复习篇 02 一元二次函数、方程与不等式 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

02 一元二次函数、方程与不等式 【题型1】 不等式性质的运用 【基础知识】 1 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：； 2 比较数值大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高一上·贵州·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【巩固练习】 1（24-25高一上·天津红桥·期中）实数满足：，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 3（多选）（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【题型2】一元二次函数、方程与不等式的关系 【基础知识】 1 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 函数、方程、表达式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【例2】（24-25高三上·内蒙古包头·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“不等式成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集（   ） A． B．或 C． D．或 3（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 5（24-25高一上·全国·课后作业）已知只有一个解，不等式的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型3】解含参一元二次不等式 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·山东·期中）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)解关于x的不等式. 【巩固练习】 1（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2（24-25高一上·甘肃定西·期中）关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（    ） A．或2 B．1或 C． D． 3（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）已知关于的不等式，，． (1)若此不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，求此不等式的解集． 【题型4】一元二次方程根的分布问题 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的一个充分条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【巩固练习】 1（24-25高一上·全国·单元测试）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 2（24-25高一上·贵州·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【题型5】 基本不等式的运用 【基础知识】 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. 2 基本不等式及其变形 ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·广东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（多选）（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【巩固练习】 1（24-25高一上·福建福州·期中）已知，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，，，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．16 3（24-25高一上·海南·期中）已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·吉林长春·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【A组---基础题】 1（24-25高一上·四川广元·期中）“”是“”的（　　） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（24-25高一上·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 4（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 5（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7（多选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 8（多选）（24-25高一上·云南大理·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 9（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知二次函数，满足，且的解集为. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 10（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）设． (1)若全称量词命题“，”是真命题，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于的不等式． 【B组---提高题】 1（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期中）若，，且，下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 2（24-25高一上·河北石家庄·期中）设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 3（24-25高一上·四川成都·期中）问题：正数，满足，求的最小值，其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题； (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02 一元二次函数、方程与不等式 【题型1】 不等式性质的运用 【基础知识】 1 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：； 2 比较数值大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高一上·贵州·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】特殊值判断A、C；作差法比较大小判断B；不等式性质求的范围判断D. 【详解】A：由，但，故A错； B：，又，， 所以，即，故B正确； C：由，即，故C错； D：由且，故，故D正确. 故选：BD 【巩固练习】 1（24-25高一上·天津红桥·期中）实数满足：，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，可判断ABD的真假，对C，可以举反例说明其错误. 【详解】对A：因为，，所以，故A成立； 对B：因为， ，所以 ，故B成立； 对C：令，，，，则满足，但，，所以不成立，即C不成立； 对D：因为 ， ，所以 ，故D成立. 故选：C 2（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】将展开，两式相减即可判断 【详解】由题意知， 则， 所以. 故选：A 3（多选）（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作差判断A；举例说明判断BD；利用不等式的性质判断C. 【详解】， 对于A，，则，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，，因此，C正确； 对于D，，取，满足，而，D错误. 故选：AC 【题型2】一元二次函数、方程与不等式的关系 【基础知识】 1 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 函数、方程、表达式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，不等式的解集为， 当时，即当时，原不等式即为，合乎题意； 当时，即当时，则有， 解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【例2】（24-25高三上·内蒙古包头·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式的解集确定出的关系，代入所求不等式求出解集即可. 【详解】由不等式的解集为， 得，且是的两个根， 则有， 即， 则不等式可转化为， 即， 解得：， 则不等式的解集为. 故选：D. 【巩固练习】 1（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“不等式成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题需要先求出不等式的解集，再判断与该解集的关系. 【详解】对不等式进行因式分解得到，解得. 不能必然推出，例如当时，满足，但不满足.而可以推出. 所以是“不等式成立”的必要不充分条件. 故选：B. 2（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】由不等式的解集求出，再代入所求不等式求解即可； 【详解】由题意可得1,2是对应方程的两个根，且， 所以，解得， 所以化为，即， 解得，所以不等式的解集为， 故选：C. 3（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】，所以当或时， 取得最大值为， 由于关于的不等式在区间内有解， 所以，解得. 故选：A 4（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可得，分析的取值范围，利用基本不等式可得结果. 【详解】由题意得，，方程的两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：C. 5（24-25高一上·全国·课后作业）已知只有一个解，不等式的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据只有一个解可得，再由不等式的解集为知方程的两根之差的绝对值为2，最后利用韦达定理即可求解. 【详解】由题可知. 不等式的解集为， 即的解集为. 设方程的两根为，， 则，，且， ， 则，整理得， . 【题型3】解含参一元二次不等式 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·山东·期中）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】先根据已知不等式的解集，结合韦达定理，求出和的值，再将其代入后面的不等式，分类讨论进行求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根. 根据韦达定理，可得，. 解得，. （2）由（1）知，，则不等式为，即. 当时，不等式化为，解得. 当时，的解为或. 当时，，不等式的解为. 当时，不等式化为，即，此时不等式无解. 当时，，不等式的解为.   综上所得，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 【巩固练习】 1（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】将不等式转化为，按与的大小分类讨论解不等式，再结合解集中整数的个数建立关于的不等式求解可得. 【详解】. 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 即中恰有这3个整数， 则，解得； 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 即中恰有这3个整数， 则，解得. 综上所述，实数a的取值范围为或. 故选：B. 2（24-25高一上·甘肃定西·期中）关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（    ） A．或2 B．1或 C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况解不等式，再结合已知求解即可. 【详解】因为， 所以，当时，不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以，解得， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以，解得， 所以实数的值等于. 故选：D. 3（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）已知关于的不等式，，． (1)若此不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，求此不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析. 【分析】（1）根据不等式解集确定对应方程的结合，结合根于系数关系可得参数值； （2）分情况讨论，解不等式. 【详解】（1）由已知不等式对应的方程为， 又不等式的解集为， 即方程的两个解，， 即， 解得； （2）当时，不等式即为， 即， 当时，不等式无解，即解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 综上所述当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【题型4】一元二次方程根的分布问题 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的一个充分条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BD 【分析】根据一元二次方程根的判别，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，而方程无实根，故A错误； 对于B，由题意可得， 由，解得，，故B正确； 对于C，由题意可得， 由B可知不等式的解集为， 解不等式可得， 所以不等式组的解集为，，故C错误， 对于D，由题意可得，解得，故D正确. 故选：BD. 【巩固练习】 1（24-25高一上·全国·单元测试）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 2（24-25高一上·贵州·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立不等式，再解不等式即得答案. 【详解】二次函数的图象开口向上， 由的一个根小于1，另一个根大于1，得， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 3（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 【题型5】 基本不等式的运用 【基础知识】 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. 2 基本不等式及其变形 ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·广东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由 ，利用基本不等式求解. 【详解】解：因为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：A 【例2】（多选）（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】正实数满足， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 【巩固练习】 1（24-25高一上·福建福州·期中）已知，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解． 【详解】因为，则， 则 ， 当且仅当，即时取等． 故选：A． 2（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，，，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．16 【答案】A 【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令代入化简，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】 当且仅当，，即时等号成立； 故选：A 3（24-25高一上·海南·期中）已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可. 【详解】由，，，得 ， 当且仅当即时取等号.依题意，，解得， 故选：A 4（24-25高一上·吉林长春·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D 【A组---基础题】 1（24-25高一上·四川广元·期中）“”是“”的（　　） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出的解集，然后寻找两个条件对应集合的包含关系，可得正确答案． 【详解】不等式，可得， 因为， 因此，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：A. 2（24-25高一上·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则在区间上有解， 设，则的图象开口向上，对称轴为， 且，则当时，函数取得最大值为， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 3（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 4（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 5（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出方程的根，接着分类讨论求出、和三种情况下不等式的解集，再结合题意即可得解. 【详解】解方程得， 当时，不能等式解集为， 因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为， 所以，符合； 当时，不等式解集为，不符合； 当时，不等式解集为， 因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为， 所以，符合； 综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：C. 6（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 7（多选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】赋值法验证A，由不等式的基本性质验证BD，作差法验证C. 【详解】对A，取，且成立，此时，故A错误； 对B，由与，则，所以，故B正确； 对C，， 因为，， 所以，所以，故C正确； 对D，由，得，又，所以，故D错误. 故选：BC 8（多选）（24-25高一上·云南大理·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系判断AD，结合二次函数性质判断BC. 【详解】由题意可得， 即，即有， 即，故A正确､D错误； 令，其根为， 结合二次函数性质可得， 即，故B､C正确. 故选：ABC. 9（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知二次函数，满足，且的解集为. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)的取值范围为. 【分析】（1）先由求得，接着由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根，从而由韦达定理可求解. （2）先由“当时，恒成立”结合得到在上恒成立，从而，再利用基本不等式求出即可得解. 【详解】（1）由题意可得，所以， 又因为的解集为， 所以由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根， 所以， 所以函数的解析式为. （2）当时，恒成立， 所以由（1）知当时，恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 所以， 又因为，当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，即的取值范围为. 10（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）设． (1)若全称量词命题“，”是真命题，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次不等式恒成立，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将代数式化为，利用基本不等式可求得该代数式的最小值； （3）将所求不等式变形为，对实数的取值范围进行分类讨论，利用一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为函数， 因为全称量词命题“，”是真命题， 当时，则有，不合乎题意， 当时，则有，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，当时，的最小值为. （3）由可得，即， 当时，原不等式即为，解得； 当时，解原不等式可得； 当时，即当时，解原不等式可得或； 当时，即当时，原不等式即为，即，解得； 当时，即当时，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【B组---提高题】 1（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期中）若，，且，下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】根据基本不等式及其取等条件分别判断各选项. 【详解】A选项：由，且，即，， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为，A选项正确； B选项：，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，B选项正确； C选项：由，则，所以，即， ，无最大值，C选项错误； D选项：由，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又与已知矛盾，所以无最小值，D选项错误； 故选：AB. 2（24-25高一上·河北石家庄·期中）设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质求解. 【详解】令其中， 所以， 因为，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 所以的最小值为， 故答案为： 3（24-25高一上·四川成都·期中）问题：正数，满足，求的最小值，其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题； (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】(1)9 (2)，理由见解析 (3)当时，取得最小值 【分析】（1）由题可知 ，进而利用基本不等式中1的妙用求解即可； （2）由 ，结合基本不等式求解判断即可； （3）令，则，利用（2）的结论求解即可． 【详解】（1）若正实数，满足，即 ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是9． （2）∵正实数，，，满足，且， ∴ ， 又， 当且仅当且，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. （3）由（2）的结论可知，若正实数，，，满足，且， 则，当且仅当时等号成立. 要使有意义，需满足且，解得， 则，即， 所以. 令，所以，即，此时， 所以，由可得 ，即， ∵，∴， 当且仅当时等号成立. 由，得， 所以当时，取得最小值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$