专题04 不等式与二次函数综合应用的高级探讨（12大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题04 不等式与二次函数综合应用的高级探讨 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型一：一元二次含参不等式的解法 题型二：通过一元二次不等式整数解求解参数 题型三：双系数不等式的相互转化技巧 题型四：一元二次型取整不等式的探讨 题型五：含参数与整数解的不等式组综合问题 题型六：一元二次不等式与其根、系数的关系 题型七：一元二次型中的主元转换策略 题型八：恒成立与存在性条件下的参数求解 题型九：给定区间内存在性与恒成立性的参数求解 题型十：利用分参技巧进行参数求解的方法 题型十一：恒成立与存在性条件下的复杂参数求解 题型十二：不等式问题的综合应用与解析 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 8、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 一元二次含参不等式的解法 1．（2024·高一·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)若为非负实数，解关于的不等式. 2．（2024·高一·安徽芜湖·期中）解关于的不等式. 3．（2024·高一·北京海淀·期中）已知函数． (1)若，且，求的最小值； (2)若，解关于的不等式． 4．（2024·高一·四川成都·期中）已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 5．（2024·高一·江苏常州·期中）已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 6．（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于x的不等式解集.（其中） 通过一元二次不等式整数解求解参数 1．（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．（2024·高一·甘肃嘉峪关·期中）关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2024·高一·云南玉溪·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·河南漯河·期中）关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围是（    ） A．[-3，-2)∪(4，5] B．[-3，-2]∪[4，5] C．(-3，-2]∪[4，5) D．(-3，-2)∪(4，5) 6．（2024·高一·天津南开·期中）已知，集合，若集合中有且仅有两个整数，则取值可以是下面的（    ） A． B． C． D． 双系数不等式的相互转化技巧 1．（2024·高一·河北·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（   ） A． B．，或 C．，或 D． 2．（2024·高一·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 3．（2024·高一·贵州毕节·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2024·高一·山东泰安·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·浙江杭州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集（   ） A． B．或 C． D．或 一元二次型取整不等式的探讨 1．（2024·高一·上海黄浦·期中）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，则不等式成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·河南洛阳·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·上海黄浦·期中）设表示不超过x的最大整数，如，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·湖北荆门·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知表示不超过x的最大整数，例如，则关于x的方程的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 6．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 含参数与整数解的不等式组综合问题 1．（2024·高一·山东济南·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·四川广安·期中）已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·上海·阶段练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·陕西渭南·期末）若不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·湖南邵阳·期中）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一元二次不等式与其根、系数的关系 1．（2024·高一·全国·课后作业）已知是第二象限角，，是关于的方程的两根，则 ． 2．（2024·高一·上海奉贤·期中）课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则 ． 3．（2024·高一·上海·阶段练习）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 4．（2024·高一·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 5．（2024·高一·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 6．（2024·高一·上海·期中）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数 . 一元二次型中的主元转换策略 1．（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·高三·全国·课后作业）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D． 3．（2024·高三·福建龙岩·期末）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·全国·课后作业）若不等式对满足的所有实数恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D．或 6．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）若函数，且，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 恒成立与存在性条件下的参数求解 1．（2024·高一·湖南怀化·期中）若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是 . 2．（2024·高一·天津西青·期中）已知关于x的不等式 对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 3．（2024·高三·湖南·期中）已知命题：“”为真命题，则的取值范围是 ． 4．（2024·高一·湖南·期中）已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为 . 5．（2024·高一·四川达州·期中）已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为 6．（2024·高一·上海金山·期中）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 . 给定区间内存在性与恒成立性的参数求解 1．（2024·高一·上海松江·阶段练习）函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 2．（2024·高一·河北保定·期中）已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 . 3．（2024·高一·云南·期中）已知命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 4．（2024·高一·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 5．（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）已知命题“，”为假命题，则参数的取值组成的集合为 . 6．（2024·高一·福建泉州·期中）对于，满足恒成立，则的取值范围为 . 利用分参技巧进行参数求解的方法 1．（2024·高一·安徽马鞍山·期中）若关于的不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 2．（2024·高一·江苏无锡·期中）若对，，使不等式成立，则的取值范围是 . 3．（2024·高一·广东·期中）恒成立，则实数a的取值范围是 4．（2024·高一·四川达州·阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 5．（2024·高一·云南昆明·期中）若“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 6．（2024·高三·上海·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 恒成立与存在性条件下的复杂参数求解 1．（2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·山西运城·期末）已知函数,.若对任意的,总存在实数,使得成立,则实数的取值范围为 A． B． C． D． 3．（2024·高一·四川遂宁·期末）已知函数.若对任意的，总存在实数,使得成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 4．（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·安徽蚌埠·期中）设函数，，若对于任意的，存在，使成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 不等式问题的综合应用与解析 1．（2024·高三·江西九江·期末）已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为 ． 2． 为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 3．（2024·高一·浙江·期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 . 4．（2024·高一·浙江·期中）函数，，最大值为，则的最小值是 5．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 . 6．（2024·高三·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为 1．若不等式的解集为R，则的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 3．若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知命题．为真命题，则m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 5．命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 6．对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为20 D．的最小值为 9．（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 10．（多选题）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 11．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 12．设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 13．常数，函数 (1)解关于的不等式； (2)若，存在，对任意，恒成立，求的最小值. 14．已知二次函数，的解集为. (1)若，求的值； (2)若，，求实数k的取值范围. 15．已知函数，且不等式对一切实数x恒成立． (1)求函数的解析式； (2)在(1)的条件下，设函数，关于x的不等式，在有解，求实数m的取值范围． 1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知常数，函数，命题：对任意的，都有成立的充要条件为；命题：若方程无实数解，则方程也一定没有实数解.则以下说法正确的是（   ） A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为假命题，命题为真命题 C．命题为真命题，命题为假命题 D．命题为假命题，命题为假命题 4．已知函数的定义域为，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 7．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　） A． B． C． D． 8．（多选题）已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 9．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为 . 10．命题“”为假命题，则实数的范围为 . 11．定义一种新的运算“”：，都有. (1)对于任意实数，试判断与的大小关系； (2)若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围； (3)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的范围. 15．定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 16．已知函数,,函数，其中． (1)是否存在，，使得曲线关于直线对称？若存在求,的值； (2)若， ①求使得成立的的取值范围； ②求在区间上的最大值． 1．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（江苏卷））二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 . 2．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 3．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（山东卷））当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是 ． 4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 不等式与二次函数综合应用的高级探讨 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型一：一元二次含参不等式的解法 题型二：通过一元二次不等式整数解求解参数 题型三：双系数不等式的相互转化技巧 题型四：一元二次型取整不等式的探讨 题型五：含参数与整数解的不等式组综合问题 题型六：一元二次不等式与其根、系数的关系 题型七：一元二次型中的主元转换策略 题型八：恒成立与存在性条件下的参数求解 题型九：给定区间内存在性与恒成立性的参数求解 题型十：利用分参技巧进行参数求解的方法 题型十一：恒成立与存在性条件下的复杂参数求解 题型十二：不等式问题的综合应用与解析 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 8、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 一元二次含参不等式的解法 1．（2024·高一·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)若为非负实数，解关于的不等式. 【解析】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根. 根据韦达定理，可得，. 解得，. （2）由（1）知，，则不等式为，即. 当时，不等式化为，解得. 当时，，不等式的解为. 当时，不等式化为，即，此时不等式无解. 当时，，不等式的解为. 综上所得，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 2．（2024·高一·安徽芜湖·期中）解关于的不等式. 【解析】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为. 3．（2024·高一·北京海淀·期中）已知函数． (1)若，且，求的最小值； (2)若，解关于的不等式． 【解析】（1）因为且，所以，即， 又，所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （2）当时，不等式，即为，即； 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，所以不等式的解集为； 当时，，解得，所以不等式的解集为； 当时，，解得，所以不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 4．（2024·高一·四川成都·期中）已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 【解析】（1）当时，不等式为， 即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）由，则， 当，即时，不等式为，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 5．（2024·高一·江苏常州·期中）已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 【解析】（1）由题意可得，或， 又因为在单调增，，， 所以. （2）由（1）知，函数在区间上是增函数， ，，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得，即不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 6．（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于x的不等式解集.（其中） 【解析】（1）由题意，函数，令，所以， 则，所以. （2）由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 通过一元二次不等式整数解求解参数 1．（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 综上，实数的取值范围为. 故选：B 2．（2024·高一·甘肃嘉峪关·期中）关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】由可得， 当时，无解，不满足题意； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此可得，即； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即； 综上所述：或， 所以实数的取值范围为或． 故选：B． 3．（2024·高一·云南玉溪·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 当时，，则不等式的解集为， 由解集中恰有2个整数，得整数解为和0， 因此，解得. 故选：A. 4．（2024·高一·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式可分解为， 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 当，不等式为，此时解集为空集，符合题意； 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D 5．（2024·高一·河南漯河·期中）关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围是（    ） A．[-3，-2)∪(4，5] B．[-3，-2]∪[4，5] C．(-3，-2]∪[4，5) D．(-3，-2)∪(4，5) 【答案】A 【解析】由，得， 当时，显然不成立， 当时，不等式的解集为，由解集中恰有3个整数可得， 此时这三个整数为，，，则； 当时，不等式的解集为，由解集中恰有3个整数可得， 此时这三个整数为，，，则； 综上所述，或， 故选：A 6．（2024·高一·天津南开·期中）已知，集合，若集合中有且仅有两个整数，则取值可以是下面的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，故， ABD选项，若，此时，， ，显然， 要想中有且仅有两个整数，则， 解得且， A选项，，不合要求，错误； B选项，，不合要求，舍去， D选项，，满足要求，D正确； C选项，若，此时，， 或，不满足中有且仅有两个整数，舍去. 故选：D 双系数不等式的相互转化技巧 1．（2024·高一·河北·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（   ） A． B．，或 C．，或 D． 【答案】A 【解析】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 2．（2024·高一·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题意，为方程的根，且， 则，解得，， 不等式，即为， 即，解得， 则不等式的解集为. 故选：C. 3．（2024·高一·贵州毕节·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为不等式的解集为，所以， 则方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得， 所以，不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或. 故选：C. 4．（2024·高一·山东泰安·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，和是方程的两个根，且； 则，解得，； 因此不等式为，解得； 则不等式的解集为， 故选：A 5．（2024·高一·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设是方程的两个根， 由题意知，，解得， 所以不等式可变为， 即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A 6．（2024·高一·浙江杭州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由题意可得1,2是对应方程的两个根，且， 所以，解得， 所以化为，即， 解得，所以不等式的解集为， 故选：C. 一元二次型取整不等式的探讨 1．（2024·高一·上海黄浦·期中）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，则不等式成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 所以， 所以，结合选项，只需寻找的真子集即可，B选项满足题意. 故选：B． 2．（2024·高一·河南洛阳·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 解得， 根据高斯函数的定义可得， 所以不等式 的解集为. 故选：D. 3．（2024·高一·上海黄浦·期中）设表示不超过x的最大整数，如，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则，故. 故选：D. 4．（2024·高一·湖北荆门·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可知，，， ， 所以当，对应就是的值域的倍， 由分段函数可以得，在，值域为；，值域为 可知当时，的值域为， 故对应值域为 对于恒成立， 可得，解得，， 故选：A． 5．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知表示不超过x的最大整数，例如，则关于x的方程的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】由可得，即， 有或，解得或， 故选：D 6．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】由，得，即，解得或， 所以或， 当时，或， 由，得，解得； 当时，或， 由，得； 当时，，满足， 综上所述实数的取值范围是或， 故选：A. 含参数与整数解的不等式组综合问题 1．（2024·高一·山东济南·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即，解得或. 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即； 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即. 综上所述，k的取值范围为. 故选：D. 2．（2024·高一·四川广安·期中）已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得或， 由，解得或， 当时，的解为， 因为不等式有且仅有两个整数解， 所以，解得， 当时，的解为， 因为不等式有且仅有两个整数解， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是 故选：C 3．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得或；由 ，可得（*）. ① 若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ② 若时，则由（*），可得，显然不符合题意； ③ 若时，则由（*），可得， 此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即. 综上可得，实数的取值范围 故选：B. 4．（2024·高一·上海·阶段练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得或， 由，得， 令，解得或， 当时，得原不等式组无解，不符合题意； 当时，由得， 若原不等式组仅有一个整数解，则， 解得，又，所以； 当时，由得， 若原不等式组仅有一个整数解，则， 解得，又，所以； 综上所述，实数的取值范围是，或. 故选：C. 5．（2024·高二·陕西渭南·期末）若不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 若不等式组的解集是空集， 在上恒成立， 令，则二次函数开口向上，且对称轴为直线， 在上单调递增， 要使在上恒成立， 则，解得． 故不等式组的解集不是空集，实数的取值范围是． 故选：B 6．（2024·高一·湖南邵阳·期中）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D 一元二次不等式与其根、系数的关系 1．（2024·高一·全国·课后作业）已知是第二象限角，，是关于的方程的两根，则 ． 【答案】/ 【解析】，是关于的方程的两根， ． ， ， ． 是第二象限角，，， ，． 故答案为： 2．（2024·高一·上海奉贤·期中）课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则 ． 【答案】 【解析】由题意互不相同，则互不相同. 即互不相同. 由已知， 可得是方程的三个不同的实数根. 由一元三次方程的韦达定理得 ，即①， 由，且为一常数， 则是方程的两不等根， 则由韦达定理可得，②， 联立①②解得. 故答案为：. 3．（2024·高一·上海·阶段练习）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 【答案】 【解析】由题意，， 且，即， 因为， 则，解得，即， 所以. 故答案为：30. 4．（2024·高一·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【答案】3 【解析】因为方程的两个根为，， 所以， 则． 故答案为：3 5．（2024·高一·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 【答案】或. 【解析】当时，为方程的两个不等实根， 可得， 所以 ， 当时，则. 故答案为：或. 6．（2024·高一·上海·期中）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数 . 【答案】 【解析】由，解得或， 由根与系数的关系可得， 所以， 解得或（舍去）， 故答案为： 一元二次型中的主元转换策略 1．（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C 2．（2024·高三·全国·课后作业）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D． 【答案】C 【解析】令， 则不等式恒成立转化为在上恒成立． 有，即， 整理得：， 解得：或． 的取值范围为． 故选：C． 3．（2024·高三·福建龙岩·期末）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象开口向下，且过点，所以为使对于任意，都有成立，须，即解得选. 考点：1.二次函数的图象和性质；2.简单不等式（组）的解法. 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 5．（2024·高一·全国·课后作业）若不等式对满足的所有实数恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由得，将不等式整理成关于m的不等式， 令，要使关于m的不等式对的所有实数m恒成立， 则需，即，即， 由解得或， 由得或， 所以或， 故选D. 6．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）若函数，且，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】， 对恒成立， 或， 故选：A. 恒成立与存在性条件下的参数求解 1．（2024·高一·湖南怀化·期中）若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】不等式对一切恒成立， 即函数图象恒在x轴上方，当时不成立， 故需要. 故答案为： 2．（2024·高一·天津西青·期中）已知关于x的不等式 对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 【答案】 【解析】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以k的取值范围是. 故答案为： 3．（2024·高三·湖南·期中）已知命题：“”为真命题，则的取值范围是 ． 【答案】（] 【解析】因为命题“”为真命题，当时，成立， 当时，则，解得，故的取值范围是， 故答案为： 4．（2024·高一·湖南·期中）已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意知，且，解得. 故答案为：. 5．（2024·高一·四川达州·期中）已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为 【答案】 【解析】关于x的不等式 在R上有解， 即在R上有解， 只需函数的图象与轴有公共点， 所以，即，即， 解得，所以实数的取值范围是． 故答案为：． 6．（2024·高一·上海金山·期中）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，即时，原不等式即为恒成立； 当时， 则，解得， 综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 给定区间内存在性与恒成立性的参数求解 1．（2024·高一·上海松江·阶段练习）函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意可知在上恒成立， 则， 所以满足题意的实数a的取值范围为. 故答案为：. 2．（2024·高一·河北保定·期中）已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【解析】，，满足不等式， 故只需， 其中，当且仅当时，等号成立， 关于的函数， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得或， 综上，实数m的取值范围是或， 故答案为：或 3．（2024·高一·云南·期中）已知命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，， 当，取得最大值，所以. 故答案为：. 4．（2024·高一·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】由已知可得， 易知该不等式对应的三个根为，且恒成立； 由已知时，不等式恒成立， 则需满足（1），解得成立； （2）时，，，解得成立； 综上可得或. 故答案为：或 5．（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）已知命题“，”为假命题，则参数的取值组成的集合为 . 【答案】 【解析】因为命题“，”为假命题， 则其否定“，”为真命题， 设， 则，得， 所以参数的取值组成的集合为. 故答案为： 6．（2024·高一·福建泉州·期中）对于，满足恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 当时，，所以， 所以恒成立； 当时，的图象恒在的图象下方， 又， 则由，得， 则，即，解得或， 则由，得， 则，即，解得或， 因为，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 利用分参技巧进行参数求解的方法 1．（2024·高一·安徽马鞍山·期中）若关于的不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由关于的不等式对任意的均成立， 所以对任意的均成立， 即， 因为在上单调递增， 所以， 故， 故答案为： 2．（2024·高一·江苏无锡·期中）若对，，使不等式成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 即对，使不等式成立， ∴， ∵对勾函数在上单调递增，故． 恒成立， 函数图象的对称轴为， ∴，解得， 或，无解， 或，无解， 综上， 故答案为：． 3．（2024·高一·广东·期中）恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】 【解析】当时，由可得恒成立， 故， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 当时，原不等式为恒成立， 综上可得， 故答案为： 4．（2024·高一·四川达州·阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立，即恒成立， 令， 因为，，当且仅当即时取等号， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（2024·高一·云南昆明·期中）若“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为“，”为假命题，所以，恒成立， 即在上恒成立，当时，取得最小值. 故答案为：. 6．（2024·高三·上海·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为不等式在上恒成立，所以在上恒成立， 令，因为， 由对勾函数性质，知函数在上是严格增函数， 所以，所以. 故答案为： 恒成立与存在性条件下的复杂参数求解 1．（2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，， . 即在区间上的值域为. ， 所以， 解得或， 所以的取值范围是. 故选：C 2．（2024·高一·山西运城·期末）已知函数,.若对任意的,总存在实数,使得成立,则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出函数的值域，结合对任意的，总存在实数，使得 成立，转化为的值域是函数值域的子集即可.当时，， 当时，， 所以的值域为， 设的值域为，若对任意的，总存在实数，使得成立，则等价转化为， 当时，不满足条件； 当时，，又，则，即， 满足，即符合题意； 当时，函数的对称轴为，则在上为增函数， 则的最小值为， 要使，则，即. 综上，即实数的取值范围是. 故选：A. 3．（2024·高一·四川遂宁·期末）已知函数.若对任意的，总存在实数,使得成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴当时，yy的范围是[，1）； 当时，， ∴函数f（x）的值域为A=[，）， 由函数g（x）＝， 可知：（1）当a=0时，g（x）＝，其值域B=， 此时A是B的子集，符合题意； （2）当a＞0时，数g（x）＝在单调递增， 其值域为B=，若A是B的子集，则，即 （3）当a＜0时，显然A不是B的子集，不符合题意； 综上：a的取值范围是． 故选C． 4．（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】问题转化为，求出在上的最小值，而为或，解不等式组，即可求解.，当时最小值为-1 对任意，总存在，使得成立， 只需，即， 而为或， 只需，解得. 故选:A 5．（2024·高一·安徽蚌埠·期中）设函数，，若对于任意的，存在，使成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】, , 因为存在，使成立， 所以的值域为， 当时，，显然成立， 当时，值域为R，则有实根且， ， 解得 综上可得 故选：A 6．（2024·高一·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别求两个函数在区间的值域，再根据条件转化为子集关系求解.时单调递增函数， 的值域是， 的对称轴是，在上，函数单调递减， 的值域是， 对于任意的，存在，使得， ， ，解得：. 故选：B 不等式问题的综合应用与解析 1．（2024·高三·江西九江·期末）已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，① 令， 若，则以及，则，即； 由①式消去c，得， 即，即或； 所以，解得， 时“”成立，故； 若，则以及，则，即； 由①式消去c，得， 即，② 当时，②式成立； 当时，由②式得或， 所以，解得，故， 时“”成立，所以， 若，则以及，则，即， 由①式消去a，整理得， 即，即或， 所以，解得， 时“”成立，故． 综上所述，，取“”成立时，或， 故． 故答案为：． 2． 为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 【答案】． 【解析】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论： ①当时，函数 在区间上单调递增，所以； ②当时，此时 ，，而，所以； ③当 时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最 大值； ④当时，在区间上递增，当时，取得最 大值， 则在上递减，上递增，即当 时，的值最小． 故答案为：． 考点：本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题． 3．（2024·高一·浙江·期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 . 【答案】/0.25 【解析】由题设，有，又，则， 又，则， 故存在使成立，则， 所以，令，故， 所以，且， 而，仅当，即等号成立， 所以，仅当且时等号成立，故的最小值为. 故答案为： 4．（2024·高一·浙江·期中）函数，，最大值为，则的最小值是 【答案】4 【解析】， ，函数在上单调递减，在上单调递增，故， 设，，， 当，即时，函数在上单调递增，， 则， 当，即时等号成立，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. ，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，则； 当，即时，函数在上单调递减，， 则； 综上可知 故答案为：4 5．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【解析】因为关于的方程有两个不同实根， 所以，故设 所以，   ①， 所以，令， 当给定时，当，时，可变形为，但由于，故 当时，取，可变形为， 所以，的取值范围为. 所以，实数的最大值为. 故答案为： 6．（2024·高三·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为 【答案】3 【解析】一元二次不等式对一切实数都成立， 当时，不能保证恒成立，不符合题意； 当时，要满足 ，由此， ，， 得：， 则， 即时，取等号， 故答案为：3． 1．若不等式的解集为R，则的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由题意得不等式在R上恒成立. 当时，不等式恒成立，符合题意. 当时，由不等式恒成立得，解得， 综上得，. 故选：A. 2．若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【解析】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 记，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以实数可取的最小值是． 故选：D. 3．若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，由可得， 又关于的不等式在区间上有解，则， 令，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，所以， 故选：D. 4．已知命题．为真命题，则m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题，为真命题， 所以不等式的解集为R． 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得，解得， 故m的取值范围为． 故选：D． 5．命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，解得， 故选：D. 6．对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意，函数的值恒大于零， 设，即在上恒成立， 因为在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段. 所以 ，解得或， 即的取值范围是. 故选：A 7．已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设， 由，即在上恒成立， 当时，恒成立，此时， 当时，不等式不成立， 当时，恒成立，此时， 综上，实数x的取值范围是. 故选：D 8．（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为20 D．的最小值为 【答案】BD 【解析】对于A，因的解集为， 则的解为与1，由韦达定理， 则，两式相除，得， 故，则A错误； 对于B，由基本不等式，，当且仅当取等号，故B正确； 对于C，由A，， 当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BD 9．（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】AB 【解析】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 10．（多选题）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【解析】对于一元二次不等式， 当时，函数的图象开口向上，与轴的交点为，，故不等式的解集为. 当时，函数的图象开口向下， 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 故选：ABCD. 11．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【解析】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. 故答案为： 13．常数，函数 (1)解关于的不等式； (2)若，存在，对任意，恒成立，求的最小值. 【解析】（1）若，则， 令，解得或， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2）因为时，恒成立， 等价于对恒成立， 即存在实数m，使得对恒成立， 可知，   当时，由在内单调递减， 当时，，当时，， 则，解得， 所以的最小值为. 14．已知二次函数，的解集为. (1)若，求的值； (2)若，，求实数k的取值范围. 【解析】（1）当时，方程的两根为， 可得， 则． （2）由题意可得 解得． 故实数的取值范围为． 15．已知函数，且不等式对一切实数x恒成立． (1)求函数的解析式； (2)在(1)的条件下，设函数，关于x的不等式，在有解，求实数m的取值范围． 【解析】（1）且，， 又对一切实数x恒成立， 对一切实数x恒成立， ①当时，，若，则，， 不符合题意； ②当时，若对一切实数x恒成立， 则，， 又，，，， ； （2）由题可知， 则关于x的不等式在有解， 即在有解， 即在有解， 当时，， 令，， 则，其中， 当时，， ，，，， 或， 实数m的取值范围为. 1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，二次函数的对称轴为，则， 且，即，所以，可得， 所以. 故选：B 2．已知函数若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，， 因为，则当时，，解得，故； 当时，，解得，故， 综上可知，的取值范围为． 故选：B 3．已知常数，函数，命题：对任意的，都有成立的充要条件为；命题：若方程无实数解，则方程也一定没有实数解.则以下说法正确的是（   ） A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为假命题，命题为真命题 C．命题为真命题，命题为假命题 D．命题为假命题，命题为假命题 【答案】B 【解析】 而，则恒成立，于是 即不是充要条件，命题为假命题； 方程无实数解，结合，则恒成立， 于是，故方程没有实数解，命题为真命题, 故选：B 4．已知函数的定义域为，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 所以不等式的解集为， 所以和1是方程的两个根，且， 所以，得， 所以， 因为恒成立， 所以，解得. 故选：B 5．已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解方程得， 当时，不能等式解集为， 因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为， 所以，符合； 当时，不等式解集为，不符合； 当时，不等式解集为， 因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为， 所以，符合； 综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：C. 6．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 【考点】不等式、恒成立问题 7．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为关于x的不等式的解集为， 所以，又， 所以， 解得，因为，所以. 故选：A. 8．（多选题）已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【解析】由，则至少有一个元素属于， 由，则至少有一个元素不属于， 又，故， 由有两个不相等的实数解， 对于二次函数，开口向上且对称轴为， 所以，可得. 故选：BC 9．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由得，，解得， 所以或，故，所以原不等式的解集为. 故答案为：. 10．命题“”为假命题，则实数的范围为 . 【答案】 【解析】若命题“”为假命题， 则命题“”为真命题， 由， 即， 令， 由二次函数的性质知，函数的对称轴为， 则函数，在上单调递减，在上单调递增， 故时，， 因此可得， 故答案为：. 11．定义一种新的运算“”：，都有. (1)对于任意实数，试判断与的大小关系； (2)若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围； (3)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的范围. 【解析】（1）∵， ∴， 故， ∴. （2）∵， ∴原不等式可化为：，即， 为满足题意，必有，即或①， 令， 由于，结合①可得：， ∴的一个零点在区间，另一个零点在区间， 从而，即②， 由①②可得：或. （3）由题意得， 设， 令，则， ∴， ∴， 设，其值域为， ∵， ∴，故的值域为， 根据题意可知：，∴， 解之得：且. 12． 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等； 13． 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法； 14． 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题. 15．定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 【解析】（1）由解得：， 不等式组解集构成的各区间的长度和等于， 不等式对任意恒成立， 令，， 则， 解得：， 实数的范围为 （2）①当或时，原不等式等价于， 整理得：， 令， ，，设的两根为，， 此时原不等式的解集为，，解集的区间长度为； ②当时， 同理可得原不等式的解集为，，此时解集的区间长度为．   综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为， 又由韦达定理可知：， 原不等式的解集的区间长度之和为2. 16．已知函数,,函数，其中． (1)是否存在，，使得曲线关于直线对称？若存在求,的值； (2)若， ①求使得成立的的取值范围； ②求在区间上的最大值． 【解析】（1）由于关于直线对称，关于直线对称， 令，得，则关于直线对称，曲线关于直线对称， 故； （2）①当时，由可得，解得； 当时，，所以（*）， 因，，，则，与（*）矛盾， 即无解， 综上所述：的取值范围是； 由可知：， 当时，， 所以，所以； 当时，的对称轴为， 所以， 且，， 所以， 令，得， 所以， 综上可知：． 1．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（江苏卷））二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 . 【答案】{x|x<-2或x>3} 【解析】根据表格可以画出一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的草图如图. 由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}. 2．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 即， 即， 故的取值范围是． 3．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（山东卷））当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】要当时，恒成立，只需，解得. 4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为函数的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的都有成立， ，解得， 所以实数的取值范围为． 【考点】二次函数的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$