第十六章 二次根式（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第16章 二次根式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数x有可能为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数3为正数，所以是二次根式，故此选项不符合题意； D、根指数为3，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质化简、二次根式的除法和减法进行判断即可. 【详解】A. ，故选项错误，不合题意；     B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不合题意. 故选：C 4．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 5．若，则=（   ） A．5 B．10 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加法，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 6．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的数轴表示，二次根式以及绝对值的化简，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．根据数轴可知，，进而得到，，根据二次根式的性质，以及绝对值的性质进行化简计算即可． 【详解】解：根据实数a，b在数轴上的位置可得：，， ，， ，，， ， 故选：B． 7．若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 【详解】解：是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 8．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 9．在ABC中，AB＝，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：∵在△ABC中，AB＝，BC＝， ∴﹣＜AC＜+， ∵（+）2＝8+4＜8+4×2＝16＝42， ∴+＜4， ∵＞， ∴﹣＞0， ∴0＜AC＜4， ∴AC的长度可以是2， 故选项A正确，选项B、C、D不正确， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形三边关系以及二次根式的比较大小，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答． 10．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 12．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，正确将原数变形是解题的关键． 直接利用二次根式的性质将原数变形进而得出答案． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 13．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】把7改写成，用平方差公式分解即可. 【详解】=. 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式的性质和公式法分解因式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键. 14．已知a，b为两个连续的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】因为，为两个连续的整数，且，分别求出、的值，即可计算的值． 【详解】解：，为两个连续的整数，且， 即可知，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是对无理数大小的估算，利用逐步逼近的方法进行无理数的范围估算是解决本题的关键． 15．若，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了本题考查的是二次根式和绝对值的化简求值，熟知二次根式性质和绝对值化简是解答此题的关键．根据先化简二次根式再化简绝对值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 16．将边长分别为1，，，的正方形的面积分别记为，，，令，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，正确计算出结果是关键．根据正方形的面积，得出，以此类推得出；结合，代入数值计算即可． 【详解】解：依题意， ， 以此类推： 则 ∴ ， ． 故答案为：． 三、解答题：共8题，共86分，其中第17题16分，第18~20题每小题8分，第21~22题每小题10分，第23题12分，第24题14分。 17．（16分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，实数的混合运算； （1）先化简各二次根式，求解立方根，再合并即可； （2）先计算二次根式的除法运算，化简二次根式，再合并即可； （3）先计算零次幂，化简二次根式，化简绝对值，计算算术平方根，再合并即可； （4）先计算二次根式的乘法，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 18．（8分）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，求一个数的平方根，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此可得方程组，解方程组求出x、y的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：最简二次根式和是同类二次根式， ，， 即， 解得， x、y的平方和为， x、y平方和的平方根为． 19．（8分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化． （1）先根据分母有理化求出，，即可求出； （2）由，，将原式整理成，再整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 20．（8分）已知的周长为，面积为，、的长分别为和 (1)求的长； (2)求边上的高． 【答案】(1)的长； (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的运算，正确列式计算是解题关键． （1）根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长； （2）根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以的长即可求出上的高． 【详解】（1）解：∵三角形周长为，、的长分别为 和， ∴的长是： ， 的长； （2）∵面积为， ∴上的高为： ， 上的高． 21．（10分）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整数部分得到该无理数的小数部分.例如的整数部分是1，则是的小数部分. (1)的小数部分是______； (2)已知无理数的整数部分是，小数部分是，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查无理数的整数部分与小数部分，根式的混合运算： （1）根据夹逼法求出根数的范围即可得到答案； （2）根据夹逼法求出根数的范围得到整数部分及小数部分，再代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分是：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 则的整数部分是7，即， ∴的小数部分是， ∴． 22．（10分）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 23．（12分）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解； （3）根据题意可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴将分母有理化得， 故答案为：，； （2） ； （3），理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 24．（14分）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 5．若，则=（   ） A．5 B．10 C．20 D．25 6．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 7．若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 8．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．在ABC中，AB＝，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 10．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 12．比较大小： ． 13．在实数范围内因式分解： ． 14．已知a，b为两个连续的整数，且，则 ． 15．若，化简： ． 16．将边长分别为1，，，的正方形的面积分别记为，，，令，，，，则的值为 ． 三、解答题：共8题，共86分，其中第17题16分，第18~20题每小题8分，第21~22题每小题10分，第23题12分，第24题14分。 17．（16分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根． 19．（8分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 20．（8分）已知的周长为，面积为，、的长分别为和 (1)求的长； (2)求边上的高． 21．（10分）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整数部分得到该无理数的小数部分.例如的整数部分是1，则是的小数部分. (1)的小数部分是______； (2)已知无理数的整数部分是，小数部分是，求的值. 22．（10分）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 23．（12分）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 24．（14分）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$