第十六章 二次根式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第16章 二次根式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列式子一定是二次根式的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式可得答案． 【详解】A. ，当时无意义，不一定是二次根式； B. ，被开方数a无论为何值都是非负数，一定是二次根式； C. ，当时无意义，不一定是二次根式； D. ，当时无意义，不一定是二次根式； 故选B． 2．如图，数轴被墨迹污染了，被覆盖的数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、、、的大小即可． 【详解】解：数轴被墨迹污染的数介在1与2之间， ，，， ，，，， 故选：A． 【点睛】本题考查实数与数轴，无理数的估算，理解估算方法是正确解答的前提． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的除法、乘法以及二次根式的化简进行计算即可． 【详解】A、，故本选项错误； B、＝3，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简求值是解题的关键． 4．能够使与是同类最简二次根式的x值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可 【详解】根据题意得： ，且，， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键 5．已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 6．等式成立的条件是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据代数式有意义的条件是、可得关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】解：等式成立， ， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为． 故选：D． 7．将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件，即，再根据对原式进行化简即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 即：， 解得：， 原式， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． 8．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 9．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式； 故选：A 10．观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．式子有意义的条件是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 12．比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 13．在实数范围内分解因式：= ． 【答案】 【详解】首先利用完全平方公式进行因式分解，然后利用平方差公式进行因式分解即原式==. 14．已知、、在数轴上的位置如图所示．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质、绝对值的性质、数轴，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据数轴得出后，根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可． 【详解】解：依题得：， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 15．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到，，然后利用乘法公式展开后合并即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 16．已知实数满足，则的值为 . 【答案】1 【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值． 【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008， ∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……① ∵(x−a)(y−b)=2008……② ∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b ∴x=y，a+b=0， ∴+=0， ∴x2=y2=2008， ∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007 =3×2008−2×2008+3(x−y)−2007 =2008+3×0−2007 =1. 故答案为1. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 三、解答题：共8题，共86分，其中第17题12分，第18~19题每小题8分，第20~21题每小题10分，第22~23题每小题12分，第24题14分。 17．（12分）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除进行计算即可； （2）根据二次根式的加减以及零次方幂进行计算； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．（8分）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．先求出，然后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19．（8分）把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同． (1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？ (2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？ 【答案】(1)符合条件的正整数的值为5，15，21 (2)如果是整数，那么符合条件的有无数个．其中的最大值为21，没有最小值． 【分析】本题考查的是最简二次根式的意义及同类二次根式的意义，根据本题的特点，当a为正整数时，a的取值是有限的，当a为整数时，a的取值是无限的，掌握知识点是解题关键． （1）由于a是正整数，所以可得此时的情况有，，三种； （2）当a是整数时，除了（1）中的三种情况，还可以列出无数种，所以此时a值有无数个，没有最小值，最大值是21． 【详解】（1），且与的被开方数相同， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（不合题意，舍去）． 符合条件的正整数的值为5，15，21． （2）由（1），得当时，； 当时，； …… 如果是整数，那么符合条件的有无数个． 其中的最大值为21，没有最小值． 20．（10分）如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样． （1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？ （2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）长为8cm，宽为5cm；（2）能，cm2 【分析】（1）设长方形的长为，宽为，列出方程组，解之即可； （2）设底面正方形边长为，分别计算前后单个纸盒的面积，作差比较即可． 【详解】解：（1）设长方形的长为，宽为，且； 由题意可得：， 解得：或，舍去）； 长方形的长为，宽为． （2）设底面正方形边长为，则有， ，（舍去）， 此时单个纸盒的面积为， 原来纸盒的面积为， ， ， 能节约包装盘的纸张面积，且每个牛奶盘可节约． 【点睛】本题考查二次根式的应用和剪纸的相关内容，解题的关键在于熟记长方体的体积公式并准确运算． 21．（10分）已知，． (1)求的值； (2)若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算算化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先利用分母有理化化简和，从而求出和的值，然后再利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵， ， ∴， ， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∴的小数部分是， ∴， ∵， ∴， ∴的小数部分， ∴， 22．（12分）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)a的值为或 【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ，， 又为正整数， ，或者， 当时，； 当，， 综上所述，a的值为或． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 23．（12分）【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用凑平方差公式的方法找根式的有理化因式； （2）利用有理化因式变形，再计算即可； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积求高即可；②将等式左边变形，得到，再根据有理系数和无理系数分别相等，可得方程，解之可得a，b值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴的有理化因式为； 故答案为：． （2） ； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，     中，与的角平分线相交于点， 线段， ， 的周长为，面积为3， ， 解得， 即点P到边的距离为； ② ∴，解得：． 【点睛】本题考查了因式分解、分母有理化、二次根式的混合运算、角平分线的性质，知识点较多，能够灵活运用，熟练掌握题干中涉及的定义是解题的关键． 24．（14分）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2）2019；（3） 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2）将原式进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为||+||，再根据||+||取最小值时，确定x的取值范围． 【详解】解：（1）＝＝|++|＝； （2）S＝++…+， ＝++…+， ＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|， ＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣， ＝2019+， 故整数部分为2019； （3）由题意得， +|﹣﹣|， ＝|++|+|﹣﹣|， ＝||+||， 又y+z＝3yz， 原式＝||+||， 因为||+||取最小值， 所以﹣3≤≤3，而x＞0， 因此，， 答：x的取值范围为． 【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列式子一定是二次根式的（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴被墨迹污染了，被覆盖的数不可能是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．能够使与是同类最简二次根式的x值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 5．已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．等式成立的条件是（   ） A． B． C．且 D． 7．将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 10．观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．式子有意义的条件是 ． 12．比较大小： （填“”、“”、“”）． 13．在实数范围内分解因式：= ． 14．已知、、在数轴上的位置如图所示．化简 ． 15．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 16．已知实数满足，则的值为 . 三、解答题：共8题，共86分，其中第17题12分，第18~19题每小题8分，第20~21题每小题10分，第22~23题每小题12分，第24题14分。 17．（12分）计算 (1)； (2)； (3)． 18．（8分）已知，求代数式的值． 19．（8分）把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同． (1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？ (2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？ 20．（10分）如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样． （1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？ （2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由． 21．（10分）已知，． (1)求的值； (2)若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 22．（12分）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 23．（12分）【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 24．（14分）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$