专题05 平行线的证明（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题05 平行线的证明 题型一 定义与命题 1．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）下面命题：①同位角相等；②对顶角相等；③若，则；④互补的角是邻补角．其中（    ）是真命题． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角、乘方的意义和邻补角．根据平行线的性质、对顶角、乘方的意义和邻补角判断解答即可． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； ②对顶角相等，是真命题； ③若，则或，原命题是假命题； ④互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题； 故选：B． 2．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）下列命题：①内错角相等；②相等的角是对顶角；③同旁内角互补，两直线平行；④一个角的余角一定大于这个角．其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是真假命题的判断，熟记定义与性质是解本题的关键；根据平行线的性质对①进行判断；据对顶角的定义对②进行判断；根据平行线的判定对③进行判断；根据余角的定义对④进行判断． 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，原命题为假命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题为假命题； ③同旁内角互补，两直线平行，原命题为真命题； ④一个角的余角不一定大于这个角，原命题为假命题； 故选A 3．（23-24八年级上·辽宁·期末）下列命题为真命题的是（　　） A．两直线被第三直线所截，同旁内角互补 B．三角形的一个外角等于任意两个内角的和 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．若甲、乙两组数据的平均数都是3，，，则乙组数据较稳定 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据平行线的性质和判定，三角形的外角性质，方差解答．根据平行线的性质和判定，三角形的外角性质，方差一一判断即可． 【详解】解：A、两平行线被第三直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、若甲、乙两组数据的平均数都是3，，，则甲组数据较稳定，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．三角形的内角和等于 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．如果直线，，那么直线 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，根据三角形内角和定理、对顶角的性质、平行线的性质、平行线的判定判断即可． 【详解】解：A、三角形的内角和等于，是真命题，不符合题意； B、对顶角相等，是真命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，故本选项命题是假命题，符合题意； D、如果直线，，那么直线，是真命题，不符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 C．三角形的外角大于三角形的内角 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据平行线的性质即可判断A、B；根据三角形外角的性质即可判断C；根据对顶角相等即可判断D． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； B、两平行直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，原命题是假命题，不符合题意； C、三角形的外角大于与其不相邻的三角形的内角，原命题是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 6．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．三个内角之比为的三角形是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是命题真假的判断，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行公理的含义，再逐一分析即可得到答案． 【详解】解：直角三角形的两个锐角互余，真命题， 三角形的一个外角与其不相邻大于任何一个内角，原来命题为假命题， 平行于同一条直线的两条直线平行，真命题， 三个内角之比为的三角形时，最大内角为，是直角三角形，真命题， 故选B． 题型二 平行线的性质 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列四个图形中，，能够判定的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．由不等判定，故不符合题意； B．∵，，∴，∴，故符合题意； C．由不等判定，故不符合题意； D．由能判定，，不等判定，故不符合题意； 故选B． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子反射时，，，若，则的度数是（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】C 【分析】根据，得到，根据，，推出，即得． 本题主要考查了三角形内角和与平角，解决问题的关键是熟练掌握三角形内角和等于，平角度数等于． 【详解】如图所示，∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点． 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质得到，由对顶角的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选C． 10．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据光在水中是平行的线，由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 故选∶D． 11．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，在图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 【详解】解：A、∵，∴，内错角相等，两直线平行，故该选项不符合题意； B、∵，∴，同旁内角互补，两直线平行，故该选项不符合题意； C、无法判定，故该选项符合题意； D、∵，，∴，∴，同旁内角互补，两直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，中，点在的延长线上，，如果，，那么的度数是 度． 【答案】110 【分析】本题主要查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：110 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线，直线分别交直线于点． 若，则的度数为 °． 【答案】36 【分析】本题考查求角度，涉及补角定义、平行线的性质等知识，由互补得到，再结合平行线的性质即可求出的度数，熟练掌握平行线的性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型三 三角形内角和与外角 14．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（    ）度． A．增加10 B．减少10 C．增加20 D．减少20 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等．连接，在中，求出，然后再中，求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴应减少10度． 故选：B． 15．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图的纸片， ，点P是中点，点Q从点A出发沿向点B运动，到达点B时停止运动，若将沿进行对折，点A的对应点记为点，设，，当时，与之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理．根据题意分类讨论是解题的关键．由题意知，分落在的内部，外部两种情况，利用折叠的性质，三角形内角和定理进行求解作答即可． 【详解】解：如图1， 由折叠的性质可得，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 整理得，； 如图2， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， 整理得，； 综上所述，或， 故答案为：或． 16．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点E为延长线上的一点，与的角平分线相交于点D，若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键，由三角形的外角的性质可得，再结合角平分线的性质进行等量代换可得，从而可得答案． 【详解】解： 与的平分线相交于点D， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 17．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．先根据三角形的内角和得出，再利用可得答案． 【详解】解：如图， ∵、， ∴， ∴． 故选：C． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是由一副三角板拼凑得到的，，，，A，E，B，D四点同线，E，F过点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在及中，利用三角形内角和定理，可求出及的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 19．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，，则x的值为（     ）    A．80 B．120 C．100 D．140 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，由三角形内角求得是解决问题的关键． 【详解】解：三角形内角和是 ，， ，即的值为， 故选：D． 20．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，是边上的高，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查三角形的内角和定理以及高的性质.根据三角形的内角和定理与，即可求得三个内角的度数，再根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】∵，， ∴， 解得，， 则， ∵是边上的高， ∴， ∴， 故选：C． 21．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，. 则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，根据，可得，再由三角形内角和定理求出的度数，即可求解，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故选：A． 题型四 三角形折叠问题 22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F．当是直角三角形时，度数是 度． 【答案】或 【分析】分和，两种情况进行求解即可． 【详解】解：当时，如图，则： ∵折叠， ∴， ∴； 当时，如图，则：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 综上：的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握折痕是角平分线，是解题的关键． 23．（辽宁省葫芦岛市连山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，中，，，D点在边AB上运动（与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点若是等腰三角形，则的值为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】解：将沿翻折至处， ，，， ，， 当，则， ， ； 当，则， ， ， 故答案为：或． 题型五 平行线的证明 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接． (1)已知，直接写出的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线定义，垂线，平行线的性质． （1）由平行线的性质得到，而，得到，求出，由垂直的定义得到，即可求出； （2）由（1）知，，由余角的性质推出，即可证明平分． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴ ∴， ∴平分． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．请判断与的数量关系并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质．根据三角形的外角，得到，平行线的性质，得到，根据，即可得出结论．掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：，证明如下： ∵，，是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）将一副直角三角尺如图摆放，点在的延长线上，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，三角形的内角和为180度；根据三角形的内角和，得出，，再根据平行线的性质得出，最后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接． (1)试说明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可得，则，，进而结论得证； （2）由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，为边上的高，平分外角，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角性质、勾股定理等知识： （1）由，得，由平分，得，则，所以； （2）由为边上的高，证明，由勾股定理得，则的长为． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分外角， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵为边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 29．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证∠A＝∠F 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠2＝∠DGF（　 　） ∴∠1＝∠DGF（等量代换） ∴　 　∥　 　（　 　） ∴∠3+∠　 　＝180°（　 　） 又∵∠3＝∠4（已知） ∴∠4+∠C＝180°（等量代换） ∴　 　∥　 　（　 　） ∴∠A＝∠F（　 　） 【答案】对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】先证明BD∥CE，得出同旁内角互补∠3+∠C=180°，再由已知得出∠4+∠C=180°，证出 AC∥DF，即可得出结论． 【详解】∵∠1＝∠2（已知） ∠2＝∠DGF（对顶角相等） ∴∠1＝∠DGF（ 等量代换  ） ∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行） ∴∠3+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠3＝∠4（已知） ∴∠4+∠C＝180° ∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意两者的区别． 题型六 三角形内角和与外角证明 30．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，平分，点E在上，过点E作交于点F，的平分线交于点M，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质，平行线性质，内角和定理．根据题意利用角平分线性质得，，再利用平行线性质得，，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 31．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点 (1)求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的外角及性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键． （1）根据、、即可求证； （2）求出，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， （2）解：平分， ， ， ， ， 32．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，是边上的高，． (1)　　　　； (2)若平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，交的和差计算． (1)根据，结合，计算即可． (2)根据，得，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）是边上的高， ． ， ， ． 又平分， ． ． 题型七 平行线的综合大题 33．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 34．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）综合与实践 【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点作 小红：如图3，延长交于点 请你选择一位同学的方法，并进行证明： 【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义和三角形的外角的性质： [探索发现]选择小刚添加辅助线的方法，证得，进而可求得，即可求得答案；选择小红添加辅助线的方法，求得，结合即可求得答案． [拓展延伸] 根据已知得出 ，由，得出，即可得证． [拓展延伸]设，在（）的条件下，，解得： 设， ，解得：，即可求解． 【详解】探索发现解：小刚的证明如下： 过点作， ， ， ，， ， 即； 小红的证明如下： 延长交于点， ， ， ， 即； [深入思考] 证明：，， ， ， ， ； [拓展延伸] 解：平分，， ， 设， ， ， 在（）的条件下， ， ， 解得：， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， 在（）的条件下， ， ， 即，   解得：， ． 35．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)或； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）①如图1中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； ②过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； （2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：如图1中，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②证明： 如图2， 过点作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设交于，如图3， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当点在的延长线上时，同法可证，如图4： 36．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）如图1，在中，请说明：，为解决这一问题，同学们多用于下列两种思路： ①如图2，延长到，过点作射线，相当于把都移到了顶点的位置，利用图形特点获得的数量关系； ②如图3，过点作直线，相当于把都移到了顶点的位置，再利用图形特点获得的数量关系； 请你选择上述的一种思路，说明的内角和为． 【类比分析】 （2）如图4，已知，过点作直线为线段上一点，连接，若，求的度数． 【学以致用】 （3）如图5，，若，，请你判断三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；②见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和的证明和应用，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）①由平行线的性质，得到再结合平角求解即可； ②由平行线的性质，得到，，再结合平角求解即可； （2）作，则，推出，得到，进而得到，即可求出的度数； （3）延长交于点，延长交于点，根据平行线的性质，得到，，由，得出，进而推出，由，得出，再根据三角形外角的性质，得到，即可证明结论． 【详解】（1）选择①，如图2 延长到，过点作射线， ； 选择②，如图3过点A作， ，， ； （2）如图4，作，则， ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： 如图5，延长交于点，延长交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 37．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知直线，直线l与、分别交于点A、点C． (1)如图1，点E在线段上，连接、．求证：； (2)如图2，点E在线段的延长线上，连接，过点B作，试画出图形并直接写出与的数量关系； (3)如图3，点E在、之间且平分，，以点E为圆心，为半径画弧，交于点K，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)或； (3) 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得出，，即可证明结论； （2）分两种情况讨论：①当点在下方时；②当点在上方时，利用平行线的性质和三角形内角和定理分别求解，即可得到答案； （3）证明，得到，再利用平行线的性质和三角形内角和定理，得出，进而得到，由等腰三角形的性质，得出，最后由，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ， ， ， 即； （2）解：①如图，当点在下方时，与直线交于点， ， ， ， ， ， ， ， 即； ②如图，当点在上方时，延长交直线交于点， 同①理可得：， ， ， 综上可知，与的数量关系为或； （3）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 以点E为圆心，为半径画弧， ， ， ， ，且， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角新的判定和性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 题型八 三角形内角和与外角综合大题 38．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，令，，． 【问题初探】 （1）如图1，若点在线段上，且，则______°； （2）如图2，若点在线段上运动，则，，之间的数量关系为______； 【问题再探】 （3）如图3，若点在线段的延长线上运动，求，，之间的数量关系； （4）如图4，若点运动到的内部，求，，之间的数量关系． 【问题解决】 （5）若点运动到的外部，且满足与点分别居于直线的两侧时，请直接写出此时，，之间的数量关系． 【答案】（1）120；（2）；（3）；（4）；（5）；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系． （1）（2）均先根据三角形内角和定理求出和，再根据求出，从而求出答案即可； （3）先根据三角形内角和定理求出和，，再根据，从而求出答案即可； （4）先根据三角形内角和定理求出，再根据五边形内角和公式求出，从而得到答案即可； （5）分三种情况讨论：①在线段的延长线上，②不在线段的延长线上，③当点P在延长线上，分别画出图形进行解答即可． 【详解】解：（1），， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （4），， ， 五边形的内角和为， ， ， 即； （5）由题意可知点的位置可能两种情况， ①在线段的延长线上，如（3），，之间的数量关系为：； ②不在线段的延长线上，有两种情况 第一种如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， 第二种如图所示： ∵， ． ③当点P在延长线上时，如图：， ， ， ， ； 若点运动到的外部，且满足与点A分别居于直线的两侧时，，，之间的数量关系为：；；． 39．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． （1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可； （2）利用（1）的相关结论即可解答； （3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，即 故答案为； （3）解：如图3，延长交于F， ∵， ∴， ∵平分，平分, ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴． 故答案为． 三、填空题 四、新添加的题型 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线的证明 题型一 定义与命题 1．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）下面命题：①同位角相等；②对顶角相等；③若，则；④互补的角是邻补角．其中（    ）是真命题． A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）下列命题：①内错角相等；②相等的角是对顶角；③同旁内角互补，两直线平行；④一个角的余角一定大于这个角．其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·辽宁·期末）下列命题为真命题的是（　　） A．两直线被第三直线所截，同旁内角互补 B．三角形的一个外角等于任意两个内角的和 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．若甲、乙两组数据的平均数都是3，，，则乙组数据较稳定 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．三角形的内角和等于 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．如果直线，，那么直线 5．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 C．三角形的外角大于三角形的内角 D．对顶角相等 6．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．三个内角之比为的三角形是直角三角形 题型二 平行线的性质 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列四个图形中，，能够判定的是（   ） A．B．C．D． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子反射时，，，若，则的度数是（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点． 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，中，点在的延长线上，，如果，，那么的度数是 度． 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线，直线分别交直线于点． 若，则的度数为 °． 题型三 三角形内角和与外角 14．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（    ）度． A．增加10 B．减少10 C．增加20 D．减少20 15．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图的纸片， ，点P是中点，点Q从点A出发沿向点B运动，到达点B时停止运动，若将沿进行对折，点A的对应点记为点，设，，当时，与之间的数量关系为 ． 16．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点E为延长线上的一点，与的角平分线相交于点D，若，则的度数为 ． 17．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是由一副三角板拼凑得到的，，，，A，E，B，D四点同线，E，F过点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，，则x的值为（     ）    A．80 B．120 C．100 D．140 20．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，是边上的高，求的度数是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，. 则度数为（     ） A． B． C． D． 题型四 三角形折叠问题 22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F．当是直角三角形时，度数是 度． 23．（辽宁省葫芦岛市连山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，中，，，D点在边AB上运动（与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点若是等腰三角形，则的值为 ．    题型五 平行线的证明 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接． (1)已知，直接写出的度数； (2)求证：平分． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．请判断与的数量关系并证明． 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）将一副直角三角尺如图摆放，点在的延长线上，，，求的度数． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接． (1)试说明：； (2)若，平分，求的度数． 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，为边上的高，平分外角，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 29．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证∠A＝∠F 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠2＝∠DGF（　 　） ∴∠1＝∠DGF（等量代换） ∴　 　∥　 　（　 　） ∴∠3+∠　 　＝180°（　 　） 又∵∠3＝∠4（已知） ∴∠4+∠C＝180°（等量代换） ∴　 　∥　 　（　 　） ∴∠A＝∠F（　 　） 题型六 三角形内角和与外角证明 30．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，平分，点E在上，过点E作交于点F，的平分线交于点M，若，求的度数． 31．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点 (1)求证：； (2)若，，求的度数. 32．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，是边上的高，． (1)　　　　； (2)若平分交于点，，求的度数． 题型七 平行线的综合大题 33．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 34．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）综合与实践 【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点作 小红：如图3，延长交于点 请你选择一位同学的方法，并进行证明： 【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 35．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 36．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）如图1，在中，请说明：，为解决这一问题，同学们多用于下列两种思路： ①如图2，延长到，过点作射线，相当于把都移到了顶点的位置，利用图形特点获得的数量关系； ②如图3，过点作直线，相当于把都移到了顶点的位置，再利用图形特点获得的数量关系； 请你选择上述的一种思路，说明的内角和为． 【类比分析】 （2）如图4，已知，过点作直线为线段上一点，连接，若，求的度数． 【学以致用】 （3）如图5，，若，，请你判断三者之间的数量关系，并说明理由． 37．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知直线，直线l与、分别交于点A、点C． (1)如图1，点E在线段上，连接、．求证：； (2)如图2，点E在线段的延长线上，连接，过点B作，试画出图形并直接写出与的数量关系； (3)如图3，点E在、之间且平分，，以点E为圆心，为半径画弧，交于点K，若，求的度数． 题型八 三角形内角和与外角综合大题 38．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，令，，． 【问题初探】 （1）如图1，若点在线段上，且，则______°； （2）如图2，若点在线段上运动，则，，之间的数量关系为______； 【问题再探】 （3）如图3，若点在线段的延长线上运动，求，，之间的数量关系； （4）如图4，若点运动到的内部，求，，之间的数量关系． 【问题解决】 （5）若点运动到的外部，且满足与点分别居于直线的两侧时，请直接写出此时，，之间的数量关系． 39．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$