第20讲 排列组合常见题型与技巧（思维导图+2知识点+七大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第20讲 排列组合常见题型与技巧 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：特殊元素（位置）法】 【考点二：捆绑法】 【考点三：插空法】 【考点四：倍缩法】 【考点五：排数问题】 【考点六：分组分配问题】 【考点七：涂色问题】 模块四 小试牛刀过关测 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.通过实例，理解排列、组合的概念. 3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 4.能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题. 一、排列组合中常见问题及其技巧 1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法 3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配． (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 5.涂色问题常用方法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 二、方法技巧分类 ①特殊元素（位置）法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 ②捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. ③插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求. ④倍缩法 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法. ⑤排数问题 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. ⑥分组、分配问题 ①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． ③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． ⑦涂色问题 解决涂色问题的一般思路 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 【考点一：特殊元素（位置）法】 一、单选题 1．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法， 由分步乘法计数原理得不同排法种数是. 故选：B 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．360 【答案】D 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲，再排其余6人即可. 【详解】分步完成：甲不担任四辩，共有3种方法；剩下6名同学任选3人，且任意排序，共有种，所以一共有种， 故选：D. 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（    ） A．216 B．432 C．864 D．1728 【答案】B 【分析】先排班长左侧再排班长右侧位置即可求得排法总数. 【详解】班长站在中间，有1个方法，先选2男生1女生排在班长左侧，有个方法， 将余下的3人排在班长右侧，有个方法， 则符合要求的方法总数为. 故选：B 4．（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【答案】B 【分析】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解. 【详解】当甲被选中时，不同的选派方案有种； 甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种. 故选：B. 5．（23-24高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】C 【分析】设最后两人为丁和戊，然后分甲、乙在丁、戊之间和丁、戊在甲、乙一侧时讨论即可. 【详解】设剩下的两人分别为丁和戊， ①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素， 丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站， 则共有种； ②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法， 丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站， 则该种情况共有种， 则总共有种不同安排方法. 故选：C. 6．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 【答案】A 【分析】以“宫”的顺序将音阶排序分为四类，再考虑“商”“角”顺序，运用排列组合知识可得答案. 【详解】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶， 排成的音序有种； ④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶， 排成的音序有种. 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：A. 【考点二：捆绑法】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏淮安·期中）五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 【答案】C 【分析】运用相邻元素“捆绑法”易得. 【详解】运用相邻元素“捆绑法”，将甲和乙看成一个元素与其他三个同学全排，有种排法， 再对甲乙“松绑”，有种排法， 由分步乘法计数原理可得，排队方案共有种. 故选：C. 2．（23-24高二下·四川眉山·期末）一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式判断即得. 【详解】将同科目的书视为一个整体，排列3个科目的书有种方法， 再分别排列同科目的书，分别有种方法， 所以不同的放法种数为. 故选：D 3．（23-24高二下·山西忻州·阶段练习）学校要安排一场文艺晚会的12个节目（2个小品节目、2个话剧节目、4个音乐节目、4个舞蹈节目）的演出顺序，要求2个小品节目必须相邻，2个话剧节目不能相邻，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据相邻捆绑法和不相邻插空法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】先捆绑2个小品节目，再和4个音乐节目、4个舞蹈节目排列，然后插入2个话剧节目， 不同的排法数为． 故选：B. 4．（2024高三·全国·专题练习）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（   ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】用排除法，5本书的全排列减去语文书和数学书中只有一种是两本相邻的排列数，再减去语文书相邻数学书也相邻的排列数即可得． 【详解】 故选：B． 5．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】由题意可得丙不是第1名，甲乙相邻，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案. 【详解】解：由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻； 所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况； 丙是第3名时，甲，乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况； 丙是第4名时，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名， 当甲，乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况； 当甲，乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况； 所以一共有2+2+2+2=8种情况. 故选：C. 【考点三：插空法】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期中）为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（    ）种站队方法． A．144 B．64 C．48 D．56 【答案】C 【分析】先排男生，再根据条件女生插空，即可求解. 【详解】先排4名男生，4名男生之间有3个空，中间的位置留给女生甲， 剩下的2个空，留给剩下的2名女生，共有种站法. 故选：C 2．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 【答案】D 【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解． 【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择， 当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择， 所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）. 故选：D 3．（23-24高二下·山西临汾·期中）将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．56 B．126 C．210 D．462 【答案】B 【分析】根据题意，结合“隔板法”，即可求解. 【详解】将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班， 每个班至少有1个名额的分法， 类比于用5个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成6堆， 由于 10 个小球中间共有9个空隙， 因此共有 种不同的分法. 故选：B 4．（23-24高二下·山西长治·期中）甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛，决出第一名到第六名的名次，甲乙两人向老师询问成绩.老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高.”对乙说：“很遗憾，你不是第一名.”根据以上信息，6人的名次排列的情况有（    ） A．300种 B．120种 C．240种 D．180种 【答案】D 【分析】根据师生对话，结合三人的相对名次，利用插空法进行求解即可. 【详解】因为老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高， 所以有两种相对名次，一是乙、丙、甲，二是丙、乙、甲， 因此不同的名次有种可能； 老师对乙说：“很遗憾，你不是第一名， 当乙是第一名时，有甲没有丙的名次高，这时不同的名次有种可能， 因此6人的名次排列的情况有种可能， 故选：D 5．（24-25高三上·浙江·开学考试）将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（） A．20 B．36 C．54 D．108 【答案】C 【分析】根据题意可知最多有4个红球，因此根据红球个数进行讨论即可，不相邻问题用“插空法”. 【详解】8个除颜色外完全相同的球，要使红球互不相邻，则最多有4个红球，根据红球个数分类讨论: 1个红球7个黑球：先排7个黑球共有1中排法，从8个空里面选出1个空让红球插入，有种选法; 2个红球6个黑球：先排6个黑球共有1中排法，从7个空里面选出2个空让红球插入，有种选法; 3个红球5个黑球：先排5个黑球共有1中排法，从6个空里面选出3个空让红球插入，有种选法; 4个红球4个黑球：先排4个黑球共有1中排法，从5个空里面选出4个空让红球插入，有种选法; 所以满足条件的不同排列方法的总数之和为. 故选：C. 【考点四：倍缩法】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 2．（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 【答案】C 【分析】利用定序倍缩法即可得解. 【详解】因为A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，且A须在B前面出场， 所以有种出场顺序. 故选：C 3．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（   ） A．840种 B．839种 C．2520种 D．2519 种 【答案】B 【分析】7个字母中有3个字母是重复的，所以共有种排法，可解问题. 【详解】7个字母的全排列有种， 因为有3个字母是重复的，所以共有种排法， 除去1种正确的写法，所以出现的错误写法共有839种. 故选：B. 4．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为. 故选：B 5．（23-24高二下·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 【答案】C 【分析】由排列数的计算，结合定序问题倍缩法，代入计算，即可求解. 【详解】 将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为， 问题等价于8只气球排列， 其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球， 则有种. 故选：C 【考点五：排数问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广西桂林·期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（    ） A．8 B．12 C．18 D．72 【答案】D 【分析】利用分步计数原理，结合组合数与排列数，即可计算结果. 【详解】从1，3，5，7中任取2个数的方法数有； 从2，4中任取1个数的方法数有； 选出的3个数的排列有； 再利用分步计数乘法原理得： 可以组成没有重复数字的三位数的个数有. 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）从2，3，，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为（    ） A．35 B．42 C．105 D．210 【答案】A 【分析】利用排列与组合的相关知识即可得解. 【详解】由于取出三个数字后大小次序已确定， 只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位， 因此满足条件的三位数的个数为. 故选：A. 3．（23-24高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 【答案】A 【分析】分最高位是5和最高位是4两种情况，结合排列组合知识求解． 【详解】若最高位是5，则个位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有种， 若最高位是4，则个位可以是0或2，其它位任意排列，共有种， 所以比400000大的偶数的排列方法一共有种． 故选：A． 4．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得. 【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个； 最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个， 所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为. 故选：C 5．（23-24高二下·湖北十堰·期末）已知样本数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为，第75百分位数为，从样本数据落在区间内的数据中各取一个数组成一个三位数，则所组成的三位数中能被3整除的个数为（    ） A．54 B．60 C．64 D．72 【答案】C 【分析】先利用百分位数的定义求出，然后可知从中各取一个数组成的3位数是3的倍数，利用列举法求解. 【详解】因为，所以第25百分位数为2，所以， 因为，所以第75百分位数为7，所以， 所以从中各取一个数. 因为所组成的三位数能被3整除，所以所取的三个数字可以为， ， 其中含0的每组可组成4个不同的三位数，不含0的每组可组成6个不同的三位数， 所以共有个不同的三位数. 故选：C 【考点六：分组分配问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【分析】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可. 【详解】5名学生分成三组的情况有或， 当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种， 所以，一共有种方法. 故选：C. 2．（23-24高二下·安徽亳州·阶段练习）2024年5月3日，嫦娥六号搭乘长征五号遥五运载火箭在海南文昌发射场发射升空，并进入地月转移轨道，发射任务圆满成功，由此开启了预计为期53天的全球首次月球背面取样返回之旅.某科研所有六位地质学家应邀去甲､乙､丙､丁四所中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，每名地质学家去一所中学，则不同的派遣方法的种数为（    ） A．288 B．376 C．1560 D．1520 【答案】C 【分析】先将六名科学家分成四组，分类讨论分组分法后再分配即可. 【详解】先将六位地质学家分为4组， 若分为的四组，有种分组方法， 若分为的四组，有种分组方法，则共有种分组方法； 再将4组分配到4所中学，有24种分派方法，则共有种不同的派遣方法. 故选：C. 3．（24-25高二上·广西·期末）甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（    ） A．150 B．243 C．183 D．393 【答案】B 【分析】根据甲，乙，丙3名学生观看电影分1人观看5部电影，2人观看5部电影，3人观看5部电影，利用分类加法计数即可解答. 【详解】分三类，第一类：1个人观看5部电影有3种情况； 第二类：2个人观看5部电影有种情况； 第三类：3个人观看5部电影有种情况； 所以共有：种情况. 故选：B. 4．（23-24高二下·福建泉州·期末）如图为某公交线路图的一部分，现在6名同学从安一中站点上车，分组到人民银行、实验小学、凤山公园、凤山书院4个站点参加公益宣传活动，每个站点至少一人，且实验小学站至少2人，则下车的不同方案种数为（    ） A．120 B．480 C．540 D．660 【答案】D 【分析】分别考虑实验小学站2人，实验小学站3人，根据分组分配问题，结合排列组合即可求解． 【详解】当实验小学站2人，种． 实验小学站3人，种． 则下车的不同方案种数为． 故选：D． 5．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 【答案】B 【分析】由题意问题可分为不考虑甲、乙是否在同一天值班和甲、乙在同一天值班两种情况，，两种情况分别用分组分配方法求解即可. 【详解】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班， 可分为与两种情况， ①：；②：，共有150种情况． 若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况， ①都在2人组：；②都在3人组：， 考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法． 故选：B 【考点七：涂色问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，有多少种不同涂色方法（   ） 1 3 4 2 5 A．120 B．72 C．288 D．144 【答案】D 【分析】根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理即可求解． 【详解】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法， 区域4可选剩下的一种或选区域1，2所选的颜色，共有3种选法， 区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法， 共有种． 故选：D 2．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 【答案】B 【分析】按所用颜色数分类求解. 【详解】由题意，当用4种颜色时，有种方法； 当用3种颜色时，则同色或同色，有种方法； 当用2种颜色时，则同色且同色，有种方法； 故共有种方法. 故选：B. 3．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（    ）种不同的涂色方法.    A．108 B．96 C．84 D．48 【答案】A 【分析】分类考虑，选2种颜色，或选3种颜色，或选4种颜色涂色，计算出各种情况的涂色方法，根据分类加法原理，即可求得答案. 【详解】若选2种颜色，则①③同色，②④同色，共有种涂色方法； 若选3种颜色，则①③或者②④或者①④中必有两块区域同色，另两块区域不同色，共有种涂色方法； 若选4种颜色，共有种涂色方法； 故共有（种）涂色方法， 故选：A 4．（23-24高三上·河南·期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（    ） A．216 B．360 C．720 D．1080 【答案】D 【分析】根据题意，结合棱柱的结构特征，分3步讨论侧棱、上底、下底的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，如图： 分3步进行分析： ①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法， ②对于上底，有4种颜色可选，则有， ③对于下底，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有种选法， 则共有种选法． 故选：D． 5．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法， 用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法， 因此不同涂色方法数为； 用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法， 因此不同涂色方法数为， 所以不同的涂色方案有（种）. 故选：A 【点睛】思路点睛：涂色问题，可以按用色多少分类，再在每类中探求同色方案列式求解. 一、单选题 1．（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】分领导在最左侧和最右侧，再结合全排列公式即可得到答案. 【详解】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可， 则共有不同的站位顺序共有种. 故选：B. 2．（23-24高二下·浙江·期中）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲､乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．12 C．48 D．36 【答案】A 【分析】根据捆绑法和特殊元素优先法即可解. 【详解】先将甲乙捆绑看做一个元素，那么就变成共有4个不同元素参与站成一排， 由于丙不站在两端，特殊元素优先，先安排丙共有种排法； 然后其他三个不同元素全排，共有种排法； 接着再捆绑的甲乙两人内部全排共有种排法， 因此总共满足条件的不同排法有种， 故选：A. 3．（23-24高二下·安徽·期末）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程的安排方案种数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 【答案】C 【分析】根据相邻问题利用捆绑法即可求解. 【详解】剪纸和插花课相邻的安排方法有种， 剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有， 故陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方法一共有， 故选：C 4．（23-24高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【答案】A 【分析】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序. 【详解】先捆绑再和排列，然后插入 共有种排法． 故选：A. 5．（23-24高二下·浙江·阶段练习）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】C 【分析】求出A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列的排列个数，然后确定A，B在C同侧的情况所占的比例，即可求得答案. 【详解】将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，共有, 其中的顺序有，共6种， A，B在C同侧的情况有共4种， 即在A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行的排列中， A，B在C同侧的情况占比为， 则将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（种）， 故选：C 6．（2024·陕西西安·模拟预测）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（   ）种 A．1960 B．2160 C．2520 D．2880 【答案】C 【分析】就3名女生需要的房间数分类讨论后可得正确的选项. 【详解】3名女生需要住2个房间或3个房间． 若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为， 若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为， 则不同的安排方法有种． 故选:． 7．（23-24高二下·重庆渝北·期中）将4个不同的小球放入编号为的三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球，若盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（    ） A．18 B．24 C．48 D．72 【答案】B 【分析】此题利用分步计数原理，按照优先特殊的盒，分三步就可以解决此问题. 【详解】第一步：给盒子中只放一个小球有4种放法； 第二步：给剩下的3个球分成两组有种方法； 第三步：给分成两组的球排列到两个盒子中有种方法； 所以利用分步计数原理可知，满足题意的不同的放法数为：， 故选： 8．（23-24高二上·江西上饶·期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次分配第一、二、三组，结合平均分组法可得出不同的分配方法种数. 【详解】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生 则不同的分配方法种数为种. 故选：B. 9．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（    ） A．128 B．64 C．48 D．24 【答案】D 【分析】相邻问题用捆绑法，定序问题用倍缩法. 【详解】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有种， 然后与宫、商、角进行全排列有种，考虑到顺序问题， 则可排成不同音序的种数为. 故选：D. 10．（23-24高三上·山西运城·期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（   ） A．150种 B．300种 C．720种 D．1008种 【答案】A 【分析】分和两种情况，结合排列组合知识进行求解. 【详解】若三个场地分别承担个项目，则有种安排， 若三个场地分别承担个项目，则有种安排， 综上，不同的安排方法有种. 故选：A 11．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【答案】D 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 12．（23-24高三下·安徽·开学考试）近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（    ） A．240 B．420 C．540 D．900 【答案】C 【分析】根据题意，分为三个景点安排的人数之比为或或，结合排列、组合数的计算公式，即可求解. 【详解】若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法， 故不同的安排方法种数是． 故选：C． 13．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）高三一班共选出共有5个节目参加学校的文艺汇演，其中3个舞蹈节目，2个小品节目；如果2个小品节目不能连续出场，且舞蹈节目甲不能在第一个出场，那么出场顺序的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】D 【分析】先求出2个小品节目不能连续出场的排法种数，再减去舞蹈节目甲排在第一个，且2个小品节目不能连续出场的排法数，可得结果. 【详解】事件2个小品节目不能连续出场可分为两步完成， 第一步，先排3个舞蹈节目，有种方法， 第二步，三个舞蹈节目之间有4个空，从四个空中选两个排小品节目，有种方法， 由分步乘法计数原理可得，2个小品节目不能连续出场的排法共有种， 事件2个小品节目不能连续出场且舞蹈节目甲排在第一个出场，可分为两步完成， 第一步，先排3个舞蹈节目，有种排法， 第二步，三个舞蹈节目之间有3个空，从3个空中选两个排小品节目，有种排法， 由分步乘法计数原理可得， 2个小品节目不能连续出场且舞蹈节目甲排在第一个出场的排法数为， 所以2个小品节目不能连续出场，且舞蹈节目甲不能在第一个出场的排法数为72－12＝60， 故选：D． 14．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【答案】C 【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A错误； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故C正确； D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：C． 15．（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 【答案】D 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，    分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种. 故选：D. 16．（2023·广西南宁·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分别确定每个区域的涂色方法种数，结合分类加法分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色）， 五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色）， 不妨设四种颜色分别为、、、， 先填涂区域“火”，有种选择，不妨设区域“火”填涂的颜色为， 接下来填涂区域“土”，有种选择，分别为、、， 若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、； 若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、； 若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、. 综上所述，区域“金”填涂、、、的方案种数分别为、、、种， 接下来考虑区域“水”的填涂方案： 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、； 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、； 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、； 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、. 则区域“水”填涂的方案种数为种，填涂的方案种数为种， 填涂的方案种数为种，填涂的方案种数为种. 从区域“火”、“土”、“金”填涂至区域“水”，填涂区域“水”的方案还和填涂区域“木”有关， 当区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、、； 若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、； 若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、； 若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、. 所以，当区域“火”填涂颜色时，填涂方案种数为种. 因此，不同的涂色方法种数有种. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解： （1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； （3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 排列组合常见题型与技巧 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：特殊元素（位置）法】 【考点二：捆绑法】 【考点三：插空法】 【考点四：倍缩法】 【考点五：排数问题】 【考点六：分组分配问题】 【考点七：涂色问题】 模块四 小试牛刀过关测 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.通过实例，理解排列、组合的概念. 3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 4.能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题. 一、排列组合中常见问题及其技巧 1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法 3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配． (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 5.涂色问题常用方法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 二、方法技巧分类 ①特殊元素（位置）法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 ②捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. ③插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求. ④倍缩法 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法. ⑤排数问题 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. ⑥分组、分配问题 ①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． ③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． ⑦涂色问题 解决涂色问题的一般思路 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 【考点一：特殊元素（位置）法】 一、单选题 1．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．360 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（    ） A．216 B．432 C．864 D．1728 4．（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 5．（23-24高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 6．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 【考点二：捆绑法】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏淮安·期中）五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 2．（23-24高二下·四川眉山·期末）一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山西忻州·阶段练习）学校要安排一场文艺晚会的12个节目（2个小品节目、2个话剧节目、4个音乐节目、4个舞蹈节目）的演出顺序，要求2个小品节目必须相邻，2个话剧节目不能相邻，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（   ） A．24 B．48 C．72 D．96 5．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【考点三：插空法】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期中）为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（    ）种站队方法． A．144 B．64 C．48 D．56 2．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 3．（23-24高二下·山西临汾·期中）将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．56 B．126 C．210 D．462 4．（23-24高二下·山西长治·期中）甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛，决出第一名到第六名的名次，甲乙两人向老师询问成绩.老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高.”对乙说：“很遗憾，你不是第一名.”根据以上信息，6人的名次排列的情况有（    ） A．300种 B．120种 C．240种 D．180种 5．（24-25高三上·浙江·开学考试）将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（） A．20 B．36 C．54 D．108 【考点四：倍缩法】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 2．（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 3．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（   ） A．840种 B．839种 C．2520种 D．2519 种 4．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 5．（23-24高二下·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 【考点五：排数问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广西桂林·期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（    ） A．8 B．12 C．18 D．72 2．（24-25高二上·全国·课后作业）从2，3，，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为（    ） A．35 B．42 C．105 D．210 3．（23-24高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 4．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 5．（23-24高二下·湖北十堰·期末）已知样本数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为，第75百分位数为，从样本数据落在区间内的数据中各取一个数组成一个三位数，则所组成的三位数中能被3整除的个数为（    ） A．54 B．60 C．64 D．72 【考点六：分组分配问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 2．（23-24高二下·安徽亳州·阶段练习）2024年5月3日，嫦娥六号搭乘长征五号遥五运载火箭在海南文昌发射场发射升空，并进入地月转移轨道，发射任务圆满成功，由此开启了预计为期53天的全球首次月球背面取样返回之旅.某科研所有六位地质学家应邀去甲､乙､丙､丁四所中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，每名地质学家去一所中学，则不同的派遣方法的种数为（    ） A．288 B．376 C．1560 D．1520 3．（24-25高二上·广西·期末）甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（    ） A．150 B．243 C．183 D．393 4．（23-24高二下·福建泉州·期末）如图为某公交线路图的一部分，现在6名同学从安一中站点上车，分组到人民银行、实验小学、凤山公园、凤山书院4个站点参加公益宣传活动，每个站点至少一人，且实验小学站至少2人，则下车的不同方案种数为（    ） A．120 B．480 C．540 D．660 5．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 【考点七：涂色问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，有多少种不同涂色方法（   ） 1 3 4 2 5 A．120 B．72 C．288 D．144 2．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 3．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（    ）种不同的涂色方法.    A．108 B．96 C．84 D．48 4．（23-24高三上·河南·期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（    ） A．216 B．360 C．720 D．1080 5．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 一、单选题 1．（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 2．（23-24高二下·浙江·期中）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲､乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．12 C．48 D．36 3．（23-24高二下·安徽·期末）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程的安排方案种数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 4．（23-24高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 5．（23-24高二下·浙江·阶段练习）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 6．（2024·陕西西安·模拟预测）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（   ）种 A．1960 B．2160 C．2520 D．2880 7．（23-24高二下·重庆渝北·期中）将4个不同的小球放入编号为的三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球，若盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（    ） A．18 B．24 C．48 D．72 8．（23-24高二上·江西上饶·期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（    ） A．128 B．64 C．48 D．24 10．（23-24高三上·山西运城·期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（   ） A．150种 B．300种 C．720种 D．1008种 11．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 12．（23-24高三下·安徽·开学考试）近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（    ） A．240 B．420 C．540 D．900 13．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）高三一班共选出共有5个节目参加学校的文艺汇演，其中3个舞蹈节目，2个小品节目；如果2个小品节目不能连续出场，且舞蹈节目甲不能在第一个出场，那么出场顺序的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 14．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 15．（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 16．（2023·广西南宁·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ）    A． B． C． D． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$