精品解析：江西省上犹中学南校区2024-2025学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题

2024-2025学年第一学期上犹中学南校区高一年级 第二次月考数学试卷 命题人：钟小林吉协红 审题人：高一数学备课组 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数为偶函数，则实数值为（ ） A. B. C. 1 D. 或1 3. 对于任意实数，，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，） A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍 8. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数a的取值范围（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域是，则函数的值域为 B. 既是奇函数又是偶函数的函数有无数个 C. 若，则 D. 函数的定义域是，则函数的定义域为 10. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象恒过定点A，且点A在直线上，则的最小值为8. B. 若，则的最大值为. C. 函数的最大值为. D. 若正数x，y满足，则的最小值是9. 三、填空题 12. 计算：______． 13. 已知函数，若不等式成立，则a取值范围是______． 14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知集合． （1）求集合A； （2）若，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. 已知函数的图象经过点．与互为反函数. （1）求的值及的定义域，并判断的奇偶性； （2）求关于的不等式的解集． 17. 已知函数，且. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）求函数在上的最值. 18. 一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km）成反比，当在距离车站5km处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元． （1）若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站距离（单位：km）应该在什么范围？ （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 19. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期上犹中学南校区高一年级 第二次月考数学试卷 命题人：钟小林吉协红 审题人：高一数学备课组 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，，再用补集和交集的概念求解即可. 【详解】由，得，所以， 或， 由，得，所以， 所以. 故选：D. 2. 已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数的值. 【详解】由题意，，即，解得或， 当时，是偶函数，满足题意， 当时，，，没有奇偶性，不合题意， 所以. 故选：C. 3. 对于任意实数，，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】赋值法可知“”是“”的不充分条件，由，所以，从而可得，可得结论. 【详解】当时，满足成立，但不满足成立， 所以“”是“”的不充分条件， 因为，所以，又，所以， 所以“”是“”的必要条件, 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，先推出上的单调性，分别解，即可. 【详解】根据奇函数的性质，奇函数在上单调递减，则在上仍然递减. 当时，，在上单调递减，故，则； 当时，注意到，于是，在单调递减，故，则. 综上，. 故选：D 5. 已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法结合零点的近似值求解. 【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为， 故需，解得，所以至少需要操作7次. 故选：C 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用对数函数、指数函数的单调性判定的范围即可比较大小. 【详解】， ， ，． 故选：D． 7. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，） A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出经过200天的“进步值”和“退步值”，再结合对数与指数运算求解作答 【详解】依题意，经过200天的“进步值”为，“退步值”为， 则“进步值”与“退步值”比， 两边取对数得， 因此，所以“进步值”大约是“退步值”的55倍. 故选：B 8. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得，构造函，根据单调性定义知在上单调递增，利用复合函数的单调性法则转化为：函数在上单调递增，且恒成立，然后利用指数函数的性质列不等式求解即可． 【详解】即， 即， 令，由，得，从而， 记， 由及得，在上单调递增， 令， 又在上单调递增，由复合函数单调性可知， 函数在上单调递增，且恒成立， 故，则， 故实数a取值范围为． 故选：C. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域是，则函数的值域为 B. 既是奇函数又是偶函数的函数有无数个 C. 若，则 D. 函数的定义域是，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数值域的定义判断A；举例子说明满足性质的函数有无数个可判断B；举反例排除C；利用抽象函数定义域的求法可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为与的值域相同，故A错误； 对于B，设，且，是关于原点对称的区间， 则既是奇函数又是偶函数，由于有无数个，故有无数个，即B正确； 对于C，取全集，，， 则，满足，但，故C错误； 对于D，因为的定义域是， 则对于，有，解得， 即函数的定义域为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象可得，即可结合图象，根据选项即可求解. 【详解】作出的图象如下：令，则， 故，，A错误，BC正确， 令，则或 ，结合图象可知，D正确. 故选：BCD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象恒过定点A，且点A在直线上，则的最小值为8. B. 若，则的最大值为. C. 函数的最大值为. D. 若正数x，y满足，则的最小值是9. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出指数恒过定点，代入直线方程得，然后利用“1”的代换求解最值判断A，利用基本不等式求解最值判断BC，先利用基本不等式得，然后解一元二次不等式即可判断D. 【详解】对于A：时，函数值恒2， 函数的图象恒过定点，又点A在直线上，，又，， （当且仅当时取“=”），所以的最小值为9，故A错误； 对于选项B：因为，所以， 当且仅当，即时取等号．故B正确； 对于C：因为，所以， 当且仅当时等号成立，则函数的最大值为，C正确； 对于D：因为，且，所以， 即得，所以，即得， 当且仅当时取最小值9，D正确. 故选：BCD． 三、填空题 12. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用换底公式、对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得. 详解】 ． 故答案为：1． 13. 已知函数，若不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】设，定义域为R， 则，故是奇函数． 不等式等价于不等式， 即不等式． 因为是奇函数，所以． 因为均是R上的减函数，所以是R上的减函数， 则，即，解得． 则a的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解. 【详解】由于函数在上单调递减， 又因为在上是减函数，所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得： 函数在上单调递增，且． 当时，在上单调递减，不符合题意， 当时，由题意得：，解得． 则实数a的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知集合． （1）求集合A； （2）若，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域即可得集合. （2）解不等式化简集合，利用必要不充分条件的定义，借助集合的包含关系列式求出范围. 【小问1详解】 由，得，解得，所以. 【小问2详解】 ， 则或，由，且p是q的必要不充分条件， 得集合A是集合B的真子集，则或，解得或， 所以实数m的取值范围是或. 16. 已知函数的图象经过点．与互为反函数. （1）求的值及的定义域，并判断的奇偶性； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1），定义域为，为非奇非偶函数 （2）} 【解析】 分析】（1）将点代入解析式中计算即可得，结合对数定义即可得其定义域，由定义域即可得其非奇非偶； （2）结合对数函数单调性及定义域计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得，即， 所以，即，则， 则有，解得，故的定义域为， 为非奇非偶函数； 【小问2详解】 由（1）可得，， 由与互为反函数，可得， 不等式可化为， 因为在上是增函数， 所以，即，解得， 故该不等式解集为. 17. 已知函数，且. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由题意得方程，求解即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据单调性可得最值. 【小问1详解】 因为，且，所以，所以. 【小问2详解】 函数在上单调递增.证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 18. 一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km）成反比，当在距离车站5km处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元． （1）若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离（单位：km）应该在什么范围？ （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 【答案】（1） （2）15km，最小值为7万元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再由题意列不等式求解； （2）利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 设，， 由题知：当时，和的费用分别为1万元和8万元， 即，，解得，， 所以，． 若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元， 即，解得， 所以若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元， 则仓库到车站的距离的取值范围为（单位：km）． 【小问2详解】 由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以仓库到车站的距离为15km时，两项费用之和最小，最小值为7万元． 19. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的值域可得，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以， 即，即，解得， 因为，所以. 当时，，此时的定义域为， 关于原点对称，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 由题意得，， 由（1）知，， 易得在上单调递增，故. ， 当时，，所以， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$