专题06 圆锥曲线选填题秒杀技巧（思维导图+知识串讲+八大题型+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

专题06 圆锥曲线选填题秒杀技巧 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点01：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 知识点02：中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 知识点03： 双曲线焦点到渐近线的距离为 知识点04：设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则． 知识点05：已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如图1.若,则 图1 图2 如图2.若，则 知识点06：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 知识点07：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 知识点08：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 考点剖析 【题型一：焦点三角形的面积公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【题型二：中点弦问题(点差法)秒杀公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【题型三：双曲线焦点到渐近线的距离为b】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点分别为双曲线的右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为 . 【题型四：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式】 一、填空题 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且，则= ． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ． 3．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为 . 【题型五：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式】 一、单选题 1．（22-23高二上·天津·期末）设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知双曲线（，）的右焦点为，经过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线与双曲线的另一条渐近线相交于点，若    ，则双曲线的离心率 . 【题型六：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式】 一、单选题 1．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴仅有1个交点 D．或 【题型七：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式】 一、填空题 1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则 ；的面积为 . 二、单选题 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（   ） A．4 B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【题型八：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则下列直线与以为直径的圆相切的是（    ） A．轴 B． C． D．不存在 二、多选题 2．（2024·广西柳州·一模）过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（   ）． A． B． C．以为直径的圆与轴相切 D． 三、填空题 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知抛物线方程为，其焦点为．①过作直线交抛物线于两点，以为直径的圆与直线相切；②过作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，，以为直径的圆与轴相切.在以上两个条件中任选一个，则 ． 过关检测 一、单选题 1．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为，则的焦距的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（    ） A． B． C． D．为直角三角形 6．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴仅有1个交点 D．或 二、多选题 7．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 8．（23-24高二下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 9．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（    ） A． B．直线l的斜率为 C．，，成等差数列 D．的内切圆半径 三、填空题 10．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ． 11．（2024·四川成都·模拟预测）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则三角形的面积为 . 12．（24-25高二上·天津·期中）设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 13．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则双曲线的离心率为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆锥曲线选填题秒杀技巧 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点01：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 知识点02：中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 知识点03： 双曲线焦点到渐近线的距离为 知识点04：设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则． 知识点05：已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如图1.若,则 图1 图2 如图2.若，则 知识点06：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 知识点07：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 知识点08：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 考点剖析 【题型一：焦点三角形的面积公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积. 【详解】由椭圆方程可知：， 设， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 故选：C. 2．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得. 【详解】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 3．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先由的面积得，再由勾股定理结合双曲线的定义以及即可求解. 【详解】由题得，所以， 因为，所以， 则，所以即， 又，所以即. 故选：B. 【题型二：中点弦问题(点差法)秒杀公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理可知，，结合直线的位置关系，即可求解. 【详解】圆 的圆心为，而点， 所以 由题意可知，， 则，所以 所以弦所在的直线的方程为， 即. 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】设点、， 因为点为线段的中点，则，， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，将这两个等式作差可得， 即，所以，直线的斜率为. 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用“点差法”得到，结合条件得到 ，即可求解. 【详解】设，因为点在双曲线上， 则，两式相减可得， 整理可得，又线段的中点是，则， 所以，又直线过点，得到，所以，得到， 故选：C. 【题型三：双曲线焦点到渐近线的距离为b】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式可得双曲线的上焦点到其渐近线的距离为，则，再结合双曲线的渐近线方程即可得答案. 【详解】设的半焦距为，则， 根据对称性，可知的上焦点到其渐近线的距离为， 所以，所以的渐近线的斜率为. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线写出渐近线和焦点坐标，利用点到线距离公式列方程可得，再由双曲线参数关系及离心率公式求结果. 【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且， 所以，即，又，所以， 所以. 故选：D 二、填空题 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点分别为双曲线的右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】求出双曲线的一个焦点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式及条件，可得结果. 【详解】不妨设双曲线的一个焦点设为，， 一条渐近线的方程设为，，由题意可得， 又，∴，即， ∴，∴. 故答案为： 【题型四：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式】 一、填空题 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且，则= ． 【答案】或 【分析】本题先是利用直线的斜率求出，再由以及椭圆定义求出的长，最后利用余弦定理即可求得结果． 【详解】直线的斜率为， ， ； 又，设， ，又， ； 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ． 【答案】或 【分析】根据题意，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后由，代入计算，即可得到结果. 【详解】    因为，，所以，， 设， 所以椭圆方程可化为，即， 所以直线方程为， 联立，消去可得， 则， 所以， 令，则，化简可得， 解得，所以，或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及一元二次方程根与系数的关系，难度较大，解答本题的关键在于将转化为. 3．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为 . 【答案】或 【分析】利用双曲线的第二定义求出焦半径的表达式，再根据，得，再由列等式求解. 【详解】如图，设双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的右支上， 连接，过点作右准线的垂线，记， 则由双曲线的第二定义知，，其中. 即，整理得，. 由双曲线，得， 所以，，离心率， 由题设直线的倾斜角为，由，知， ， 所以，或，‘ 解得或， 把代入，可求得或. 故直线的斜率为或. 故答案为：或. 【题型五：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式】 一、单选题 1．（22-23高二上·天津·期末）设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的右焦点，求出的坐标，求出的坐标，根据求出即得解. 【详解】设双曲线的右焦点， 则过点且斜率为的直线的方程为，渐近线方程是． 由，得， 由,得， 所以，． 由，得， 则，即，则， 则， 故选：D． 2．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系写出过点F的直线AB的方程，分别联立直线AB与两渐近线的方程求出点A、B的横坐标，由知，从而得，带入、可得a、c的关系式，化简方程即可求得离心率. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为：， 设过点与渐近线垂直的方程为， 由，得， 由，得， 因为，所以，则， 所以，化简得，即， 解得（舍去）或，则. 故选：D 【点睛】与斜率为k的直线垂直的直线斜率为. 二、填空题 3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知双曲线（，）的右焦点为，经过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线与双曲线的另一条渐近线相交于点，若    ，则双曲线的离心率 . 【答案】 【分析】设直线，，由，得到，从而有，根据条件有，从而得到，再利用，即可求出结果. 【详解】易知，如图，由对称性不妨设直线，， 由，消得到， 则， 因为，所以，得到，即， 将代入，整理得到， 又易知，所以，得到，即， 所以双曲线的离心率， 故答案：. 【题型六：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式】 一、单选题 1．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由抛物线的定义可知，再由抛物线的性质可得即可求解. 【详解】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点， 过焦点作垂直于于点，由题意可知， 根据抛物线的定义 在中，，又， 所以， 解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴仅有1个交点 D．或 【答案】C 【分析】设直线，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由求出，即可判断，再由弦长公式求出即可判断，利用抛物线的几何意义判断，求出，，由即可判断. 【详解】 依题意，设直线，，， 由，整理得，则， 所以，， 所以， 解得，所以， 又，解得， 所以，又， 所以，故错误； 因为，故错误； 因为，又线段的中点到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相切，即仅有个交点，故正确； 因为，若，则，解得或； 若，则，解得或； 即、或、， 所以或，故错误. 故选：. 【题型七：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式】 一、填空题 1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则 ；的面积为 . 【答案】 【分析】设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出，结合韦达定理可求得的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设点、，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以，，解得， 所以，，，则， 直线交轴于点， 所以，. 故答案为：；. 二、单选题 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 由可得两个交点的坐标分别为， 所以， 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 联立，消去可得， 则，， 综上可得，， 所以. 故选：B 3．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解； 【详解】    设点，，直线， 联立，化简为，， ，， ， ， ，， ，， ，，， 又，直线与横轴交点的横坐标为2， ，， 则. 故选：B. 【题型八：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则下列直线与以为直径的圆相切的是（    ） A．轴 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】由抛物线焦点弦的性质即可判断. 【详解】抛物线焦点为，即，， 故抛物线，准线方程为，由焦点弦性质知，以弦为直径的圆与准线相切. 故选:B． 二、多选题 2．（2024·广西柳州·一模）过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（   ）． A． B． C．以为直径的圆与轴相切 D． 【答案】ACD 【分析】设直线l的方程为，，，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可判断B；设，由可判断A；比较半径与圆心到轴的距离即可判断C；由抛物线的定义表示出，将韦达定理代入化简可判断D. 【详解】由题意可设过点的直线l的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 即，所以，， ， 所以，所以，故B错误； 设，设直线的方程为，令，所以， , 所以直线的斜率为，所以，故A正确. 因为，所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆心到轴的距离为，所以以为直径的圆与轴相切，故C正确； 由抛物线的定义知：， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知抛物线方程为，其焦点为．①过作直线交抛物线于两点，以为直径的圆与直线相切；②过作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，，以为直径的圆与轴相切.在以上两个条件中任选一个，则 ． 【答案】2 【分析】若选择条件①：可以根据焦点弦的弦长公式列方程即可求解；若选择条件②：可以根据抛物线性质以及解直角三角形知识即可求解. 【详解】若选择条件①：设，，则以为直径的圆的半径， 根据焦点弦的弦长公式可得，以为直径的圆的直径， 所以半径为，则，解得． 若选择条件②：因为以为直径的圆与轴相切，所以圆的半径为2， 则，即， 过点作轴的垂线，垂足为，如图，    在中，由已知条件可得，，所以， 则，所以，解得． 故答案为：2. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解. 【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以， 设，可得，且， 两式相减，可得， 可得，所以直线的方程为， 即. 故选：A． 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为，则的焦距的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件以及几何关系先确定，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】根据题意双曲线的一条渐近线方程为，即，    设点到渐近线的距离为，则， 所以，因为，，所以， 所以，所以；的焦距为， 又，当且仅当时，等号成立. 故选：C 3．（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的中点坐标利用点差法求得，再由计算可得答案. 【详解】设椭圆方程为， 易知直线的斜率为； 设，则，所以，； 易知，两式相减可得； 即，可得， 又，可得，所以； 即椭圆的方程为. 故选：A 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率. 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得， 整理可得，即，可得， 即双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（    ） A． B． C． D．为直角三角形 【答案】C 【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论；对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可；对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断；对于选项D，由是A，B在准线上的射影，可求出，进而判断D正确. 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，故A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，， 所以， 当时，也适合上式，所以，故B正确； 对于选项C，， 所以，同理可得， 所以，故C错误； 对于选项D，由抛物线的定义可知，，则. 因为，所以，则. 同理可得. 因为， 所以. 所以为直角三角形，选项D正确； 故选：C. 6．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴仅有1个交点 D．或 【答案】C 【分析】设直线，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由求出，即可判断，再由弦长公式求出即可判断，利用抛物线的几何意义判断，求出，，由即可判断. 【详解】 依题意，设直线，，， 由，整理得，则， 所以，， 所以， 解得，所以， 又，解得， 所以，又， 所以，故错误； 因为，故错误； 因为，又线段的中点到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相切，即仅有个交点，故正确； 因为，若，则，解得或； 若，则，解得或； 即、或、， 所以或，故错误. 故选：. 二、多选题 7．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示：    过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 8．（23-24高二下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BC 【分析】由题意设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，得，再表示出，则可表示出，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零， 设直线为，， 由，得， 因为， 所以， 所以， 所以， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，所以A错误， 对于B，因为线段的中点为，，则 到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为， 所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C正确， 对于D，因为 ，所以D错误， 故选：BC 9．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（    ） A． B．直线l的斜率为 C．，，成等差数列 D．的内切圆半径 【答案】AC 【分析】对于A：由得，可证得结论成立；对于B：设，由结合韦达定理可求得的值即得斜率；对于C：可证得A点为椭圆的上顶点，求出，，验证即可；对于D，可得是以A为直角的直角三角形，根据直角三角形内切圆半径公式求解即可. 【详解】    如图1：因为， 设，则， 所以，所以，故，故A正确. 设，，， 由椭圆离心率为可得：，，故椭圆方程可化为：， 联立直线l方程整理得：. 设，，则有：，， 又，所以，， 所以 ，解得：，故，故B错误. 如图2：设椭圆上顶点为，则， 因为所以， 所以与重合，所以为上顶点， 故，，， 易知满足，故C正确 对于D：由知：是以A为直角的直角三角形， 故内切圆半径，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 10．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】设点在第一象限，由双曲线定义得，由勾股定理得，故，即可计算三角形面积. 【详解】由得，所以. 不妨设点在第一象限，则，故 ∵，∴， ∴，即， ∴， ． 故答案为：2. 11．（2024·四川成都·模拟预测）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则三角形的面积为 . 【答案】/ 【分析】根据直线方程求出焦点，进而得到抛物线方程，与直线方程联立后得到两根之和，进而得到弦长，结合点到直线距离求出面积. 【详解】由题意可知直线过点，即为抛物线的焦点， 所以，抛物线的方程为， 设， 由消去并化简得， 解得，所以， 直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为. 故答案为： 12．（24-25高二上·天津·期中）设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 【答案】 / 【分析】利用椭圆的定义及余弦定理求出，即可求出的面积，再由等面积法求出内切圆的半径． 【详解】由椭圆方程可得，，则， ，， 在中，， 即，解得， ， 设内切圆半径为，的周长为， 所以，解得. 故答案为：；. 13．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得，进而得到，分别在直角三角形中运用勾股定理，在中，运用余弦定理，结合双曲线的定义和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】双曲线的方程为，一条渐近线方程为， 设，可得， 若，则，由双曲线的定义可得， 在直角三角形中，，， 在中， ， 即有， 所以，即， 则. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$