　 　 　 　 　 　 C. ①②　 　 　 　 　 　 D. ②④ 要点 3 平行四边形内角平分线模型 原理:平行线+角平分线有等腰 一条 角平 分线 图形 结论 AB=BE △FAE∽△FBC∽△CDE; AF=AE,BC=BF,DE=DC 两条 角平 分线 图形 结论 AB=AE=CD=DE, ∠BEC= 90° AB=AF=DE =DC, CE⊥BF,EF = 2AB -AD AB = AF = DE = DC, CE ⊥ BF, EF = AD -2AB AB = AF = CE = CD,四边形 BEDF 是平行 四边形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对点练习 例 2　 如图,在▱ABCD 中,E 为 BC 边上的一点,AE,DE 分别平分∠BAD,∠CDA. 若 AE= 6,DE= 8,则 AB 的长为 (⑩　 B　 ) 例 2 题图 A. 4　 　 　 　 　 　 　 　 B. 5　 　 　 　 　 　 　 　 C. 6　 　 　 　 　 　 　 　 D. 7 随堂练习 第 1 题图① 1. 如图①,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O. (1)若∠ABC ∶ ∠BAD= 1 ∶ 2,则∠BCD= 　 120°　 ; (2)若 AC= 10,BD= 12,则 OA+OB= 　 11　 ; 09 基础夯实练·河北数学 第 五 章 　 四 边 形 (3)若▱ABCD 的周长是 20,△ABO 的周长比△BCO 的周长小 2,则 AB= 　 4　 ; (4)若以点 B 为原点、BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,点 C 的坐标为(6,0),点 D 的坐标为(8,4),则点 A 的坐标为　 (2,4) 　 ; 第 1 题图② (5)(冀教八下 P121 图 22-1-9 改编)如图②,若线段 EF 经过点 O,交 CD 于点 E,交 AB 于点 F. ①图中全等三角形共有　 6　 对; ②若点 E 是 CD 的中点,AD= 4,则 OE= 　 2　 ,OF= 　 2　 ; ③若 AB= 8,▱ABCD 的面积是 32,则 EF 的最小值为　 4　 . 2. (人教八下 P47 第 2 题改编)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O. 若 E,F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点,AF=CE,DF =BE,DF∥BE. 求证:四边形 ABCD 是 平行四边形. 第 2 题图 解法 1:(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 证明:∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF,∴∠AFD=∠CEB. 又∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB, ∴AD=BC,∠DAF=∠BCE,∴AD∥BC, ∴四边形 ABCD是平行四边形. 解法 2:(两组对边分别相等的四边形是平行四边形) 证明:∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF. 又∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,∴AE=CF, 又∵DF=BE,∴△ABE≌△CDF,∴AB=CD, 又∵∠DFE=∠BEF,∴∠AFD=∠CEB, ∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB,∴AD=BC, ∴四边形 ABCD是平行四边形. 解法 3:(两组对边分别平行的四边形是平行四边形) 证明:∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF, ∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,∴AE=CF, 又∵DF=BE,∴△ABE≌△CDF,∴∠BAE=∠DCF,∴AB∥CD, 又∵∠DFE=∠BEF,∴∠AFD=∠CEB, 又∵AF=CE,DF=BE, ∴△AFD≌△CEB,∴∠DAF=∠BCE,∴AD∥BC, ∴四边形 ABCD是平行四边形. 解法 4:(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 证明:∵DF∥BE,∴∠DFO=∠BEO,∵DF=BE,∠DOF=∠BOE, ∴△DFO≌△BEO,∴OF=OE,OD=OB. 又∵AF=CE,∴AF+OF=CE+OE,即 OA=OC, ∴四边形 ABCD是平行四边形. 》》请完成分层作业本 P86-89 习题《《 19 􀃊􀁉􀁘相等　 􀃊􀁉􀁙相等　 􀃊􀁉􀁚相等　 􀃊􀁉􀁛互补 随堂练习 1. D　 2. PB　 变式　 CP　 3. A　 4. 17° 命题点 3　 三角形的分类及其边角关系 要点归纳 ①大于　 ②>　 ③小于　 ④<　 ⑤180°　 ⑥360°　 ⑦∠3 ⑧>　 ⑨>　 􀃊􀁉􀁒> 随堂练习 1. (1)70°;(2)55° 2. (1)不能;(2)3<x<13　 (3)18 或 21 命题点 4　 三角形中的重要线段 要点归纳 ①平分　 ②一半　 ③ = 　 ④BC　 ⑤∠2　 ⑥ = 　 ⑦平行 ⑧第三边的一半　 ⑨BC　 ⑩ 1 2 BC　 􀃊􀁉􀁓90°+ 1 2 ∠A 􀃊􀁉􀁔 1 2 ∠A　 􀃊􀁉􀁕90°- 1 2 ∠A 随堂练习 1. (1)40°,10°;(2)4,1 2. (1)115°;(2)25°;(3)65° 命题点 5　 等腰三角形的性质与判定 要点归纳 ①相等　 ②相等　 ③相等　 ④60°　 ⑤ 1 2 (180°-α)　 ⑥45° ⑦ 1 2 (180°-α)　 ⑧180°-2α　 ⑨2a+b　 􀃊􀁉􀁒2b+a 􀃊􀁉􀁓△ODC　 􀃊􀁉􀁔△ACE 随堂练习 1. (1)24;(2)30;(3)4;(4)3 2. C　 3. C　 变式　 4 4. (1)5;(2)18　 变式　 6 命题点 6　 直角三角形的性质与判定 要点归纳 ①90°　 ② 1 2 　 ③a2 +b2 = c2 　 ④互余　 ⑤相等　 ⑥相等 ⑦45　 ⑧1 ∶ 2 　 ⑨45°　 􀃊􀁉􀁒60°　 􀃊􀁉􀁓一半　 􀃊􀁉􀁔30° 􀃊􀁉􀁕1 ∶ 3 ∶ 2　 􀃊􀁉􀁖S1 +S2 =S3 　 􀃊􀁉􀁗 7或 5　 􀃊􀁉􀁘 5 3 或 4 3 随堂练习 1. (1)①70°;②5;【拓展设问 1】 5 2 ;(2) 30°,30°, 3 ;(3) 13 或 119 ;(4)2;【拓展设问 2】3 2 ;【拓展设问 3】2+ 2 命题点 7　 全等三角形的性质与判定 要点归纳 ①相等　 ②相等　 ③相等　 ④相等 随堂练习 1. B　 2. D　 3. 5　 4. 70°　 5. 3 3 　 6. B　 7. 5　 8. 55° 命题点 8　 相似三角形的性质与判定 要点归纳 ① c d 　 ② AE CE 　 ③ AE AC 　 ④ AC CE 　 ⑤相等　 ⑥成比例 ⑦相似比　 ⑧相似比　 ⑨相似比的平方　 􀃊􀁉􀁒位似多边形 􀃊􀁉􀁓位似中心　 􀃊􀁉􀁔平行 随堂练习 1. 8 5 　 2. 3 5 　 3. (1)4;(2) 1 3 ,1 ∶ 3, 1 9 　 4. 24 5 　 5. 4 2 6. 1 ∶ 2　 7. 2 3 　 8. 15 4 　 9. 10 5 　 10. 14 3 　 11. 25 4 命题点 9　 锐角三角函数及其应用 要点归纳 ① a c 　 ② b c 　 ③ a b 　 ④ 2 2 　 ⑤ 3 2 　 ⑥ 3 2 　 ⑦ 1 2 　 ⑧1 ⑨90°　 􀃊􀁉􀁒sinB　 􀃊􀁉􀁓 a b 　 􀃊􀁉􀁔北偏东 30°　 􀃊􀁉􀁕南偏东 60° 􀃊􀁉􀁖西北(北偏西 45°) 随堂练习 1. 20 3 　 2. 3. 7　 3. 4. 4　 4. 15 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第五章　 四边形 命题点 1　 多边形的性质与计算 要点归纳 ①(n-2)·180°　 ②360° 随堂练习 1. (1)5;(2)720,6;(3)72,5;540;(4)45,135,8,1 080; (5)11,44 2. C 命题点 2　 平行四边形的性质与判定 要点归纳 ①相等　 ②相等　 ③互补　 ④平分　 ⑤相等　 ⑥平行且相 等　 ⑦平分　 ⑧相等　 ⑨A　 ⑩B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6 随堂练习 1. (1)120°;(2)11;(3)4;(4)(2,4);(5)①6;②2,2;③4 2. 解法 1:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, ∴ ∠AFD= ∠CEB. 又∵ AF=CE,DF=BE, ∴ △AFD≌△CEB, ∴ AD=BC,∠DAF= ∠BCE, ∴ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 2:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, 又∵ AF=CE,∴ AF+EF=CE+EF,∴ AE=CF, 又∵ DF=BE, ∴ △ABE≌△CDF,∴ AB=CD, 又∵ ∠DFE= ∠BEF,∴ ∠AFD= ∠CEB, ∵ AF=CE,DF=BE,∴ △AFD≌△CEB,∴ AD=BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 3:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, ∵ AF=CE,∴ AF+EF=CE+EF,∴ AE=CF, 又∵ DF=BE,∴ △ABE≌△CDF, ∴ ∠BAE= ∠DCF,∴ AB∥CD, 又∵ ∠DFE= ∠BEF,∴ ∠AFD= ∠CEB, 又∵ AF=CE,DF=BE, ∴ △AFD≌△CEB,∴ ∠DAF= ∠BCE,∴ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 4:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFO= ∠BEO, ∵ DF=BE,∠DOF= ∠BOE, ∴ △DFO≌△BEO,∴ OF=OE,OD=OB, 又∵ AF=CE,∴ AF+OF=CE+OE,即 OA=OC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 命题点 3　 矩形的性质与判定 要点归纳 ①平行且相等　 ②直角(90°)　 ③平分且相等 ④直角(90°)　 ⑤相等　 ⑥直角(90°) 随堂练习 1. (1)8,48;(2)4,4 5 ;(3)等边,4,2 3 ;(4)3 2. (1)①,三个角是直角的四边形是矩形; 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC, ∵ BD⊥BC, ∴ ∠CBD= ∠ADB= ∠DBE= 90°, ∵ ∠AEB= 90°, ∴ 四边形 ADBE 是矩形; (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC,AB=CD. ∵ DE=DC,DB⊥BC, ∴ DE=AB,BE=BC, ∴ AD∥BE,AD=BE, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DE=AB, ∴ 四边形 ADBE 是矩形; (3)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, ∴ ∠ADF= ∠BEF,∠DAF= ∠EBF, ∵ 点 F 是 AB 的中点, ∴ AF=BF, ∴ △ADF≌△BEF,∴ DF=EF, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DB⊥BC,∴ ∠DBE= 90°, ∴ 四边形 ADBE 是矩形. 命题点 4　 菱形的性质与判定 要点归纳 ①平行　 ②相等　 ③相等　 ④互补　 ⑤垂直平分　 ⑥平分 ⑦相等　 ⑧互相垂直　 ⑨相等　 ⑩ 2 随堂练习 1. (1)①③④;(2) ①Rt△DCO,Rt△DBO;②△ACD,△CDB, △DBA,△ABC;③等边;④OE∥AB,OE= 1 2 AB;⑤25°; (3)4 cm 命题点 5　 正方形的性质与判定 要点归纳 ①平行四边形　 ②相等　 ③直角(90°)　 ④互相垂直平分 ⑤一半　 ⑥相等　 ⑦垂直　 ⑧直角　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)∠ABC= 90°(答案不唯一);(2) ∠ABC = 90°(答案不 唯一);(3)AC⊥BD(答案不唯一);(4) ∠ABC = 90°,AB = AD (答案不唯一);(5)112. 5°,8 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六章　 圆 命题点 1　 圆的基本概念与性质 要点归纳 ①相等　 ②圆心　 ③直径　 ④相等　 ⑤相等　 ⑥∠COD　 ⑦CD　 ⑧相等　 ⑨∠COD　 􀃊􀁉􀁒CD　 􀃊􀁉􀁓∠COD　 􀃊􀁉􀁔平分 􀃊􀁉􀁕平分　 􀃊􀁉􀁖垂直　 􀃊􀁉􀁗平分　 􀃊􀁉􀁘CD　 􀃊􀁉􀁙BE　 􀃊􀁉􀁚BD ( 　 􀃊􀁉􀁛一半 􀃊􀁊􀁒相等　 􀃊􀁊􀁓直径　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 = 　 􀃊􀁊􀁖90　 􀃊􀁊􀁗 α 2 　 􀃊􀁊􀁘180°- α 2 􀃊􀁊􀁙互补　 􀃊􀁊􀁚180°　 􀃊􀁊􀁛∠B　 􀃊􀁋􀁒△BCF　 􀃊􀁋􀁓△DCF 随堂练习 1. B　 2. (1)64;(2)61;(3)92 3. (1)75°;(2)40°或 140° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7