第01讲 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）（4大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第01讲 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 课程标准 学习目标 直角三角形两个锐角互余的性质 直角三角形斜边上的中线的性质 1.掌握直角三角形两个锐角互余的性质 2 会用判定定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形 3.掌握直角三角形斜边上的中线的性质，并能灵活应用 4.准确理解与掌握“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半” 知识点01 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角 。 【即学即练1】 如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A．65° B．80° C．105° D．115° 知识点02 锐角互余的三角形是直角三角形 有两个角 的三角形是直角三角形。 【即学即练1】 已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 知识点03 含30度角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30”，那么它所对的直角边等于斜边的 。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于 【即学即练1】 如图，在中，，，将沿折叠后得到，且点D在上，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 知识点04 斜边的中线等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。 【即学即练1】 如图，，E，F分别为的中点．问：有怎样的位置关系？并说明理由． 题型01 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在中，，于，是的平分线，交于，交于，求证：． 【变式2】如图所示，在中，已知，，. (1)求和的度数； (2)若平分，求的度数． 【变式3】如图，在中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数（用含，的式子表示）． 题型02 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例1】在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】如图，在中，三边上的高相交于点M，P为的中点，Q为的中点，求证：． 【变式2】如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【变式3】如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【变式4】如图，是的边上的中线，，求证：是直角三角形．将下面证明的过程补充完整． 证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（ ）． ∵， ∴． ∴（ ）， 同理，， ∵（ ）， ∴， ∴是直角三角形（ ）．    题型03 含30度角的直角三角形 【典例1】等腰三角形底边上的高为腰的一半，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．18 【变式2】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ． 【变式3】如图，在中，，，于，则 ． 题型04 斜边的中线等于斜边的一半 【典例1】如图，在中，，与分别是斜边上的高与中线，以下判断中正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在中，为斜边上的中线，已知，则的周长= ． 【变式2】三角形三个角的度数之比为，它的最长边等于20，则最短边长是 ． 一、单选题 1．如图，厂房屋顶外框是等腰三角形，其中，是的中线，且，米，则（   ）米． A．15 B．20 C．25 D．30 2．如图，这是某自动扶梯的示意图，已知大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为，若自动扶梯的运行速度为，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，E为的中点，与相交于点F．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．在中，是斜边上的高，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．如图，在中，，是边的中点，若，则的长是（   ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图为等边与正方形的重叠情形，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 9．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在等边中，D，E分别是，边上的点，且，与相交于点F，垂直于．则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，一次强台风中一棵垂直于地面生长的大树在离地面处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树折断前的高度为 ． 12．一个直角三角形斜边上的中线长是，则它的斜边长是 ． 13．如图，在中，，为的中点，，则的长是 ． 14．如图，中，为的高，，，那么 ． 15．如图，在中，D是的中点，，，则的长是 ． 16．如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 17．如图1，在中，，M为中点将沿翻折，得到（如图2），P为上一点，再将沿翻折，使得D与B重合（如图3），给出下列四个命题：①；②；③；④．其中说法正确的是 ． 18．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接、，过点作分别交、于点、，为边上的动点，连接、．以下结论：①；②；③当时，为的中点；④当时，若，，则的最小值可表示为，其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 19．如图，在中，，平分，且，求的度数． 20．如图，在等边中，D为边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 21．已知，如图，在中，，，，交于点，，求线段的长． 22．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，G为中点，连接，． (1)求证：； (2)已知，求的度数． 23．如图，在中，于D，于点E，交于点F，且． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 24．如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)作，垂足为G，求证：． 25．如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． (1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长． (2)如图②，当时，求证：内接直角三角形的斜边满足：； (3)拓展延伸：如图③，当时，若、分别在、的延长线上，与，还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与，满足的数量关系式，并证明你的结论． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 课程标准 学习目标 直角三角形两个锐角互余的性质 直角三角形斜边上的中线的性质 1.掌握直角三角形两个锐角互余的性质 2 会用判定定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形 3.掌握直角三角形斜边上的中线的性质，并能灵活应用 4.准确理解与掌握“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半” 知识点01 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余。 【即学即练1】 如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A．65° B．80° C．105° D．115° 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形两锐角互余、平角等于等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余可求出，再根据旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角及旋转前后的图形全等，可求出，最后再根据平角等于即可求出旋转角． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质得，且旋转角为， ∵点、、在同一条直线上， ∴， ∴旋转角等于． 故选：D． 知识点02 锐角互余的三角形是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形。 【即学即练1】 已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 【详解】解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 知识点03 含30度角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30”，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30° 【即学即练1】 如图，在中，，，将沿折叠后得到，且点D在上，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质及含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．先求出即可求出结论． 【详解】解：在中，，，， ， 沿折叠后得到， ， 故选：C ． 知识点04 斜边的中线等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【即学即练1】 如图，，E，F分别为的中点．问：有怎样的位置关系？并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，连接、，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论． 【详解】解：，理由如下： 如图，连接， ∵，E是的中点， ∴， 同理，， ∴， 又F为的中点， ∴． 题型01 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，由旋转可得，，由直角三角形两锐角互余可得，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，， ∵ ∴， ∴， 故选：． 【变式1】在中，，于，是的平分线，交于，交于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形的角平分线，余角性质，直角三角形的两锐角互余，由，可得，，进而由角平分线的定义和余角性质可得，再根据对顶角相等即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图所示，在中，已知，，. (1)求和的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理计算即可求解； 本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如图，在中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用三角形内角和定理可得，再根据三角形角平分线的定义可得，由根据三角形的高可得，即得，最后根据角的和差关系即可求解； （）同理（）解答即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 即． 题型02 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例1】在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①当时，不能判定是直角三角形，不符合题意； ②当时，，能确定为直角三角形，符合题意； ③设，则，， ， 解得， ，，，不能判定是直角三角形，不符合题意； ④设，则，， ， 解得， ，能确定为直角三角形，符合题意； ⑤设，则， ， 解得：， ，，不能判定是直角三角形，不符合题意； 综上所述，能确定为直角三角形的条件有2个， 故选：． 【变式1】如图，在中，三边上的高相交于点M，P为的中点，Q为的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的斜边上中线等于斜边的一半，线段垂直平分线的判定，正确添加辅助线是解题的关键． 可得均为直角三角形，继而由斜边上的中线性质得到，则点在的垂直平分线上，继而可求证． 【详解】证明：连接， ∵三边上的高相交于点M， ∴均为直角三角形， ∵P为的中点，Q为的中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴． 【变式2】如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【变式3】如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式4】如图，是的边上的中线，，求证：是直角三角形．将下面证明的过程补充完整． 证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（ ）． ∵， ∴． ∴（ ）， 同理，， ∵（ ）， ∴， ∴是直角三角形（ ）．    【答案】；中线的定义；；等边对等角；三角形内角和等于；有两个角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、中线的定义以及直角三角形的判定等知识点，利用中线的定义，可得出，结合，可得出，根据等边对等角可得出，，利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出，再利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”，即可得证．根据各角之间的关系，找出是解题的关键． 【详解】证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（中线的定义）． ∵， ∴． ∴（等边对等角）， 同理，， ∵（三角形内角和等于）， ∴， ∴是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）． 故答案为：；中线的定义；；等边对等角；三角形内角和等于；有两个角互余的三角形是直角三角形． 题型03 含30度角的直角三角形 【典例1】等腰三角形底边上的高为腰的一半，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用． 根据直角三角形的性质可求得等腰三角形的底角的度数，根据三角形内角和定理即可求得其顶角的度数． 【详解】解：∵在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识点．过点E作，交于点D，根据角平分线的性质可得，再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，证明，求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D，如图所示：      ∵点E在的平分线上，， ∴， ∵，， ∴． ∵，点E在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．利用旋转的性质可得，，由题意可得阴影部分的面积，过点作，利用含30度直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴ ∴阴影部分的面积 过点作，如下图：    ∵ ∴ ，即阴影部分的面积为 故答案为： 【变式3】如图，在中，，，于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30 度角的直角三角形的性质，推出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型04 斜边的中线等于斜边的一半 【典例1】如图，在中，，与分别是斜边上的高与中线，以下判断中正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，根据斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，同角的余角相等，进行判断即可． 【详解】解：∵在中，，与分别是斜边上的高与中线， ∴， ∴， ∴，； 故①②③正确， 无法得到，故④错误； 综上分析可得：正确的有3个． 故选：C． 【变式1】在中，为斜边上的中线，已知，则的周长= ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，两锐角互余以及斜边上中线等于斜边的一半，角的直角三角形性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由直角三角形锐角互余得到，则，再由斜边上中线得到，即可求解周长． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：． 【变式2】三角形三个角的度数之比为，它的最长边等于20，则最短边长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的判定与含30度角的直角三角形的性质．根据三角形内角和定理求得三个角的度数，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得答案 【详解】解：三角形三个内角的度数之比为， 设三个内角的度数分别为，，， ， 解得， ， 这个三角形是直角三角形， 最长边等于20，即斜边为20， 最小边即角所对的边，根据角所对的边等于斜边的一半． 最小边为10． 故答案为：10． 一、单选题 1．如图，厂房屋顶外框是等腰三角形，其中，是的中线，且，米，则（   ）米． A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．根据“等腰三角形三线合一”得到，结合，可得，即可求解． 【详解】解： ，是的中线， ，即， ，米， 米， 故选：B． 2．如图，这是某自动扶梯的示意图，已知大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为，若自动扶梯的运行速度为，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 根据含度角的直角三角形的性质可以计算出自动扶梯的长度，然后根据“”即可得出答案． 【详解】解：大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为， 自动扶梯的长度， 顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为：， 故选：． 3．如图，，E为的中点，与相交于点F．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质：斜边上中线等于斜边一半，等边对等角，三角形内角和等知识，掌握直角三角形斜边上中线的性质是关键；由直角三角形斜边上中线的性质得，从而得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．在中，是斜边上的高，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据同角的余角相等求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：如图，是斜边上的高，， ，， ， ∵， ， 故选：B． 5．如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，， ， 为边的中点， ， ， ， 故选：A． 6．如图，在中，，是边的中点，若，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据可得的长为． 【详解】解：在中，，是边的中点， ， ， ． 故选：C． 7．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 由题意推出，在中，，即可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图为等边与正方形的重叠情形，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形，过点作，证明为等边三角形，根据含30度角直角三角形的性质，求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵等边， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的面积为； 故选D． 9．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，利用直角三角形两锐角互余结合平角的定义进一步证明，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故A，B，D正确， C错误， 故选：C． 10．如图，在等边中，D，E分别是，边上的点，且，与相交于点F，垂直于．则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形全等的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解此题的关键． 作于G，根据等边三角形的性质得，，证，得， 求出，得出，从而得到，再证明得出，推出即可解答． 【详解】解：如图，作于G， ∵是等边三角形， ，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 11．如图，一次强台风中一棵垂直于地面生长的大树在离地面处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树折断前的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质．根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【详解】解：根据题意， ∵，， ∴， ∴． 则这棵大树在折断前的高度为． 故答案为：． 12．一个直角三角形斜边上的中线长是，则它的斜边长是 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质．则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线长是， ∴斜边长． 故答案为：10． 13．如图，在中，，为的中点，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是直角三角形的性质,掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵，D是中点，， ∴ 故答案为：3． 14．如图，中，为的高，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高的定义，由，设，则，，进而利用直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解． 【详解】解：由 ，设，则， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，D是的中点，，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，根据在中，D是的中点，得，再结合，证明是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵在中，D是的中点， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：3 16．如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 【答案】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，然后利用角的和差关系可得，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握含度角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 17．如图1，在中，，M为中点将沿翻折，得到（如图2），P为上一点，再将沿翻折，使得D与B重合（如图3），给出下列四个命题：①；②；③；④．其中说法正确的是 ． 【答案】①④ 【分析】根据折叠的性质得到，，等量代换得到，求得；故①正确；假设，根据全等三角形的性质得到，由直角三角形的性质得到，于是得到与不一定全等；故②错误；假设，得到由直角三角形的性质得到，得到，推出不一定等于，得到不一定垂直于；故③错误；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据三角形的内角和得到，故④正确． 【详解】解：∵将沿翻折，得到， ∴， ∵再将沿翻折，使得与重合， ∴， ∴， ∴；故①正确； 假设，， ∵在中，，为中点， ∴， ∴， ∴，而不一定等于， ∴与不一定全等；故②错误； 假设，则， ∵在中，，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而不一定等于， ∴不一定垂直于；故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握直角三角形的性质、全等三角形的判定定理、翻转变换的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 18．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接、，过点作分别交、于点、，为边上的动点，连接、．以下结论：①；②；③当时，为的中点；④当时，若，，则的最小值可表示为，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】由等腰三角形性质得出，再由旋转的性质得出，，再得出，即可判断①；截长补短，在上截取，先证，再证是等边三角形，即可判断②；当时，，再由垂直很容易判断出③；求线段和最小问题，将军饮马模型，作关于的对称点，连接，，证和重合，则，即可判断④． 【详解】解：，， ， 绕点顺时针旋转得到， ，， ，， ， ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 如图，在上截取， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，， ， 在和中， ， ， ，即是中点， 故③正确，符合题意； 如图，作关于的对称点，连接，， 则， 当且仅当、、三点共线时，取等，此时为最小值， ，， 垂直平分， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 和重合， 由②知， ， ， 即的最小值为， 故④正确，符合题意； 综上，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、角所对的直角边是斜边的一半、等边三角形的性质、轴对称最短路径等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题 19．如图，在中，，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形的性质．根据角平分线定理可知，根据直角三角形的两个锐角互余可知，等量代换可知，从而可得，根据可求的度数． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．如图，在等边中，D为边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为60 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，然后结合等边三角形的性质，证明，即可作答． （2）由等边三角形的性质得，再结合所对的直角边是斜边的一半，则，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵D是的中点， ∴． 在和中 ∴ ∴． （2）解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的周长为60． 21．已知，如图，在中，，，，交于点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．首先根据，，可以求出，根据可以求出，根据等角对等边可以求出，再根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出，从而可得的长为． 【详解】解：如下图所示， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 22．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，G为中点，连接，． (1)求证：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 点是的中点， ∴ ， ， 为中点， ； （2）解：， ， ∴ ， ，点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 的度数为． 23．如图，在中，于D，于点E，交于点F，且． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，由等式的性质可得，然后利用即可得出结论； （2）过点作，交于点，由垂线的性质可得，由等式的性质可得，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，即，利用可证得，于是可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，于是得解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点， ， ， 又， ， 由（1）可得：， ， 即：， 在和中， ， ， ， ， 即：的度数为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)作，垂足为G，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及等边三角形的性质等知识， （1）由等边三角形的性质得，，再证出，进而即可得解； （2）由，可得，由，可得，再由直角三角形的性质即可得解； 熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中 ， ， ； （2）证明：，垂足为， ， ． ， ， ∴． 25．如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． (1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长． (2)如图②，当时，求证：内接直角三角形的斜边满足：； (3)拓展延伸：如图③，当时，若、分别在、的延长线上，与，还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与，满足的数量关系式，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，得，，根据勾股定理的应用，即可； （2）过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，，根据勾股定理，则，即可； （3）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，根据勾股定理，则，进行解答，即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在 中，由勾股定理得：． （2）如图，过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴，， ∴， 在中，， 即． （3）如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 【点睛】本题考查等腰三角形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，进行解答，即可． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$