专项5 相似三角形的常见辅助线的作法&易疑难集训二-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（人教版）

参考答案及解析 )品分即F=古c。 10.解：(1)：∠A=50°，AB=AC, :FH=EH-EF=TEC, 5∠B=∠C=7180°-50)=65 6 BD=DE,∴∠B=∠BED=65°， 1EC 1 ,∴.∠BDE=180°-∠B-∠BED=50. △BDE∽△CDF, ∠CDF=∠BDE=50°， 5.C[解析]，∠ACB=∠AED=90°，AC=CB,AE= ∴∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=80. ED,∴.∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ADE=45 (2):转动∠EDF后，△BDE和△CDF始终保持 ∠ACB=∠AED=90°，∴.点A,B,C,E四点共圆， 相似，∴.∠BED=∠FDC .∴∠ACE=∠ABE,∠BEC=∠BAC=45°，∴.△OCE ∴.∠EDF+∠FDC=∠BED+∠B, ∽△OBA.∠ADE=∠CEO,∠AOD=∠COE, ∴.△OCE△OAD,故选C. A∠BF=∠B=7x(180e-LA 6.3[解析]在△MCD和△ABC中，∠ADC= =7×(180-50）=650 ∠ACB,∠A是公共角，△ACD一△ABC,北 即a为65时，△BDE和△CDF始终保持相似. A报AC=2,AD=5AB=43DB=AB-AD于 专项5朝似三角形的常见辅助线的作法 1.(1)证明：如答图，连接OD,AD. 4-1=3. ,DE切⊙O于点D,.OD⊥DE. 7.(1)证明：∠BAD=∠C,∠B=∠B, 0 :AB是直径，∴∠ADB=90°， .△ABD∽△CBA. AB=AC,.D是BC的中点 （2)解：△4D△c影-黑 又点O是AB的中点 1题答图 AB=6,D=3品=GBC=12. .OD∥AC,∴.DE⊥AC (2)解：AB=10,0A=0B=0D=5, 、.CD=BC-BD=12-3=9. ∴.OF=B0+BF=号，AF=BF+AB=40 8.B[解析]BE⊥AC,CD⊥AB,∴，∠ADC=∠AEB= 3 90又A=∠A△4E△CD5-e 由(I)得OD∥AC,.△ODF∽△AEF, 2 指-2又：∠A=A△4MD△Mc, AE OF OD 35 AFE40AE=8. 2 2C=而E指-器设 2.证明：如答图，过点P作PE⊥AC 于E,PF⊥CB于F,则四边形 AE=x,则AB=I0x在RI△ABE中，AB2=AE+ CEPF为矩形. BE,即（￥10x)2=x2+6,解得x=2或x=-2 .PF=EC. (舍).故选B. 易得∠A=∠B=45°， 2题答图 9.证明：(1)△ABC是直角三角形，AB是斜边， ∠AEP=∠BFP=90°， .∠ACB=90°，∠A+∠B=90. DF⊥AB,∠ADF=90°， A4P△BR品-得0-瓷D .∠F+∠A=90°，.∠F=∠B, CP⊥MN于Q,∴.∠QCN+∠QNC=90 又：∠ADF=∠EDB=90°， 又.∠QCN+∠QCM=90°， ,∴.△ADF∽△EDB. ∴.∠QCM=∠QNC. (2):CD是R△ABC的斜边AB上的中线， 又.∠PEC=∠MCN=90°， ,∴.CD=AD=DB. ∴.Rt△PEC∽Rt△MCN. 由△A0F△DB,可相品微 出长兴@ 六品-8品cm=E成 由e得品-兴即P啡PB=CcX ·17· 九年级数学（下册） 3.证明：如答图，延长GF与AC,交 2.D 于点H. 易错分析 CD⊥AB,FG⊥AB,,CD∥FG 本题易误用平行线分线段成比例得 ∴.∠AGF=∠ADE,∠AFG= BD ∠AED,∠AHF=∠ACE, ∠AFH=∠AEC 瓷从面错法巴 3题答图 ∴△AFG∽△AED,△AFI△AEC 3.A[解析]当3,4为直角边长，6,8也为直角边长 能胎能股品熙 时，此时两直角三角形相似，不合题意：当4为直角 三角形的斜边长，8为另一直角三角形的斜边长时， 又，ED=EC,.FG=FH. 两直角三角形相似，不合题意：当3,4为直角边长， CF FH 易证得RL△CFH∽R△GFB.GF=FB 8为另一直角三角形的斜边长时，m=5,n=2,7,故 m+n=5+27:当6,8为直角边长，4为另一直角三角 .FG·FH=CF·BF 形的斜边长时，m=、7,n=10,故m+n=10+7 FG=FH,.FG2=CF·BF 易错分析 4.解：如答图，取AC中点H, 在确定两个三角形相似时，如果对应顶点 连接EH. 没有确定，应该按对应顶点分类讨论，否则容易 E为AB的中点，H为AC的中点， 出现漏解。 ,EH为△ABC的中位线， 4题答图 4.解：设较大三角形的面积为x©m,则较小三角形的 .EH∥BC. 面积为(x-90)cm2 在平行四边形ABCD中， AF =2 cm,DF =4 cm,.'.AD AF +DF =6 cm. x-90= 20 40 ,解得x=120,故较大三角形的面积 ∴.BC=AD=6em,∴.EH=3cm. 为120cm. :EH∥BC∥DA,∴.△GHE∽△GAF, ,以易错分析 即m 两个相似三角形的面积比等于相似比的平 2 =2cm, 方.不要误认为面积比等于相似比 4C=2x3+2）=15m 5.4:9或1：3【解析]分两种情况讨论：①当 5.解：如答图，过点D作AB的平行线交AC于G △4DaMC时，：股-2=写△MDE与 肥品2 △ACB的周长之比为1：3：②当△ADE∽△ABC时， CD 1 EF 2 CB=3·FD3 能-船=音△0E与△c的网长之比为 4:9,综上，△ADE与△ABC的周长之比为：3或4：9. 易得△FAE∽△FGD. ,以易错分析 △CGD∽△CAB 5题答图 已知两个三角形相似时，如果没有用相似 "部号册品行 符号连接，则需要进行分类讨论.本题中两个三 6=号c,A服=30c :角形的对应边没有明确，故此题有多解 6号号〔解折]当光把时， BE 7 :∠A=∠A,△AED△ABC 易错疑难集训三 北时：8c”,62=号 AC 5 1A〔解折]周为AB/D∥状可符品-器故A 当404B AE=AC时，”∠A=LA,△ADE∽△ABC 成立，B不成立；平行线分线段成比例所涉及的线 段与平行线上所载的线段无关，故C,D不正确. 此时AE=4C,4D_5×2.5 AB 6 易错分析… 氢易错分析 利用平行线分线段成比例时，要结合图形 确定成比例线段的四条线段的对应位置关系， 当能或把把时.以4，D,E为顶点 不能混淆，同时注意平行线分线段成比例中的 的三角形与△ABC相似，本题容易因考虑问题 比例线段与平行线上所截的线段无关 不全面面出现漏解 ·18 参考答案及解析 72或4.5[解析]当△MF△MC时，作-把即 设EF=x米，则DF=x米，DE=2x米， ∠B=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECD, -名得A=2:当△△0B时，普-G △MC△c0%5 即品-名释F=45 .x=8,.DE=82米， ,易错分析 故DE的长度为82米 根据题意，要使△AEF与△ABC相似，由于 【能力提升练】 本题没有说明对应关系，故采用分类讨论思想 1.A[解析]由题意可得△ABD~△ACE, AC 有两种可能：(I)△AEF∽△ABC:(2)△AEF∽ AACB. D 故x+BC=CE ,故选A 82或4 [解析]，D为AB中点， 2.4.5【解析]：AB∥CD,△0AB∽△0CDAB CD AD 1 六B=2如答图，当DE∥BC时， CE CD 6 =BE6=8.CD=4.5 em. △ADE∽△ABC,则4D-DE-AE.1 8题答图 3.解：(1)由题意，得∠PAB=30°，∠ABP=120°， .∴.∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°. 当DE'与BC不平行时，有DB=DE,可得4E= .'PB =AB =60 n mile AC 4 (2)如答图，作PH⊥AB于点H. ,圆易错分析 由(I)知PB=60 n mile. 利用相似三角形的判定和性质时，要注意 相似的对应关系.分类讨论时，要注意对应关系 的变化，防止遗漏 60 27.2.3相似三角形应用举例 【基础巩固练】 1.C[解析]依题意，得BE∥CD,∴.△ABE∽△ACD, 3题答图 小能8器2品剩D=12m敢该C 在Rt△PBH中，∠BPH=30, 2.C[解析]：BC⊥CA,MN⊥AN,∴.∠C=∠MNA= ∴BM=PB=30nmi 90,∠BHC=∠MAN△BC△MM… BC 由勾股定理，得PH=30,√3 n mile,. 305>50. 长脚识=常MN=192m高楼MN的高 “,海警船继续向正东方向航行是安全的 题型变式 度是19.2m.故选C. 3.420[解析]由题意可得，∠DEF=∠DCB=90°， 1.解：如答图，过点F,作F,G⊥AB,分别交DC,DC, AB于点M,N,G,易知点F在FG上 ∠D=∠D,△DEF∽△DCB,.BC:EF=DC:DE. DC⊥AE,D,C1⊥AE,BA⊥AE, DE 30 cm,EF 15 em,AC 120 cm,CD .DC∥DC,∥BA, 60em,g-解得c=30(cemA相=4C 易得△F,D,N∽△F,BG,△FDM∽△FBG, DN F N DM FM +BC=120+300=420(cm). BGFG'BG FG 4.C[解析]AC⊥BP,BD⊥BP,.AC∥BD, FN FM 六△PaD△PMC8C=得：AB=20m,4C= 易知D,N=DM..FG=FG 3 2 40m,BD=50m40=P片 50_PA+20 P4=80 m. GM+11GM+2 .GM=16m. 5.解：如答图，过点E作EF⊥BC于点F, DN FN 1题答图 BGFG D1N=C,D-E,F=3-1.5=1.5(m), 5题答图 品-7Bc=1B.5m, ∠CDE=135°， .AB BG+GA =15 m. ∠EDF=45o,∴.DF=EF 答：电线杆AB的高度为I5m ·19第二十七章相似 专项5相似三角形的常见辅助线的作法 [答案川7] 类型①作平行线 于点F,FG⊥AB于点G ①如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O 求证：FG2=CF·BF 交BC于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于 点E,交AB延长线于点F (1)求证：DE⊥AC: (2)若B=0.F-9,求E的长 3题图 1题图 类型⑨作中线 ④（江西萍乡期末）如图，在平行四边形ABCD中， E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于点 G,AF=2cm,DF=4cm,AG=3cm,求AC的长. 4题图 类型②作垂线 2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是 AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过 点Q且MN⊥CP,分别交AC,BC于点M,N 求证：PA:PB=CM:CN. 类型⑤作相似三角形 ⑤如图，直线DF分别交△ABC的BC,AB两边于 2题图 D.,与4的延长线交于，若脱铝-2，求 能的血 5题图 类型③作延长线 3如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边 AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 29 通九年级数学（下册） 易错疑难集训二 [答案PH8] 易错暖难点①应用平行线分线段成比例时容易 1 圆错爆通点③误认为相似三角形面积比等于相 弄混比例线段的对应关系而出错 似比而出错 (湖北武汉泰甸区模拟)如图，已知AB∥CD∥ 4两个相似三角形对应边的长分别为20cm和 EF,那么下列结论正确的是 40cm,且两个三角形的面积差为90cm2.求较大 三角形的面积 1题图 +0-8胎 B能 c0能 架 2(雅安中考)如图，在△ABC中，D,E分别是AB 和4C上的点.DE∥Bc,如果品子.那么能 圆铝凝通盒④对分类问题缺乏讨论意识而出错 5在△ABC中，AB=9,AC=12,BC=18,D为AC 边上一点，AD=4.在AB边上取一点E,连接 2题图 DE,得到△ADE.若这两个三角形相似，则△ADE 与△ABC的周长之比是 9 B. 2 6(教村P44T14变式)在△ABC中，AB=6,AC= c号 D号 5,点D在AB上，且AD=2,点E在AC上，当AE 时，以A,D,E为顶点的三角形与 △ABC相似 易齿极地点②在图形不确定的情况下因考虑问 7如图，在△ABC中，AB=9,AC=6,点E在AB 题不全面而出错 上，且AE=3,点F在AC上，连接EF,若△AEF ③（黑龙江大庆中考）已知两个直角三角形的三边 与△ABC相似，则AF= 长分别为3,4，m和6,8，n,且这两个直角三角形 不相似，则m+n的值为 7题图 8题图 A.10+7或5+27 8(上海中考)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B= B.15 C.10+7 90.D为AB中点E在线段4C上，0能则 AE D.15+37 AC 306 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩