精品解析：辽宁省大连市第九中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024——2025学年度第一学期阶段测试试题九年级数学 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间80分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. 如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sin∠ABC等于（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在附近．则估计袋子中的白球有（ ） A. 6个 B. 8个 C. 10个 D. 12个 5. 如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为(　　) A. B. C. D. 6. 如图，量角器外缘上有A、B两点，它们所表示的读数分别是80°、50°，则∠ACB应为 A. 25° B. 15° C. 30° D. 50° 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10m，则大树的长为（ ） A. m B. m C. m D. m 9. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（ ） A. 小球落地点距O点水平距离为7米 B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C. 当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D. 小球距斜坡的最大铅直高度为 10. 如图，在中，，F为的中点，交于点G，且，则下列结论错误的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为______． 12. 如图，扇形中，．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形，其中A点在上，则点O的运动路径长为_______．（结果保留） 13. 如图，在中，，若，则的值为________． 14. 如图，在和中，，，．将绕点A旋转，当点C、D、E在同一条直线上时，_______． 15. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请问“任意闭合两个开关使小灯泡发光“的概率为______． 三．解答题（本题共5小题，共43分） 16. 嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如下图所示． （1）试写出这个函数的表达式； （2）当气球的体积为2m3时，气球内气体的气压是多少？ （3）当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？ 17. 如图1，是一幅美丽的风景画，如图2，为彩色打印该风景画，需要在打印之前，设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），即风景画周围白色区域的宽度．若使用纸张长为，宽为，考虑到画的整体美观性，要求各页边距相等并使打印出的风景画面积占纸张面积的，请你求出所需设置的页边距宽度． 18. 如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且． （1）求的长； （2）当时， ①　　　； ②求阴影部分的周长和面积． 19. 学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量“无边寺白塔”的高度，他们把“测量白塔的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量白塔的高 测量说明 测量示意图 说明：CD是高为1.5米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角∠ACM=∠1，点E处测得此时塔顶A的仰角∠AEM=∠2.（B、F、D三点在同一条直线上）。 测量 数据 ∠1的度数 ∠2的度数 CE的水平距离 40° 60° 26米 （1）请根据表中的测量数据，求白塔的高；（精确到米，参考数据，，，）． （2）“工程简介”中白塔的高度为米，请结合本次测量结果，提出一条减小误差的合理化建议． 20. 有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为，跨度为．把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1个单位表示）． （1）求这条的表抛物线表达式； （2）若要在隧道壁上P点处安装一个照明灯离地面高度为，求照明灯与点B的距离． 四．解答题（本题共3小题，共32分） 21. 如图1，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，点是x轴上一个动点，点C是直线l上的一个动点，且．与重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中时，函数的解析式不同）． （1）填空：的长是_____； （2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C． （1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是边的中线，点E是的中点，的延长线交于点F，试判断与的数量关系． 小明探究发现，过点D作，交于点G，先证，再证，从而将问题解决． （1）请回答：与的数量关系是__________； 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： （2）已知：如图2，在中，点C在上，，点A在上，连接并延长交延长线于点F，，若，，求的长； （3）已知：如图3，在中，点C在延长线上，，点A在延长线上，连接并延长交的延长线于点F，，若，求和关系（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年度第一学期阶段测试试题九年级数学 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间80分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断． 【详解】A选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意； B选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意； C选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意； D选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上 【详解】解：在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键． 3. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sin∠ABC等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如下图，过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意直角． 4. 在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在附近．则估计袋子中的白球有（ ） A. 6个 B. 8个 C. 10个 D. 12个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率，根据概率公式计算数量，解题的关键是根据题意得出摸到红球的概率为． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∵袋子中装有4个红球， ∴球的总个数为：（个）， ∴白球的个数为：（个）， 故选：A． 5. 如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．连接、，由是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，得到是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、，则， 是直径， ，， 与相切于点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 6. 如图，量角器外缘上有A、B两点，它们所表示的读数分别是80°、50°，则∠ACB应为 A. 25° B. 15° C. 30° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】根据n°的圆心角对着n°的弧，以及圆周角定理就可计算出要求的圆周角的度数． 【详解】解：∵80°-50°=30°， ∴∠ACB=×30°=15°． 故选：B 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】A. 中，，故方程没有实数根，选项符合题意； B. 中，，故方程有两个不相等的实数根，选项不符合题意； C. 中，，故方程有两个相等的实数根，选项不符合题意； D. 中，，故方程有两个不相等的实数根，选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10m，则大树的长为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【分析】因为60的角是△ABC的一个外角，且∠C为30，所以得到∠CAB=30，即AC=BC=10m，从而利用求出CD的长，即可求出BD，利用30角的余弦值，进而求出AB． 【详解】如图，作交BC的延长线于D， ，，且， ， m. 在中， （）， （）， 在中， （）. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的运用，构造所求线段所在的直角三角形是难点． 9. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（ ） A. 小球落地点距O点水平距离为7米 B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C. 当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D. 小球距斜坡的最大铅直高度为 【答案】C 【解析】 【分析】联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，求得AB=4x-x2-=-x2-x=-(x-)2+，根据二次函数的性质可判断D． 【详解】解：联立两函数解析式，得 ，解得：或， 则小球落地点距O点水平距离为7米， 故A选项不符合题意； ∵， 则抛物线的对称轴为x=4， ∵<0， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小， 即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势， 故B选项不符合题意； 当y=7.5时，7.5=4x-x2， 整理得x2-8x+15=0， 解得，x1=3，x2=5， ∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意； 如图，设抛物线上一点A(x 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B， ∴B(x,)， ∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+， ∵<0， ∴当x=时，AB有最大值，最大值=， 即小球距斜坡的最大铅直高度为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，在中，，F为的中点，交于点G，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟知平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键． 由得出，，，根据相似三角形的性质进行判断． 【详解】， ，，， ，，， ， ， ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； F为的中点， ，， ，，， 故C选项正确，不符合题意； ，， ，故D选项不正确，符合题意； 故选：D 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义．把方程的解代入方程得到，即可求出答案． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， 解得， 故答案为： 12. 如图，扇形中，．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形，其中A点在上，则点O的运动路径长为_______．（结果保留） 【答案】4π． 【解析】 【分析】根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，知OA=OB． 又∠AOB=36°， ∴∠OBA=72°． ∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度==4πcm． 故答案是：4π． 【点睛】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解． 13. 如图，在中，，若，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用勾股定理求出 的长，再利用锐角三角函数关系得出答案； 【详解】∵在中， ， ∴ 设 则故 则 故答案为： 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键． 14. 如图，在和中，，，．将绕点A旋转，当点C、D、E在同一条直线上时，_______． 【答案】7或25 【解析】 【分析】本题主要考查旋转、等腰三角形的性质和勾股定理得应用，过点A作，根据得到和的长，分别在和中，求得和即可求得答案． 【详解】解：过点A作交于点F，如图， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 当绕点A旋转，当点C、D、E在同一条直线上时，如图， 过点A作交于点F，有上述结论成立，，，， 则． 故答案为：7或25． 15. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请问“任意闭合两个开关使小灯泡发光“的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列举法（列表和树状图）求概率，理解题意，画出树状图是解题关键；由题意列出，画出树状图，然后计算所有可能出现的结果，再计算能使小灯泡发光的结果，根据概率的定义即可求得． 【详解】解：根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有4种， 则小灯泡发光的概率是， 故答案为：． 三．解答题（本题共5小题，共43分） 16. 嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如下图所示． （1）试写出这个函数的表达式； （2）当气球的体积为2m3时，气球内气体的气压是多少？ （3）当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？ 【答案】（1）P＝；（2）当V＝2m3时，P＝48 kPa；（3）气球的体积应大于等于0.8 m3． 【解析】 【分析】（1）根据气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.6，60）故P•V＝96； （2）把V＝2代入（1）中函数关系式求p即可； （3）依题意P≤120，解不等式即可，可判断V≥． 【详解】解：（1）设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝， ∵图象过点（1.6，60） ∴k＝96 即P＝； （2）当V＝2m3时，P＝48（kPa）； （3）当P＞120kPa时，气球将爆炸， ∴P≤120，即≤120， ∴V≥0.8． ∴气球的体积应大于等于0.8 m3． 【点睛】此题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题． 17. 如图1，是一幅美丽的风景画，如图2，为彩色打印该风景画，需要在打印之前，设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），即风景画周围白色区域的宽度．若使用纸张长为，宽为，考虑到画的整体美观性，要求各页边距相等并使打印出的风景画面积占纸张面积的，请你求出所需设置的页边距宽度． 【答案】需设置页边距为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设页边距为，根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设页边距为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：需设置页边距为． 18. 如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且． （1）求的长； （2）当时， ①　　　； ②求阴影部分的周长和面积． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，含角度直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，，从而求得的值，最后根据垂径定理即可得出； （2）①根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，再根据垂径定理即可求得的长； ②连接，圆周角定理可得，从而可得，再根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，最后根据扇形的面积公式和弧长公式即可解题； 【小问1详解】 解：为的直径， ， 为中点，为中点， 且 ， ， ， ∵弦于点， ， ； 【小问2详解】 ①∵弦于点， ，， ，， ，， ． 故答案为： ②连接， ，， ， , 在中， ，，， ，， 的长， 阴影部分的周长， 阴影部分的面积； 19. 学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量“无边寺白塔”的高度，他们把“测量白塔的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量白塔的高 测量说明 测量示意图 说明：CD是高为1.5米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角∠ACM=∠1，点E处测得此时塔顶A的仰角∠AEM=∠2.（B、F、D三点在同一条直线上）。 测量 数据 ∠1的度数 ∠2的度数 CE的水平距离 40° 60° 26米 （1）请根据表中的测量数据，求白塔的高；（精确到米，参考数据，，，）． （2）“工程简介”中白塔的高度为米，请结合本次测量结果，提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）白塔的高约为米； （2）见解析． 【解析】 【分析】（）设为米，则米，在中可以得出，再列方程即可求解； （）测量过程中，测角仪的精确度不够高，计算过程有误差等，进行多次测量求其平均数即可减小误差． 本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角三角函数，正确构造直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 由题意得，米，，，四边形，，为矩形，则米， 设为米，则米， 在中，，即，解得， 在中，，即， 解得， ∴， 解得， ∴（米）， 答：白塔的高约为米； 【小问2详解】 测量过程中，测角仪的精确度不够高，计算过程有误差等，进行多次测量求其平均数即可减小误差． 20. 有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为，跨度为．把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1个单位表示）． （1）求这条的表抛物线表达式； （2）若要在隧道壁上P点处安装一个照明灯离地面的高度为，求照明灯与点B的距离． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法是解题的关键． （1）由题意可得点或在抛物线上，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出P的纵坐标是，在中，令，解得或，得到或，利用两点间的距离公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：由图象可知抛物线的顶点是，设抛物线所对应的函数关系为， ∵点或在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵要在隧道壁上点P处安装一盖照明灯离地面的高度为， ∴P的纵坐标是， 在中，令得： ， 解得或， ∴或， ∴或， ∴照明灯与点B的距离是或． 四．解答题（本题共3小题，共32分） 21. 如图1，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，点是x轴上的一个动点，点C是直线l上的一个动点，且．与重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中时，函数的解析式不同）． （1）填空：的长是_____； （2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查动点函数图象，相似三角形的判定与性质，坐标与图形， （1）从图2知，当时，与的重叠部分的面积为0，即可求解； （2）求出，，当时，则；当时，则，即可求解． 【小问1详解】 解：由图形可知：当时，与的重叠部分的面积为0，此时点P与点A重合， ∴； 【小问2详解】 解：由题意知，当点P与点O重合时（如图1）， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴； 当点C与点B重合时（如图2） ∵， ∴ 当时（如图3）． 设与分别相交于点D． 过点C作于点E， 则，， ∴． ∴， ∵， ， ∵，， ∴． ∴即． ∴， 当时（如图4），， ∴． ∴． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C． （1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标； （3）如图3，在（2）条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）点P的横坐标为6；（3）QP=7． 【解析】 【详解】试题分析：（1）通过解方程ax2-5ax+4a=0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标，再把C点坐标代入y=ax2-5ax+4a中求出a即可得到抛物线的解析式； （2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2-5ax+4a），则PD=-ax2+5ax，通过证明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（-ax2+5ax）：（-4a）=x：4，然后解方程求出x即可得到点P的横坐标； （3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，先证明∠HAP=∠KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），则可得到-10a=6-1，解得a=-，再判断Rt△PFG单位等腰直角三角形得到FG=PG=PF=2，接着证明△AKH≌△KFG，得到KH=FG=2，则K（6，2），然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y=x-4，再通过解方程组得到Q（-1，-5），利用P、Q点的坐标可判断PQ∥x 轴，于是可得到QP=7． 试题解析：（1）当y=0时，ax2-5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0）， ∴AB=3， ∵△ABC的面积为3， ∴•4•OC=3，解得OC=2，则C（0，-2）， 把C（0，-2）代入y=ax2-5ax+4a得4a=-2，解得a=-， ∴抛物线的解析式为y=-x2+x-2； （2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2-5ax+4a），则PD=4a-（ax2-5ax+4a）=-ax2+5ax， ∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠BCD， ∵∠BCP=2∠ABC， ∴∠PCD=∠ABC， ∴Rt△PCD∽Rt△CBO， ∴PD：OC=CD：OB， 即（-ax2+5ax）：（-4a）=x：4，解得x1=0，x2=6， ∴点P的横坐标为6； （3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3， ∵AK=FK， ∴∠KAF=∠KFA， 而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF， ∵∠KAH=∠FKP， ∴∠HAP=∠KPA， ∴HA=HP， ∴△AHP为等腰直角三角形， ∵P（6，10a）， ∴-10a=6-1，解得a=-， 在Rt△PFG中，∵PF=-4a=2，∠FPG=45°， ∴FG=PG=PF=2， 在△AKH和△KFG中 ∴△AKH≌△KFG， ∴KH=FG=2， ∴K（6，2）， 设直线KB的解析式为y=mx+n， 把K（6，2），B（4，0）代入得 ， 解得 ， ∴直线KB的解析式为y=x-4， 当a=- 时，抛物线的解析式为y=-x2+x-2， 解方程组， 解得 或 ， ∴Q（-1，-5）， 而P（6，-5）， ∴PQ∥x 轴， ∴QP=7． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用全等三角形的知识证明线段相等和相似比计算线段的长． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是边的中线，点E是的中点，的延长线交于点F，试判断与的数量关系． 小明探究发现，过点D作，交于点G，先证，再证，从而将问题解决． （1）请回答：与的数量关系是__________； 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： （2）已知：如图2，在中，点C在上，，点A在上，连接并延长交的延长线于点F，，若，，求的长； （3）已知：如图3，在中，点C在延长线上，，点A在的延长线上，连接并延长交的延长线于点F，，若，求和关系（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过点D作，交于点G，先证明，求得，再证，利用相似三角形的性质即可得到； （2）过点E作交于点H，证明，推出，由，利用平行线分线段成比例，即可求解； （3）过点E作，交的延长线于点H，证明，推出，再利用平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】（1）解：， 过点D作，交于点G， ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴， ∴，即； （2）过点E作交于点H，如图， ∴，， ∵， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点E作，交的延长线于点H，如图， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $