专题02 不等式性质在比较大小与求解最值范围中的高级应用（9大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题02 不等式性质在比较大小与求解最值范围中的高级应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（大题型） 题型一：不等式性质应用比较 题型二：差值比较法 题型三：商值比较法 题型四：基本不等式法比较 题型五：线性代换求不等式范围 题型六：比值型代换求不等式范围 题型七：二次函数根的分布求不等式范围 题型八：绝对值不等式求解 题型九：复合型代换求不等式范围 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、比较大小常用方法 （1）作差法： 基本步骤：作差、变形、判断符号、得出结论． 关键是变形，常采用配方、因式分解、分子（分母）有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式． 当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． （2）作商法： 基本步骤：作商、变形、判断商与1的大小关系、得出结论． 适用于含有幂代数式大小的比较． 特别注意当商与1的大小确定后，必须对商的分子、分母的正负做出判断． （3）利用不等式性质及函数性质： 结合不等式的性质及对数函数、指数函数的性质进行判断． 利用函数的单调性比较大小，得到函数的单调区间是求解问题的关键． （4）特殊值法： 选择满足题设条件的特殊值进行代入，通过比较结果确定大小关系． 适用于填空题和选择题，能够快速得到答案． （5）构造函数法： 通过构造函数，利用导数等工具判断函数值的大小． 适用于复杂的不等式比较． （6）放缩法： 利用基本不等式进行放缩，从而得出大小关系． 适用于需要精细估计的情况． 2、求解最值范围 （1）巧用常数： 通过代数变换，将目标表达式转化为可以利用不等式求解的形式． 常见于求两个正实数的和或积的最值问题． （2）配凑大法： 通过配凑项和配凑系数，将目标表达式转化为定值或可以利用不等式求解的形式． 常见于求复杂表达式的最值问题． 不等式性质应用比较 1．（2024·高一·云南玉溪·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是 ①；②；③；④ 2．（2024·高一·江西·阶段练习）已知，，则a b．(填“>”或“<”) 3．（2024·高一·上海黄浦·阶段练习）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是 ． 4．（2024·高一·上海杨浦·期中）已知，下列命题中正确的是 (将正确命题的序号填在横线上) ①若，则      ②若，则; ③若，则;        ④若，则. 5．（2024·高一·全国·课后作业）若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是 ． 6．（2024·高一·北京·期中）设a，b，c为非零实数，且，则下列判断正确的有 . ①   ②  ③  ④  ⑤ 差值比较法 1．（2024·高一·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 2．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）已知，设，则a，b，c的大小关系为 ．（用“”连接） 3．（2024·高三·全国·专题练习）已知，设，则a，b，c的大小关系为 ．（用“”连接） 4．（2024·高一·全国·专题练习）比较大小 5．（2024·高一·北京·阶段练习）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为 ． 6．（2024·高二·河南周口·期中）设a＞b＞0，若x，y则x，y的大小关系是 （用”＜”号连接） 商值比较法 1．（2024·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·浙江台州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·四川泸州·阶段练习）设，，，则（ ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·江苏·专题练习）设x、y、z为正实数，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高三·湖南·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若正实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 基本不等式法比较 1．（2024·高一·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·湖南长沙·期中）若，，且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·安徽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高三·江苏扬州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 线性代换求不等式范围 1．（2024·高一·广东韶关·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·山西·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·福建福州·期中）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·湖南·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 比值型代换求不等式范围 1．（2024·高一·黑龙江鹤岗·阶段练习）正实数、满足：，则的取值范围为 . 2．（2024·高二·山西·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围是 . 3．（2024·高一·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 4．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是 ． 5．（2024·高一·上海·期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 6．（2024·高三·上海普陀·期中）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是 ． 二次函数根的分布求不等式范围 1．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）若关于的方程，有一个正实数根和一个负实数根，则实数的取值范围为 2．（2024·高一·全国·课后作业）若函数有两个正零点，则实数的取值范围是 ． 3．（2024·高一·上海·期中）在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为 ． 4．（2024·高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 5．（2024·高一·四川·期中）若函数在区间内有零点（即函数在区间内与轴有交点），则实数的取值范围是 ． 6．（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 绝对值不等式求解 1．（2024·高一·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 2．（2024·高一·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 3．（2024·高一·上海·期中）设，若，则的取值范围为 . 4．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）若，则的取值范围为 . 5．（2024·高一·四川成都·期中）若，，则的取值范围用区间表示为 ． 6．（2024·高一·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 复合型代换求不等式范围 1．（2024·高一·浙江·期中）若函数的最小值为0，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·上海崇明·期末）已知的最小值为，则实数的取值范围是 . 3．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知函数的最小值为，则实数的值为 . 4．（2024·高一·浙江·期中）函数，，最大值为，则的最小值是 5．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若关于x的方程恰有4个不同的正根，则实数a的取值范围是 . 1．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．若，则下列答案不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若则（    ） A． B． C． D． 4．若且，则（   ） A． B． C． D． 5．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 6．已知，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（多选题）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选题）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知三个不等式（1）；（2）；（3），以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为 个． 12．已知，且，则的最小值是 . 13．已知函数，且对恒成立，，，则的取值范围为 . 14．写出一个的值，使关于的不等式恰有两个整数解． ． 15．已知实数满足且，则的取值范围是 ． 16．设．注： (1)证明：； (2)若，求的最小值． 17．对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列" (1)对于，试求的"下位序列"; (2)设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值. 1．一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好.以下结论叙述正确的个数为（） ①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 ②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变 ③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 ④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（多选题）若，则下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 9．定义.若函数，则的最小值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 10．若，则的最小值是 . 11．设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 12．记表示中最大的数，已知为正实数，记．若，则的最小值为 ，若，则的最小值为 ． 13．小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数和，满足，然后由裁判对和分别进行两种数学运算： （1）乘法运算：； （2）“*”运算：． 若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜． 现有下面三个结论： ①若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜； ②若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜： ③若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜； 其中正确结论的序号为 ． 14．设，是关于的方程的实数根，则实数a的取值范围是 ，的最大值为 ． 15．对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． (1)对于、、、，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 16．设，定义． (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的取值范围； (3)若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 17．已知，. (1)求函数的解析式； (2)设、，求证：； (3)若在区间内恒成立，求实数的取值范围． 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式性质在比较大小与求解最值范围中的高级应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（大题型） 题型一：不等式性质应用比较 题型二：差值比较法 题型三：商值比较法 题型四：基本不等式法比较 题型五：线性代换求不等式范围 题型六：比值型代换求不等式范围 题型七：二次函数根的分布求不等式范围 题型八：绝对值不等式求解 题型九：复合型代换求不等式范围 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、比较大小常用方法 （1）作差法： 基本步骤：作差、变形、判断符号、得出结论． 关键是变形，常采用配方、因式分解、分子（分母）有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式． 当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． （2）作商法： 基本步骤：作商、变形、判断商与1的大小关系、得出结论． 适用于含有幂代数式大小的比较． 特别注意当商与1的大小确定后，必须对商的分子、分母的正负做出判断． （3）利用不等式性质及函数性质： 结合不等式的性质及对数函数、指数函数的性质进行判断． 利用函数的单调性比较大小，得到函数的单调区间是求解问题的关键． （4）特殊值法： 选择满足题设条件的特殊值进行代入，通过比较结果确定大小关系． 适用于填空题和选择题，能够快速得到答案． （5）构造函数法： 通过构造函数，利用导数等工具判断函数值的大小． 适用于复杂的不等式比较． （6）放缩法： 利用基本不等式进行放缩，从而得出大小关系． 适用于需要精细估计的情况． 2、求解最值范围 （1）巧用常数： 通过代数变换，将目标表达式转化为可以利用不等式求解的形式． 常见于求两个正实数的和或积的最值问题． （2）配凑大法： 通过配凑项和配凑系数，将目标表达式转化为定值或可以利用不等式求解的形式． 常见于求复杂表达式的最值问题． 不等式性质应用比较 1．（2024·高一·云南玉溪·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是 ①；②；③；④ 【答案】④ 【解析】对于①②③，假设，，，，满足，， ，，此时不成立， ，，此时不成立， ，，此时不成立，故①②③错误； 对于④，由，，得，即，故④正确； 故答案为：④. 2．（2024·高一·江西·阶段练习）已知，，则a b．(填“>”或“<”) 【答案】 【解析】， ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 3．（2024·高一·上海黄浦·阶段练习）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是 ． 【答案】③ 【解析】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：③ 4．（2024·高一·上海杨浦·期中）已知，下列命题中正确的是 (将正确命题的序号填在横线上) ①若，则      ②若，则; ③若，则;        ④若，则. 【答案】②③ 【解析】①若，当时，则，故①错误； ②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确； ③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确； ④若，当时，则，故④错误； 故答案为：②③ 5．（2024·高一·全国·课后作业）若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是 ． 【答案】①④⑥ 【解析】因为，则，所以，即，故①正确； 由，不等式两边同时乘时，，对于，两边同乘，可得，故，即，则②错误； 因为，所以，则，所以，即，则③错误； 由，不等式边同时乘，得，故④正确； 由，因为，所以，又因为，所以，即，故⑤错误； 由可得，，故⑥正确； 因此，正确结论的序号是①④⑥. 故答案为：①④⑥. 6．（2024·高一·北京·期中）设a，b，c为非零实数，且，则下列判断正确的有 . ①   ②  ③  ④  ⑤ 【答案】③④ 【解析】对于①，，但不成立，故错误； 对于②，取满足，但不成立，故错误； 对于③，，，，，故正确； 对于④，，，故正确； 对于⑤，取满足，但不成立，故错误. 故答案为：③④ 差值比较法 1．（2024·高一·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 故答案为：乙. 2．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）已知，设，则a，b，c的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【解析】由得 ， 即， ， 又， ， ， ， ， 综上：． 故答案为：． 3．（2024·高三·全国·专题练习）已知，设，则a，b，c的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【解析】由得 ， 即， ， 又， ， ， ， ， 综上：． 故答案为：． 4．（2024·高一·全国·专题练习）比较大小 【答案】 【解析】 当时，， ，， 即； 当时，， ，， 即； 综上所得. 故答案为： 5．（2024·高一·北京·阶段练习）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为 ． 【答案】 【解析】 ， 由x＞0，y＞0且x≠y知，， , 即 故答案为： 6．（2024·高二·河南周口·期中）设a＞b＞0，若x，y则x，y的大小关系是 （用”＜”号连接） 【答案】x＜y． 【解析】因为a＞b＞0，所以，a-b＞0， 所以x＞0，y＞0， ， ＝＝ ＝＝ ∵a＞b＞0，∴＜0， ∴x2﹣y2＜0，所以x＜y， 故答案为：x＜y． 商值比较法 1．（2024·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ，而 而，因为，所以， 所以，故， 所以. 故选：B 2．（2024·高一·浙江台州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，均有证明如下： 因为，所以，， 所以 ， 所以，， 又，所以. 故选：B 3．（2024·高一·四川泸州·阶段练习）设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则，， 由，且， 则， 由，则，故，， 由，，，则， 由，，，则， 综上可得. 故选：A 4．（2024·高一·江苏·专题练习）设x、y、z为正实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为正数， 令 所以 所以， 又因为，，所以， 故选： C． 5．（2024·高三·湖南·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 又因为， 所以， 又因， 所以且， 所以，所以， 故选：D 6．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若正实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是正实数，且，， 由，得， ，， ，，， ，即， 综上可知，， 故选：C. 基本不等式法比较 1．（2024·高一·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 2．（2024·高一·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即，又， 所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错； 由，即， 所以，当且仅当时等号成立，C、D错. 故选：A 3．（2024·高一·湖南长沙·期中）若，，且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，当，时， ，，，所以ABD选项错误. 由基本不等式，得，当且仅当时取等号， 故选：C. 4．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，，则， 因此. 故选：C 5．（2024·高二·安徽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即. ,即. 综上知道. 故选：D. 6．（2024·高三·江苏扬州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 而，则，所以，即， 由，则，即， 综上，. 故选：D 线性代换求不等式范围 1．（2024·高一·广东韶关·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，， 则，即的取值范围是. 故选：C. 2．（2024·高一·山西·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 所以，解得，即可得， 因为，，所以. 故选：D. 3．（2024·高一·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 4．（2024·高一·福建福州·期中）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得， 所以， 又，所以， 故选：C. 5．（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，则， 又，所以，即的取值范围是. 故选：D 6．（2024·高一·湖南·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，所以，解得， 所以，又， 所以，得到， 故选：B. 比值型代换求不等式范围 1．（2024·高一·黑龙江鹤岗·阶段练习）正实数、满足：，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意知正实数、满足：， 令，则，所以， 即，则，故， 则的取值范围为， 故答案为： 2．（2024·高二·山西·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，，令，则，， 所以，显然， 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 综上，或，即的取值范围是. 故答案为：. 3．（2024·高一·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，， 则，且，即，，， 由得，则，即，即， 又，则， 因此的取值范围是. 故答案为：. 4．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 不妨设， 所以， 因为，所以， 所以的值域为，即的取值范围是. 故答案为：. 5．（2024·高一·上海·期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，，且在上单调递减， 因为，所以， 所以， 因为在上单调递减，， ， ，， 所以. 故答案为：. 6．（2024·高三·上海普陀·期中）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时满足：且， ，即，进而，解得． 所以或， ， 令， ， 由于 所以在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，， 所以 故答案为：． 二次函数根的分布求不等式范围 1．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）若关于的方程，有一个正实数根和一个负实数根，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】令，， 设关于的方程有一个正实数根和一个负实数根， 故有两个根，其中， 令，则，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（2024·高一·全国·课后作业）若函数有两个正零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题可知方程有两个不相等的正实数根， 所以，即， 解得：，所以的取值范围为. 故答案为： 3．（2024·高一·上海·期中）在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，有，解得，，符合题意； 当时，若，则有，解得， 此时方程为，即， 解得，，符合题意； 当，且时，即且时，令 若在区间上恰有一个x满足方程， ①，又，， 所以有：，解得或， ②当时，，符合题意； 当时，，，解得或，不合题意； 综上所述，的取值范围为：. 故答案为： 4．（2024·高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 5．（2024·高一·四川·期中）若函数在区间内有零点（即函数在区间内与轴有交点），则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得:为连续函数, 且在上单调递减,在上单调递增, 故, 所以只需或, 解得:, 所以实数的取值范围是. 故答案为: 6．（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，解得，符合题意，则； 当时，二次函数的判别式为：， 若，即时，函数的零点为，符合题意，则； 当，即时，由，解得且， 则且； 当时，，方程另一根，当时， ，方程中一根，则或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 绝对值不等式求解 1．（2024·高一·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 【答案】4 【解析】因为，，，， 所以， ， 故答案为： 2．（2024·高一·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 【答案】7 【解析】因为，，所以， 设， 故，所以， ， 由于， 故， 即. 故答案为：7 3．（2024·高一·上海·期中）设，若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，， 当且仅当，时取等号. 所以，又， 所以成立， 则， 易知， 所以 所以 故答案为： 4．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得，则，而，则， 因此，所以的取值范围为. 故答案为： 5．（2024·高一·四川成都·期中）若，，则的取值范围用区间表示为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则， 又，所以，则， 即的取值范围为. 故答案为： 6．（2024·高一·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 【答案】 【解析】因为， ， 当且仅当，，即，时，等号成立， 所以，又， 所以时，满足，， 则，，， 所以， 故的取值范围为， 故答案为： 复合型代换求不等式范围 1．（2024·高一·浙江·期中）若函数的最小值为0，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 当时，取得最小值0； 当时，， 当时，可得， 当时，， ， 当时，，当时，取得最小值0，此时； 当时，， 由题意可得恒成立. 故选：A 2．（2024·高一·上海崇明·期末）已知的最小值为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】， ①当时，， 当时，，与矛盾， 当有解时，解集是一个开区间，此时正比例函数在开区间上显然没有最小值； 当无解时，也即恒成立，为下面情况： ②当恒成立时，， 注意到此时仅在处取到最小值，问题转化为：时，恒成立，即，解得 故答案为：. 3．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知函数的最小值为，则实数的值为 . 【答案】/ 【解析】（1）当，时， ，； （2）当时， 设方程的两个不相等实数根为，不妨设， 则， ①若时， 当或时， ， 当时， ， 即， 由于，所以，，所以， ，无解. ②时，， 由于，所以，所以， ，解得. 综上所述，实数的值为. 故答案为： 4．（2024·高一·浙江·期中）函数，，最大值为，则的最小值是 【答案】4 【解析】， ，函数在上单调递减，在上单调递增，故， 设，，， 当，即时，函数在上单调递增，， 则， 当，即时等号成立，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. ，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，则； 当，即时，函数在上单调递减，， 则； 综上可知 故答案为：4 5．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若关于x的方程恰有4个不同的正根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题可知关于x的方程恰有4个不同的正根 则方程可化为， 可设，即：上式方程， 当时，，且在为增函数， 当时，，且在为减函数， 即：上式方程可化为， 令，则方程化为， 要使得原方程恰有4个不同的正根， 则方程在上有2个不等实数根， 则要求，即， 解得，即. 即实数a的取值范围为：. 故答案为：. 1．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于，令，，但，故错误； 对于，令，，但，故错误； 对于，令，，，， 所以，， 所以，故错误； 对于，， 又，所以，， 所以，即，故正确. 故选：. 2．若，则下列答案不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，所以； 对于A，，可得A正确； 对于B，，即B正确； 对于C，易知，即C错误； 对于D，可得，又， 易知，，因此，即D正确. 故选：C 3．若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 设， 因为是定义在上的增函数，是定义在上的减函数， 所以是定义在上的增函数，则， 时，不一定成立，如时，选项A错误； 成立，选项B正确； 不一定成立，如，选项C错误； 不一定成立，如时，选项D错误. 故选：B. 4．若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误. 对于B，取，则，，故B错误. 对于C，因为幂函数在上为增函数，且，所以，故C正确. 对于D，取，则，故D错误． 故选：C． 5．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【答案】B 【解析】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠. 故选：B 6．已知，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：由，得，故A正确； B：由，得，故B正确； C：由，得， 两边平方后作差可得， 所以，故C正确； D：由，，又，故D错误； 故选：D. 7．（多选题）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】因为，， 对于A，，当且仅当时取等号，故A选项正确； 对于B，， 故，当且仅当时取等号，故B选项错误； 对于C，∵，∴，∴在R上单调递增， ∵，∴，即，故C选项正确； 对于D，由得， ， 当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确. 故选：ACD. 8．（多选题）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为是上的增函数，且，所以，则A正确. 因为，所以. 因为，所以，则B正确. 因为是上的增函数，且，所以，则C正确. 当，时，，. 因为，所以，则D错误. 故选：ABC 9．（多选题）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A，由，但，故A错； 对于B，，又， 所以，即，故B正确； 对于C，由，即，故C错； 对于D，由且，故，故D正确. 故选：BD. 10．（多选题）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A选项，取，，则，A错误； 对于B选项，取，，则，B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D选项，因为，当且仅当时， 即当时，等号成立， 所以，，D正确. 故选：CD. 11．已知三个不等式（1）；（2）；（3），以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为 个． 【答案】3 【解析】若，，则， 因为，，所以不等式两边同时除以ab，得，即， 所以，由，，可得成立； 若，，则． 因为，，所以，即， 所以，由，，可得成立； 若，，则． 因为，所以． 因为，所以，所以， 所以，由，，可得成立， 所以组成的3个命题都是真命题． 故答案为：3 12．已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【解析】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 当且仅当等号成立，取时可满足等号成立， 可知的最小值为， 故答案为：. 13．已知函数，且对恒成立，，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意可得在上单调递增，当时，； 当时，，所以， 由对恒成立，得，， 故，故的取值范围为. 故答案为：． 14．写出一个的值，使关于的不等式恰有两个整数解． ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由，则，可得， 设，由题意可得， 解得，当时，. 故答案为：（答案不唯一） 15．已知实数满足且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为实数满足且， 设，则， 得，故， 又因为， 所以． 故答案为：． 16．设．注： (1)证明：； (2)若，求的最小值． 【解析】（1）， ． 均不为0，则， ． （2）由可知． ， 当且仅当时，取等号，． 的最小值为. 17．对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列" (1)对于，试求的"下位序列"; (2)设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值. 【解析】（1）由题意可知此时则的“下位序列”为. （2）由题意可知此时取，则， 猜想， 先证左边则， 再证右边则， 综上. （3）由题意可知①，又则， 此时于是解得 又对集合内的每个，上式都成立， 则， 下证满足题意， 由①可知， 再由（2）可知， 即对集合内的每个，总存在是满足题意的. 综上所述：正整数的最小值为. 1．一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好.以下结论叙述正确的个数为（） ①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 ②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变 ③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 ④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有， 解得，所以这所公寓的窗户面积至少为，故①错误； 对于②，记窗户面积为和地板面积为，同时窗户增加的面积为， 同时地板增加的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故②正确； 对于③，记窗户面积为和地板面积为，同时增加的面积为. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即， 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公裹的采光效果变好了，故③正确； 对于④，记窗户面积为和地板面积为，则窗户增加后的面积为 地板增加后的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 又因为，所以， 因为，所以， 当时，采光效果不变， 所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故④错误. 故选：B. 2．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，已知，取， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，，故C错误； 对于D，已知，取， ，所以，故D错误. 故选：A. 3．已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且，所以，，的取值不确定，可以为正数，负数和零， A.因为，时，，时，，时，，故A错误； B.，，所以，故B错误； C.，，所以，故C正确； D.，，，故D错误. 故选：C 4．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 对于A：取，，，故A错误； 对于B：成立，故B正确； 对于C：由， 由于，故， 则：，故C错； 对于D：，当时，可取等号，故D错误 故选：B 5．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误； 因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误； 因为，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项正确. 故选：D 6．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，当时，显然不成立； B选项，当时，显然恒成立，当时，， 令，在上单调递增且，即， 又∵当且仅当时取等号，∴ 即，∴恒成立； C选项，∵，∴，当且仅当取等号，故不恒成立； D选项，当时，显然不成立. 故选：B. 7．下列说法中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A，，因为，则有， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，又因为， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又因为， 所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，且， 所以，故D错误. 故选：D. 8．（多选题）若，则下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，得到， 易知在定义域上单调递增，得到，所以选项A正确， 对于选项B，取，显然有，但，所以选项B错误， 对于选项C，因为在定义域上单调递减，所以，即，所以选项C正确， 对于选项D，若，则，所以选项D错误， 故选：AC. 9．定义.若函数，则的最小值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】记， 当时，，即， 当时，， 则当时，，即， 当时，，即， 所以，当或时，，则； 当时，，则， 所以，， 作出图象，如图所示， 由图象可知：当时，有最小值，最小值为． 当时，或或； 当时，或， 由图象可知：当时，的值域为， 此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 综上，的最大值为． 故答案为：；． 10．若，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由题意， 若存在使得，则， 因此，但， 因此假设错误，不存在使得， 所以的最小值不小于， 又时，， 所以的最小值为， 故答案为：． 11．设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【解析】令其中， 所以， 因为，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 所以的最小值为， 故答案为： 12．记表示中最大的数，已知为正实数，记．若，则的最小值为 ，若，则的最小值为 ． 【答案】 2 2 【解析】当时，，则， ，当且仅当，即时取等号，， 所以当时，取得最小值2； 由，，得， 则，当且仅当，即时取等号， 则，所以当时，取得最小值2. 故答案为：2；2 13．小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数和，满足，然后由裁判对和分别进行两种数学运算： （1）乘法运算：； （2）“*”运算：． 若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜． 现有下面三个结论： ①若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜； ②若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜： ③若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜； 其中正确结论的序号为 ． 【答案】②③ 【解析】对于①,若，则，此时，故小明获胜，故①错误, 对于②，若取，则，此时，故小强获胜，故②正确, 对于③，由以及可得，故，故，故，则，由于，取，因此对任意的，总能找到，使得，故③正确, 故答案为：②③ 14．设，是关于的方程的实数根，则实数a的取值范围是 ，的最大值为 ． 【答案】 1 【解析】由； 又， ， 所以的最大值为1； 故答案为：. 15．对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． (1)对于、、、，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 【解析】（1）因为， 所以是的“下位序列”. （2）因为是的“下位序列”， 所以. 因为均为正数， 所以，所以. 又，故. 综上所述，. （3）由已知得, 因为均为正整数，所以， 所以， 所以. 由题意可得对集合内的每一个都成立， 所以， 所以正整数的最小值为. 16．设，定义． (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的取值范围； (3)若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 【解析】（1）由题意，由，得或， 解得，即x的取值范围为. （2）①当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. ②当时，， 此时，不符合题意. ③当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. 综上所述，x的取值范围为或. （3）由题意，， 则，. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 当，即时，， 则，时，M取得最大值； 当时，，此时. 综上所述，M的最大值为. 17．已知，. (1)求函数的解析式； (2)设、，求证：； (3)若在区间内恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）令，则，且， 所以， 所以. （2）对任意的、， ， 故. （3）由，可得，解得， 因为在区间内恒成立，则， 所以，，解得. 因此实数的取值范围是. 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. 3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$