专题4-1相似三角形（考题猜想，易错必刷68题18种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

专题4-1相似三角形（考题猜想易错必刷68题18种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 比例的性质 · 成比例线段 · 黄金分割 · 由平行线截得的成比例线段 · 相似三角形的判定 · 添加条件使三角形相似 · 相似三角形的性质 · 相似三角形的动点问题 · 相似三角形的应用 · 相似多边形 · 位似多边形性质 · 位似图形判断 · 位似中心以及相似比 · 位似图形的坐标以及绘制 · 相似三角形与全等三角形综合 · 相似三角形与四边形综合 · 相似三角形与圆综合 · 相似三角形与解析几何综合 一．比例的性质（共3小题） 1．（24-25九年级下·全国·期中）若=，则的值等于（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知，那么的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川·期中）已知：，且，求，，的值． 二、成比例线段（共4小题） 4．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 5．（24-25九年级上·四川雅安·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺为的无锡旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 km． 7．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）已知线段，，，若线段a， b， c， d 是成比例线段，则线段d 的长为 ． 三、黄金分割（共4小题） 8．（24-25九年级上·四川·期中）已知线段，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 11．（2024九年级上·上海·专题练习）在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 （结果保留根号） 四、由平行线截得的成比例线段（共4小题） 12．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，，交于点G，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平：再一次折叠，使点D落到上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后的大小为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和点 D，E，F．已知，，，则的长为（     ） A． B． C．6 D． 15．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，，若，，，则的长度是 ． 五、相似三角形的判定（共4小题） 16．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，不能判定和相似的条件是（　　） A． B． C． D． 17．（2025九年级下·全国·专题练习）根据下列各组条件，不能判断和相似的是（    ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 18．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 19．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 六、添加条件使三角形相似（共3小题） 20．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A．平分 B． C． D． 21．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 七、相似三角形的性质（共4小题） 23．（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·四川成都·期中），且，若面积为4，则的面积是（   ） A．4 B．9 C．6 D． 25．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：． 26．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 八、相似三角形的动点问题（共4小题） 27．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 秒． 28．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）已知：如图，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动， 速度为．连接．设运动的时间为，当为何值时， 以、、为顶点的三角形与相似？ 29．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，．动点N从点C出发，以每秒的速度沿向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连接，设移动时间为t（单位：秒）． (1)当的面积为时，求t的值． (2)若以B，M，N为顶点的三角形与相似，求t的值． 30．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长；（用含t的代数式表示） (2)连接，当与相似时，求t的值； (3)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 九、相似三角形的应用（共4小题） 31．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 32．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段、、表示三片风叶，， ，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为4m的标杆影长为3m． (1)直接写出的度数及的长； (2)求风叶转动时点到地面的最小距离． 33．（24-25九年级上·四川成都·期中）在一次综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择标杆、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，教学楼为，为标杆．如图，当小颖、标杆、教学楼位于同一水平直线时，同学们调节标杆的位置，使得点B、D、F恰好在同一直线上，此时测得，，已知标杆长为3m，求教学楼的高度． 34．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 十、相似多边形（共3小题） 35．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 36．（2024九年级上·全国·专题练习）下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥四个角对应相等的两个等腰梯形；⑦有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（24-25九年级上·辽宁·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 十一、相似多边形性质（共4小题） 38．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中， ， ，，分别是，上的点，且 ，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 39．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，将矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到矩形，若矩形 矩形，，，则 ． 40．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四边形四边形，若 ，则 度． 41．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 十二、位似图形判断（共3小题） 42．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 43．（2024·贵州安顺·二模）如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 十三、位似中心以及相似比（共4小题） 45．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 46．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 47．（22-23九年级下·四川德阳·阶段练习）如图，与关于点O成位似图形，若，则为（   ） A．9 B．12 C．16 D．36 48．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点，，，，坐标分别为，，，，，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 十四、位似图形的坐标以及绘制（共4小题） 49．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ） A． B． C． D． 50．（24-25九年级下·全国·阶段练习）如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在y轴左侧将放大为原来的两倍，画出； (2)A点的对应点的坐标是 ；的面积是 ； (3)在y轴上找一点P，使是以为底边的等腰三角形，则P点坐标为 ． 51．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 52．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 十五、相似三角形与全等三角形综合（共4小题） 53．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 54．（2021·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 55．（24-25九年级上·山东济南·期中）和是两个全等的三角形，绕点A旋转，，，． (1)如图1连接，，在绕点A旋转过程中，求的值； (2)如图2，在绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交的延长线于点F，求的长； (3)在绕点A旋转过程中，探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 56．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图1，四边形中，，点E在上． (1)当，求证：． (2)如图2，延长及相交于点F，延长及相交于点G，的周长为2． ①求的值． ②连接，取的中点M，连接，作，连接，求与的数量关系． 十六、相似三角形与四边形综合（共4小题） 57．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 58．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 59．（2021·安徽合肥·三模）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 60．（2021·福建莆田·一模）如图1，矩形中，，点E为边上的动点，连接．过点E作于点F，点G为的中点，连接． （1）求证：； （2）设，的面积为S， ①求S与x的函数关系式； ②如图2，点M，N分别在，上，且，，连接，当取最小值时，求S的值． 十七、相似三角形与圆综合（共4小题） 61．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若为直径，如图2，求的值； (3)若，且，求的值． 62．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，中，，过点的直径交弦于． (1)求证：； (2)连接，过点作于，交于，交于，求证：； (3)在（2）的条件下，连接、，若，，，求线段的长． 63．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知内接于，于点D． (1)如图1，当经过圆心时，求证：； (2)如图2，当不经过圆心时，过点作于点，交于点，交于点，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的半径长． 64．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已等腰直角三角形的顶点O为圆心，腰长为半径作出扇形， C为上一动点，连接，点D、E分别是弦的中点，连接，且． (1)求半径的长度和的大小； (2)当点C沿着劣弧从点A开始，顺时针运动到点B时，求的外心P所经过的路径的长度； (3)分别记的面积为． 当时，求的值． 十八、相似三角形与解析几何综合（共4小题） 65．（2024·江苏镇江·二模）在平面直角坐标系中，抛物线： 经过点、和． (1)用含 a的代数式表示b与 t； (2)若直线 与此抛物线交于点 P， 平分，求点 P 坐标； (3)若以 O 为位似中心，将 放大后得，其中 ，，抛物线过、、． ①直接用表示抛物线的表达式； ②抛物线与x轴的交点为，过点O的直线交x轴下方的抛物线，分别为、，若，直接写出点的坐标 ． 66．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，直线分别于x轴，y轴相交于点A、B，将绕点A顺时针旋转，使落在上，得到，将沿射线平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移的距离为m．平移后的图形在x轴下方部分的面积是S． (1)点A的坐标__________，点B的坐标为_______ (2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 67．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 68．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； $$专题4-1相似三角形（考题猜想易错必刷68题18种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 比例的性质 · 成比例线段 · 黄金分割 · 由平行线截得的成比例线段 · 相似三角形的判定 · 添加条件使三角形相似 · 相似三角形的性质 · 相似三角形的动点问题 · 相似三角形的应用 · 相似多边形 · 位似多边形性质 · 位似图形判断 · 位似中心以及相似比 · 位似图形的坐标以及绘制 · 相似三角形与全等三角形综合 · 相似三角形与四边形综合 · 相似三角形与圆综合 · 相似三角形与解析几何综合 一．比例的性质（共3小题） 1．（24-25九年级下·全国·期中）若=，则的值等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的求值，比例的性质，学会变形已知条件，使变形所得到的式子在所求的式子中能用得上是解题的关键． 我们可以用设参数法，设，然后用k表示出a和b，再代入到中进行计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 将，代入可得： = =， 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等比性质，解题关键是掌握等比性质．根据直接求解即可． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川·期中）已知：，且，求，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了比例的性质．设得出，，根据题意求得，即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴，，． 二、成比例线段（共4小题） 4．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 【答案】B 【分析】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系．要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：（厘米） 18000000厘米千米 答：两地间的实际距离是180千米． 故选：B． 5．（24-25九年级上·四川雅安·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，∴4条线段不成比例，故不符合题意； B、∵，∴4条线段成比例，故符合题意； C、∵，∴4条线段不成比例，故不符合题意； D、∵，∴4条线段不成比例，故不符合题意． 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺为的无锡旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 km． 【答案】 【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为： 7．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）已知线段，，，若线段a， b， c， d 是成比例线段，则线段d 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的概念是解题关键．根据成比例线段的定义可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∵线段，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、黄金分割（共4小题） 8．（24-25九年级上·四川·期中）已知线段，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割性质得，进而可求解． 【详解】解：∵线段b是线段a上黄金分割的较长部分， ∴，又， ∴， 故选：B． 9．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，点P是的黄金分割点，且，设，则，则，即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】由题意知，点P是的黄金分割点，且，设，则， ∴， ∴， 化简得：， 故答案为：． 11．（2024九年级上·上海·专题练习）在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 （结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系． 利用黄金分割比为可得，即可求解． 【详解】解：、两点都是线段的黄金分割点，， ， 解得：， ， 故答案为：． 四、由平行线截得的成比例线段（共4小题） 12．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，，交于点G，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得，结合，则，可判断A；，结合题意得和，则，可判断B；由，结合已知得和，则，可判定C；由和，则，可判定D． 【详解】解：， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ，故B正确，不符合题意； ∵， ， ， ， ， ， ， ， ，故C错误，符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平：再一次折叠，使点D落到上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、等腰三角形的性质、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 如图：由题意可得，，，根据平行线等分线段定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而得到，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图： 由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 14．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和点 D，E，F．已知，，，则的长为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，代入可得的长，再根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 15．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，，若，，，则的长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练利用平行线分线段成比例计算求值是解题的关键，由可得，再代入数据进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 五、相似三角形的判定（共4小题） 16．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，不能判定和相似的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：A、由知，且， 可判断和相似，故选项A不符合题意； B、 ，且， 可判断和相似，故选项B不符合题意； C、 ，且， 可判断和相似，故选项C不符合题意； D、由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意； 故选：D． 17．（2025九年级下·全国·专题练习）根据下列各组条件，不能判断和相似的是（    ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，则，故选项A不符合要求； ∵，，，， ∴，，则，故选项B不符合要求； ∵，，；，，， ∴，不能判断和相似，故选项C符合要求； ∵，，；，，， ∴，，则，故选项D不符合要求； 故选：C． 18．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明即可； （）由，得，，根据，，再根据相似三角形的判定方法即可得证； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 19．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 六、添加条件使三角形相似（共3小题） 20．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； C选项无法判定和相似，故C符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选C． 21．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，证出，由相似三角形的判定方法即可得出结果． 【详解】解：， ， A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合； D、添加，无法判定，故本选项符合． 故选：D． 22．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图得，， A、，，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，故本选项不符合题意； B、，，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，故本选项不符合题意； C、，又，由两边对应成比例及其夹角对应相等的两个三角形相似即可得到，故本选项不符合题意； D、即，与，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意； 故选：D． 七、相似三角形的性质（共4小题） 23．（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质得到，即可求解． 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 24．（24-25九年级上·四川成都·期中），且，若面积为4，则的面积是（   ） A．4 B．9 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意知，，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】解： ，且，面积为4， ，即， 解得，， 的面积是9． 故选：B． 25．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质．根据相似三角形的性质，求得，由平行四边形的性质可得，据此即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵ ∴． 26．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（）根据两三角形相似，对应边成比例，得，结合已知条件，从而得到的长，再根据勾股定理即可求解； （）根据相似三角形对应角相等，可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，； （2）证明：∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 八、相似三角形的动点问题（共4小题） 27．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 秒． 【答案】2或/2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质时解题的关键． 设运动时间为，由题意可得，，，分与这两种情况，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可． 【详解】解：当动点、同时运动时间为时，则有，，， 是公共角， ①当时，， 有，即， 解得：； ②当时，， 有，即， 解得：； 故答案为：2或． 28．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）已知：如图，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动， 速度为．连接．设运动的时间为，当为何值时， 以、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．先求出的长，再分两种情况：①和②，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ①当时， ∴，即， 解得； ②当时， ∴，即， 解得； 综上，当为或时，以、、为顶点的三角形与相似． 29．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，．动点N从点C出发，以每秒的速度沿向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连接，设移动时间为t（单位：秒）． (1)当的面积为时，求t的值． (2)若以B，M，N为顶点的三角形与相似，求t的值． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）如图，过点M作于点D．根据勾股定理求出．证明，根据相似三角形的性质求出，再根据列方程求解即可． （2）分两种情况讨论：①当时，，②当时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点M作于点D． 在中，，，， 根据勾股定理，得． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． ∵， 解得：， ∴t的值为3． （2）解：分两种情况讨论： ①当时，， 此时，即， 解得：； ②当时，， 此时，即， 解得：． 综上所述，t的值为或． 30．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长；（用含t的代数式表示） (2)连接，当与相似时，求t的值； (3)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)的值为或1 (3)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （3）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）解：由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，， 即：，解得：； 当时，， 即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （3）解：由题意可得：， ∵，，，， ∴， ∵矩形， ∴， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去） 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 九、相似三角形的应用（共4小题） 31．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值， 设蜡烛火焰的高度为， 根据题意得，， 解得：， ∴蜡烛火焰的高度为． 故答案为：． 32．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段、、表示三片风叶，， ，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为4m的标杆影长为3m． (1)直接写出的度数及的长； (2)求风叶转动时点到地面的最小距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过，即可求得，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理即可求解的度数； （2）过点作于点H，过点E作于点I，由，求得，则，根据直角三角形的性质得到，故当时，风叶转动时点到地面的最小距离为； 【详解】（1）解：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作于点H，过点E作于点I， 在中，由勾股定理得； 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， 由题意得，，而， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当时，风叶转动时点到地面的最小距离为， 答：风叶转动时点到地面的最小距离为． 【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 33．（24-25九年级上·四川成都·期中）在一次综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择标杆、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，教学楼为，为标杆．如图，当小颖、标杆、教学楼位于同一水平直线时，同学们调节标杆的位置，使得点B、D、F恰好在同一直线上，此时测得，，已知标杆长为3m，求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过B作于H，交于Q，可推出四边形是矩形，同理可得、都是矩形，根据矩形的性质求出和的长，再利用相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过B作于H，交于Q， ， ， 由题意得，， 四边形是矩形， 同理可得，四边形、都是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ． 答：教学楼的高度为． 34．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质．首先过点作于点，交于点，根据、的关系和的长度求出的长度，再根据四边形是矩形可知，从而可得，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：汽车盲区的长度为． 十、相似多边形（共3小题） 35．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 36．（2024九年级上·全国·专题练习）下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥四个角对应相等的两个等腰梯形；⑦有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形．根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断． 【详解】解：①两个矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形； ②两个正方形，对应角度数相等，对应边成比例，是相似图形； ③两个等腰三角形，对应边的比、对应角的度数不一定相等，不一定是相似图形； ④两个等边三角形，对应边的比、对应角的度数一定相等，是相似图形； ⑤两个直角三角形，锐角不一定相等，不一定是相似三角形； ⑥四个角对应相等的两个等腰梯形，对应边的比不一定相等，不一定是相似图形； ⑦有一个角为的两个菱形，边的比一定相等，且对应角一定对应相等，是相似图形； ∴有3个相似图形． 故选：C． 37．（24-25九年级上·辽宁·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可． 【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 十一、相似多边形性质（共4小题） 38．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中， ， ，，分别是，上的点，且 ，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．设矩形与矩形相似时，运动时间为，分矩形矩形和矩形矩形两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴， 设矩形与矩形相似时，运动时间为， 当矩形矩形时，， ∴ 解得， 当矩形矩形时， ∴， 解得：． 故选：． 39．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，将矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到矩形，若矩形 矩形，，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据题意得出，根据题意可得，，，得出，即可求解． 【详解】解：∵矩形 矩形， ∴ ∵，， ∴， ∴即 ∴， 故答案为：． 40．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四边形四边形，若 ，则 度． 【答案】130 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，多边形的内角和定理，先根据四边形内角和定理求出，再根据相似图形的对应角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形四边形， ∴． 故答案为：130． 41．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了相似多边形的性质和四边形内角和，解题的关键是掌握相似多边形的性质． （1）根据四边形内角和算出的度数，再根据相似多边形的性质即可求解； （2）根据相似多边形的性质得出，即可求解； 【详解】（1）解：在四边形，， ∵四边形四边形， ∴． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 十二、位似图形判断（共3小题） 42．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的识别，注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线）．据此逐项判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意； 选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意． 故选：D． 43．（2024·贵州安顺·二模）如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．先证明与相似，再根据位似图形的概念判断． 【详解】解：根据网格信息可知：的三边长分别为1，2，， 的三边长分别为2，4，， 与的三边对应成比例， ∴与相似， ∵与对应点连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上， ∴与是位似图形， 故选∶D． 44．（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 十三、位似中心以及相似比（共4小题） 45．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案． 【详解】如图所示，位似中心是点O． 故选：D． 46．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识． 根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】解：如下图， 点即为所求的位似中心． 故选：D． 47．（22-23九年级下·四川德阳·阶段练习）如图，与关于点O成位似图形，若，则为（   ） A．9 B．12 C．16 D．36 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的性质得到，得到，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 48．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点，，，，坐标分别为，，，，，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，连接对应点，连线的交点即为位似中心，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，为位似中心， 故选：B． 十四、位似图形的坐标以及绘制（共4小题） 49．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比． 【详解】解：延长交于点E，如图． ∵在正方形中，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 故选：B． 50．（24-25九年级下·全国·阶段练习）如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在y轴左侧将放大为原来的两倍，画出； (2)A点的对应点的坐标是 ；的面积是 ； (3)在y轴上找一点P，使是以为底边的等腰三角形，则P点坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)，10 (3) 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，勾股定理，等腰三角形的性质． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点即可； （2）根据点的位置写出坐标，利用分割法求出三角形面积； （3）设点，利用勾股定理结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：A点的对应点的坐标是， 的面积； 故答案为：，10； （3）解：设点， ∵，， ∴，， 由题意得，即， ∴， 解得， ∴P点坐标为， 故答案为：． 51．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点为所作； （2）解：如图所示，为所作； （3）解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 52．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 十五、相似三角形与全等三角形综合（共4小题） 53．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【详解】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．∵，∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 54．（2021·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 55．（24-25九年级上·山东济南·期中）和是两个全等的三角形，绕点A旋转，，，． (1)如图1连接，，在绕点A旋转过程中，求的值； (2)如图2，在绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交的延长线于点F，求的长； (3)在绕点A旋转过程中，探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意可证明，再根据勾股定理求出和，最后通过两条边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似证明，即可求出的值； （2）根据斜中半及等腰三角形的性质可证明，得到，即可求出，再由得出，从而证明，根据相似三角形的性质得，最后代入即可求解； （3）分四种情况进行讨论：①当在上时，，②当在的延长线上时，，③当时，过点A作于点Q，④当时，过点A作于点Q，交于点N，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：C，D，E三点能构成直角三角形，理由如下： ①当在上时，，此时是直角三角形，如图， ∴； ②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图， ∴； ③当时，是直角三角形，过点A作于点Q，如图， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ④当时，是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 综上所述，直角三角形的面积为或或或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、中位线定理、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 56．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图1，四边形中，，点E在上． (1)当，求证：． (2)如图2，延长及相交于点F，延长及相交于点G，的周长为2． ①求的值． ②连接，取的中点M，连接，作，连接，求与的数量关系． 【答案】(1)证明见解答； (2)①； ② 【分析】对于（1），如图，连接交于P，先根据题意可知是等腰直角三角形，则，再由等腰三角形的三线合一的性质得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质得，结合“三线合一”的性质得，进而得出，最后根据即可解答； 对于（2）①，如图，作，交的延长线于H，延长至O，使，连接，证明四边形是正方形，可得再根据“边角边”证明，根据的周长为2，得，最后证明和，即可解答； 对于②，如图，作，交的延长线于Q，证明，得，由勾股定理求出的长，可得，由三角形的面积计算，证明，则，根据勾股定理可以解答． 【详解】（1）证明：如图，连接交于P， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：①如图2，过点C作，交的延长线于H，延长至O，使，连接， ∴， ∴四边形是矩形. ∵， ∴矩形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵的周长为2， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图3，过点G作，交的延长线于Q， 由①知：， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 由勾股定理得：， ∵M是的中点， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判判定，正方形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 十六、相似三角形与四边形综合（共4小题） 57．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后； （2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可； （3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可． 【详解】（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键． 58．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 【详解】解：（1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 59．（2021·安徽合肥·三模）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）四边形是菱形，，则是等边三角形，根据，，，即可得到三角形全等； （2）①连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明； ②由①中的条件可证，所以，即可以求出DG． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴ ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ∴． （2）①证明：连接，延长到点，使，连接． 由（1）知， ∴， ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴． ②由①可知， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键． 60．（2021·福建莆田·一模）如图1，矩形中，，点E为边上的动点，连接．过点E作于点F，点G为的中点，连接． （1）求证：； （2）设，的面积为S， ①求S与x的函数关系式； ②如图2，点M，N分别在，上，且，，连接，当取最小值时，求S的值． 【答案】（1）见解析；（2）②；② 【分析】（1）如图1，先根据直角三角形斜边中线可得，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得结论； （2）①如图2，过作于点，证明，令，则，，，，根据三角形面积公式和勾股定理可得结论； ②如图3，分别取，中点，，作点关于的对称点，连接交于点，此时的最小值为，可知，，根据三角形中位线定理可得，得，代入与的函数关系式中可得结论． 【详解】（1）证明：如图1， 四边形是矩形， ， 在中，为中点， ． ， ， ， ， 法一：， ，， ，， ； 法二：∵， ∴E，F，D，C四点共圆． ∴． （2）①法一：如图2，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，，，， ， ，， ， ， ． 法二：连接交于点O，则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． 法三：过点F作于点H． ∵， ∴． ∴． ∴．∴． ∴． ∵点G为中点，∴． ∴． ∵， ∴ ②如图3，分别取，中点，， 点在线段上运动，为中点， 点在线段上运动， 作点关于的对称点，连接交于点， 此时的最小值为． ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及直角三角形的性质，注意准确作出辅助线、充分利用相似三角形的对应边成比例是解此题的关键． 十七、相似三角形与圆综合（共4小题） 61．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若为直径，如图2，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，再根据同一个圆中，相等的圆心角所对的弦相等即可证明； （2）延长到点E，使得，连接，由四点共圆，可得，则，再由直径所对的圆周角为，得，，再由勾股定理可得，即可得出的值． （3）由题意可得，设，得出，证出，，再由求出，再由得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长到点E，使得，连接， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴； 又由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴，； ∵为直径， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ， ． （3）解：由题可知：，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 且，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得（负值已舍去）， ∵，， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了圆的综合性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 62．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，中，，过点的直径交弦于． (1)求证：； (2)连接，过点作于，交于，交于，求证：； (3)在（2）的条件下，连接、，若，，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】对于（1），根据“边角边”证明，可得，根据等腰三角形的性质得，再根据垂径定理得出答案； 对于（2），连接，根据直角三角形的两个锐角互余得，再根据同弧所对的圆周角相等得，即可知是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（3），先作，于点K，L，根据角平分线的性质定理得，进而得出四边形是正方形，可得，接下来证明，可得，即可说明，也就是是等腰直角三角形，可得，再说明，然后设，，可得，，再根据“两角相等的两个三角学那个相似”得，可得，即，求出，则，接下来求出，然后设，可知，再根据求出a值，接着根据勾股定理求出，可知，进而求出，可知，然后说明，可得，即可求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， 在中，． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∴； （3）如图所示， 过点A作，于点K，L， ∵，， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，可得． ∵， ∴, 即． 设，，则，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∴，则， ∴． 在中，． ∵ ∴ 设，则， ∵ ∴， ∴， 解得负值舍去， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质和判定，垂径定理，同弧所对的圆周角相等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 63．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知内接于，于点D． (1)如图1，当经过圆心时，求证：； (2)如图2，当不经过圆心时，过点作于点，交于点，交于点，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理，即可证明结论； （2）连接，根据全等三角形的判定与性质，逐步证明，，得到，再根据圆周角定理得到，即可证得结论； （3）作直径，连结，设，先证明，得到，进一步推理得到，可求得，再证明，即可利用相似三角形的性质列出方程，求得答案． 【详解】（1）证明：当经过圆心时， ， 平分， 即； （2）证明：连接， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ； （3）解：作直径，连结， 设，则，， ，， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用圆周角定理及相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 64．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已等腰直角三角形的顶点O为圆心，腰长为半径作出扇形， C为上一动点，连接，点D、E分别是弦的中点，连接，且． (1)求半径的长度和的大小； (2)当点C沿着劣弧从点A开始，顺时针运动到点B时，求的外心P所经过的路径的长度； (3)分别记的面积为． 当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据中位线定理求出，然后利用勾股定理可求出半径长；由三线合一证明，，进而可求出； （2）取的中点P，连接，证明O，D，C，E四点共圆，点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动，然后根据弧长公式求解即可； （3）证明得，由（1）可知，，从而可求，由及，可得，如图，提取，过D作，垂足为F，其中，，设，得出，整理得，令，进而可求出． 【详解】（1）连接， ∵点D、E分别是弦的中点，， ∴． ∵， ∴（负值舍去）． ∵是等腰直角三角形， ∴． ∵D是中点，， ∴， 同理可得，， ∴． （2）如图，取的中点P，连接， ∴O，D，C，E四点共圆， ∴是直径， ∴的中点P是的外接圆的圆心， ∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动， ∴点P的运动路径的长． （3）∵点D、E分别是弦的中点， ∴，， ∴，且相似比为， ∴， 又由（1）可知，， ∴， ∴． 由及，可得， 如图，提取，过D作，垂足为F，其中，， 设， ∴， 由得， 在中，有， ∴， 两式作商得， 令， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线，圆周角定理，弧长公式，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 十八、相似三角形与解析几何综合（共4小题） 65．（2024·江苏镇江·二模）在平面直角坐标系中，抛物线： 经过点、和． (1)用含 a的代数式表示b与 t； (2)若直线 与此抛物线交于点 P， 平分，求点 P 坐标； (3)若以 O 为位似中心，将 放大后得，其中 ，，抛物线过、、． ①直接用表示抛物线的表达式； ②抛物线与x轴的交点为，过点O的直线交x轴下方的抛物线，分别为、，若，直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)， (2)或 (3)①或；②． 【分析】（1）将、和依次代入中，即可求解； （2）分两种情况： ①当P点比A点高时，过O点作于E点，于F点．由角平分线的性质可得，由可得，则可得．再由可得，则，进而可得．作，，由角平分线的性质可得，由此可得P点的坐标； ②当P点比A点低时，过O点作于E点，于F点．由角平分线的性质可得．由可得，则可得，进而可得，．设，由列方程求出m的值，即可得 P点的坐标． （3）①先求出位似比k的值，进而可求得点的坐标．设抛物线的表达式为，将代入求得n的值，即可得抛物线的表达式． ②由可得．再证，则可得，由此得M点在y轴上，因此M点与A点重合，即可得M点的坐标． 【详解】（1）把代入中，得， ， 把代入中，得， 解得， ． 把代入中，得， 解得，， ∵和， ∴． （2）①如图，当P点比A点高时， 过O点作于E点，于F点， ∵ 平分， ， ， ， ． ，， ， ， ， 即， ∴平分． 过P点作，， 则， ， ， ， ． ②如图，当P点比A点低时 过O点作于E点，于F点， ∵ 平分， ， 又， ， ． ， ， 即． 四边形中，， ． 设，连接， 由， 得， 整理得， 解得，（舍去）， ， 综上，p点坐标为：或． （3）①，，， ，，， ，， ，， ∴位似比， ， ， ． 设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为：， 化成一般式为：， ∴抛物线的表达式为：或． ②如图， ， ，且， ， 又， ， ， ， 又， ， ∴M点和都在y轴上， 又∵M点在抛物线上， ∴M点与A点重合， ． 【点睛】本题是一道二次函数与几何的综合题目，主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、位似三角形的性质、二次函数的图像和性质等．能够综合运用以上知识，掌握好数形结合法是解题的关键． 66．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，直线分别于x轴，y轴相交于点A、B，将绕点A顺时针旋转，使落在上，得到，将沿射线平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移的距离为m．平移后的图形在x轴下方部分的面积是S． (1)点A的坐标__________，点B的坐标为_______ (2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）分别将，代入函数求解即可； （2）分两种情况，当点在轴上方或点在轴下方，根据相似三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）分别将，代入函数可得 ， 即，， 故答案为：，； （2）解：当点在轴上方时， 由旋转的性质可得，，，，， ∴，， 由平移的性质可得，， 过点作，如下图： 则， ∴， ∴，即，解得， 则； 当点在轴下方时，，， ∴ 又∵ ∴， ∴，即， 解得， 点D到达x轴时，，此时， 即， ， ， ∴， 综上，． 【点睛】此题考查了一次函数与坐标的交点问题，旋转的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运行相关性质进行求解． 67．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 【答案】(1) (2) (3)不变；比值为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定； （1）先求得，进而求得直线的解析式为，联立反比例函数与正比例函数，即可求解； （2）根据题意得出，，，则，进而根据相似三角形的性质可得 ，勾股定理建立方程，即可求解； （3）设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】（1）解：∵点纵坐标为，点在上， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴； （2）∵轴，点纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 又∵点在上， ∴点的横坐标为 ∴， ∵，， ∴是的中点， ∴ ∵轴 ∴ ， ∴当与相似，只有一种情况 ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） （3）解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 68．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解得， 故，． ∴； （2）解：令，则， ∴， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，三角形相似的判定，正切函数的定义，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键． $$