专题05 函数性质综合小题精析与归类（10大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题05 函数性质综合小题精析与归类 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：奇偶性核心特征应用解析 题型二：偶函数的轴对称性质深入探讨 题型三：函数左右平移性质的全面剖析 题型四：中心对称性在函数中的体现 题型五：伸缩变化与函数左右平移的综合应用 题型六：轴与中心在函数求和中的关键作用 题型七：抽象函数赋值问题的解题策略 题型八：指数函数复合型特征的深度解析 题型九：反比例分式型函数的性质研究 题型十：类周期型函数的特性分析 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （8）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 奇偶性核心特征应用解析 1．（2024·高一·江苏·阶段练习）已知（且），若，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 2．（2024·高一·辽宁丹东·期中）设函数，若，则 . 【答案】5 【解析】设，， 则， 所以， 则，所以函数为奇函数， 则，即， 则，即. 故答案为：5. 3．（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值 . 【答案】 【解析】由题意知，（）， 设，则， 因为，定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以. 故答案为：. 4．（2024·高一·贵州贵阳·期中）已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 由，得， 则，则， 又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 5．（2024·高一·湖南长沙·期中）已知，且，则 . 【答案】7 【解析】， 则 则有， 若，则 故答案为： 6．（2024·高一·河南商丘·期中）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】4 【解析】因为，令，，则， 又因为，所以函数为奇函数， 因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数区间上的最大值和最小值之和为0， 即，所以. 故答案为：4. 偶函数的轴对称性质深入探讨 1．（2024·高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．2023 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】因为是定义域为的奇函数，所以，， 因为，所以， 可得，所以的周期为4， 故，，又，所以， ，所以， 则. 故选：C. 2．（2024·高一·福建福州·阶段练习）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数， 所以在上是减函数， 又，所以， 所以当时，，满足， 当时，，，也满足， 所以不等式的解集为. 故选：D. 3．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数为定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解析】由题得函数为定义在上的偶函数，则， 又因为，函数图象关于直线对称， 且，即，即2为的周期， 已知当时，，由此可作出函数图象， 在同一坐标系中作出函数图象，如图： 由，可得 则两个函数图象在上有3个交点， 由于两个函数都为偶函数，所以两函数的图象共有6个交点， 即函数有6个零点． 故选：A 4．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数定义域为，其图象对称轴为， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又，对于，， 依题意，，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 5．（2024·高一·山东威海·期中）已知定义在上的函数满足，且对于，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知函数图象关于对称， 由，恒成立知函数在上单调递增， 所以由可知，， 平方后可得，解得或， 故选：D 6．（2024·高一·浙江·期中）已知函数，若，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】函数定义域为， ， 因为，所以函数的图象关于直线对称， 令，则且在上单调递增； 函数在时单调递减，在时单调递增， 故当时等号成立，此时； 又在上单调递增； 由复合函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增； 又因为，所以， 两边平方得，即 若，则. 故选：A. 函数左右平移性质的全面剖析 1．（2024·高一·辽宁丹东·期中）已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 . 【答案】 【解析】根据题意，由为奇函数，得， 令得，即；令，得， 由为偶函数，得,令，得， 由，所以， 由，解得， 故时，， 由，当时，可得. 故答案为：. 2．（2024·高一·四川成都·期中）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则 ． 【答案】 【解析】因为是奇函数，故， 所以即，故. 而是偶函数，故， 因为，故， 故，所以， 所以，故， 故为周期函数且周期为4，而，故， 故，故，而， 故， 故答案为：. 3．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）已知是定义在上的奇函数且函数为偶函数，当时，，则 . 【答案】/ 【解析】因为是定义在上的奇函数，则， 又函数为偶函数，则，可得， 则，可得，可知的一个周期为4， 则. 故答案为：. 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则 . 【答案】 【解析】因为是偶函数，又因为，其中为奇函数， 所以必为奇函数，既有， 又因为，所以，， 所以函数的周期为， 由函数是偶函数，可得，即， 所以. 故答案为：. 5．（2024·辽宁本溪·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解 【答案】C 【解析】为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A选项：，A选项正确； B选项：，所以为奇函数，B选项正确； C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D选项：由，得 作出函数及图像如图所示， 由已知函数的值域为，且， 当时，，函数与无公共点， 当时，由图像可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C. 6．（2024·高一·广东汕头·期末）已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 所以函数的周期为4，且， 所以. 故选：D. 中心对称性在函数中的体现 1．（2024·高一·广西玉林·阶段练习）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ． 【答案】 【解析】因为函数， 所以，函数的图象可由反比例函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为函数为奇函数，其对称中心为原点， 故函数对称中心，故， 记， 则 ， 故. 故答案为：；. 2．（2024·高一·山东淄博·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．利用该结论，函数图象的对称中心为 ． 【答案】 【解析】, 是奇函数， 所以的对称中心是， 故答案为：． 3．（2024·高一·江苏·阶段练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）请写出函数图象的对称中心 . （2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则 . 【答案】 6 【解析】（1）设函数的对称中心为. 根据推广结论，函数为奇函数. 又因为奇函数时，即. 化简，根据对数运算法则.则. 因为任意该等式都成立，则.解得，将代入. 得，解得. 所以函数图象的对称中心为. （2）因为函数的图象关于点对称.根据结论，为奇函数. 对于奇函数，，令，则，化简得 ②. 又因为为奇函数时，展开， 即 即 即 根据可得，化简得. 将代入②式得. 所以. 故答案为：；6. 4．（2024·高一·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到.函数对称中心是 ，进而求值 . 【答案】 44 【解析】， 所以函数的图像可以由的图像向右移动一个单位，再向上平移2个单位得到， 因为的对称中心为， 所以对称中心为； ， 故答案为：；44 5．（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定：（1）函数的对称中心是 ； （2） ． 【答案】 3033 【解析】由得， 令，则， 即为奇函数；由题中命题可得，函数的对称中心是； 由得， 则； 所以. 故答案为：；3033. 6．（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么 ． 【答案】 【解析】根据题意函数的图象对称中心为， 设，则为奇函数， 则， 所以， 得， 即， 即，则有， 所以. 故答案为： 伸缩变化与函数左右平移的综合应用 1．（2024·江西景德镇·一模）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是奇函数， ∴，即关于点对称． 又函数的定义域为，故． 当时， 令，即，解得． 根据对称性可知当时，． 综上所述，的解集是． 故选：B． 2．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【解析】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 3．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C 4．（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由为奇函数，得， 得的图象关于点对称，所以. 又因为是定义域为的偶函数，所以，， 所以的周期为4， 所以. 故选：A. 5．（2024·高三·河北保定·阶段练习）已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．e 【答案】C 【解析】为奇函数，即， 所以关于中心对称，则， 为偶函数，即， 所以， 故，即是周期为8的周期函数， 所以， 故选：C 6．（2024·高一·云南保山·期中）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法不正确的是（    ） A．的图像关于直线对称 B．对任意都有 C．是周期函数 D． 【答案】D 【解析】为偶函数，有， 令，则有， 所以点在的图像，点关于直线的对称点也在的图像上， 即的图像关于直线对称，A选项正确； 对任意都有，B选项正确； 函数为上的奇函数，则有，故， 所以，可得的周期为4， ， C选项正确，D选项错误； 故选：D 7．（2024·高三·广东肇庆·阶段练习）已知定义域为的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称. C． D．是周期为8的周期函数 【答案】C 【解析】因为是奇函数，所以，令， 则，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于点对称，且；即函数的图象关于点对称，且；B正确，C错误， 因为是偶函数，所以，令，则，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，即的图象关于直线对称；A正确， 因为，，所以，， 所以函数是周期函数，周期为8，D正确，故错误的选项为C, 故选：C. 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，为偶函数，则，即， 又因为为奇函数，则，所以，，可得， 在等式中，令可得. 故选：B. 轴与中心在函数求和中的关键作用 1．（2024·高三·河南南阳·期中）已知定义在上的函数满足：，，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以，即， 所以，所以是以为周期的周期函数， 又当时，， 所以，，，， ，， ，即，又，即，解得， 所以， 又，，，，， 所以    ， 又， 所以 ； 故选：A 2．（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图像关于对称，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【解析】因为的图象关于对称，所以，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以的周期为4， 当时，，所以，， 当时，，所以， 当时，，，所以， ， 所以. 故选：B. 3．（2024·高一·安徽·开学考试）已知偶函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．2025 C．2024 D． 【答案】A 【解析】因为为偶函数，故. 因为，所以， 所以，所以有， 从而，得，所以周期为4. 令，则，得； 令，得，得； 令，，得，. 所以， 故. 故选：A. 4．（2024·高三·山东青岛·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（    ） A．4048 B．－4048 C．2024 D．－2024 【答案】D 【解析】由已知，， 所以， 所以函数的周期为， 又， 所以， 所以， 又， 所以，则， 所以，， ， ， 所以 . 故选：D. 5．（2024·高三·安徽阜阳·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，是偶函数，若，，则n的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【解析】因为, 所以，， 则，所以函数是周期为4的函数， 又，所以由得， 因为是偶函数，所以， 所以，由周期性可得， 又，故， 所以，．，， 所以时，. 故选:B. 6．（2024·安徽合肥·三模）已知定义在上的偶函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 令，得， 又令得， 再令，， 又，所以， 又，， 所以，为的一个周期，， 即， 故选：A． 抽象函数赋值问题的解题策略 1．（2024·高一·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【解析】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 2．（2024·高一·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【解析】令，，则，因为，所以， 令，则， 则， 则，所以以6为周期， 令，得，所以， 则． 故选：B． 3．（2024·高一·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【答案】B 【解析】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 4．（2024·高一·江苏淮安·阶段练习）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．10 C．11 D．1024 【答案】C 【解析】因为定义在上的函数，满足， 所以令，得，所以， 令，得， 因为，所以， 所以. 故选：C 5．（2024·高一·海南海口·期中）定义在上的函数满足：对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D．是偶函数 【答案】B 【解析】对于A，令得，，且， 所以，故A正确； 对于D，令得，，， 且定义域关于原点对称，故是偶函数，故D正确； 对于C，，所以令得，， ,, ，即. 所以，故C正确； 对于B，，且是偶函数， ，即的图象关于对称，故B错误. 故选：B 6．（2024·高二·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为，任取x，，当时恒有成立，且存在正数m使得，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】令，则， 故， 所以为定义域内的奇函数， 令，得，解得， 所以， 是以，所以函数是以为周期的一个周期函数， 所以. 故选：C. 指数函数复合型特征的深度解析 1．（2024·高一·福建福州·期末）已知函数的图象关于坐标原点对称，则 ． 【答案】/ 【解析】依题意函数是一个奇函数， 又，所以， 所以定义域为， 因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得. 又，所以， 所以，即， 所以，所以. 故答案为：. 2．（2024·高三·四川广安·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，得， 当，则， 可得，所以符合题意. 当时，恒成立， 设，则，， 可得，整理得， 因为函数在上单调递增， 当时，函数取到最大值0，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（2024·广东汕头·三模）已知函数，则使得成立的实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】函数 的 定义域为 , 因为 , 所以 , 故函数 为偶函数， 当 时, , 且 在 上单调递减, 当 时, , 且 在 上单调递减, 而 , 故 在 上单调递减, 且 . 则使得成立， 需， 所以且， 所以且， 所以且 解得或， 故答案为：. 4．（2024·高一·全国·课后作业）设，，为奇函数，则的值为 ． 【答案】 【解析】要使为奇函数，∵ ,∴需， ∴， 由,得,． 故答案为：1. 5．（2024·高一·江西九江·期末）设函数的定义域为，当时，，若，为偶函数，为奇函数，则的值为 ． 【答案】 【解析】根据题意，为奇函数，所以关于对称， 故，即， 又因为为偶函数，所以， 则，则， 即是周期为4的周期函数， 因为，且， 所以，所以，即， 联立得，解得，， 所以，， 所以， 故答案为：. 6．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】依题意，， 故， 故函数的图象关于中心对称. 当时，，单调递减， 故在上单调递减，且 因为函数的图象关于中心对称， 所以在上单调递减，且. 而，故或或， 解得或，故所求不等式的解集为. 故答案为： 反比例分式型函数的性质研究 1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数若关于的不等式的解集是，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由不等式， 得：， 作函数和的图像如图所示： 注意和都过点， 当和相切时， 可得， 则，解得， 另外一个临界值为过点时， 则：， 由图像可知：满足条件的实数m的取值范围为：. 故答案为：. 2．（2024·高一·上海嘉定·开学考试）已知函数的值域为，则常数 ． 【答案】7或 【解析】因为，所以， ，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故答案为：7或. 3．（2024·高一·浙江杭州·期末）若，则函数在上的值域是 ． 【答案】 【解析】， 任取，，且， 则， 所以， 所以函数在上单调递增， 则，， 所以函数在上的值域是. 故答案为：. 4．（2024·高一·贵州毕节·期末）设函数，的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【解析】的定义域是， ， 所以为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 所以， 所以． 故答案为： 5．（2024·高一·浙江·期中）设函数，的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】2 【解析】， 令，则，所以为奇函数， 则， 又， 所以. 故答案为：. 类周期型函数的特性分析 1．（2024·高二·浙江温州·期中）设函数的定义域为，且，当时，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，所以， 因为，所以， 设时，与相交， 则，即，解得， 所以，即在定义域上，只有当时，函数与相交， 当时，由，解得，如图， 结合图象可知，的取值范围是， 故选：C 2．（2024·高一·重庆·阶段练习）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则， 即当时，， 同理当时，； 当时，. 以此类推，当时，都有. 函数和函数在上的图象如下图所示： 由图可知，，，解得， 即对任意，都有，即的取值范围是. 故选：D. 3．（2024·高一·山东菏泽·期末）函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且时，， 所以当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以当时，，解得或， 作出函数的大致图象，如图所示， 由图可知，，恒有，必有， 即的取值范围是， 故选：B 4．（2024·广东广州·模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 【答案】D 【解析】函数是定义在R上的奇函数, . 又函数, 函数是偶函数, 函数的零点都是以相反数的形式成对出现的. 函数在上所有的零点的和为, 函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和. 即方程在上的所有实数解之和. 由时,,故有 函数在上的值域为,当且仅当时,. 又当时,,如图： 函数在上的值域为； 函数在上的值域为； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 即方程在上的又一个实数解.即有一个零点； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 故在上恒成立,在上无零点, 同理在上无零点, 依此类推,函数在无零点. 综上函数在上的所有零点之和为8, 故选：D. 5．（2024·高三·湖北·开学考试）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，，所以， 又因为函数满足，所以函数的部分图像如下， 由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误. 故选：B. 1．已知的值域为，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R，因此函数在上的取值集合包含， 当时，函数在上的值为常数，不符合要求， 当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求， 于是得，函数在上单调递增，取值集合是， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 2．已知函数，若，则正实数的值为（    ） A．1 B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为，故， 而当时，有，故， 故，而在为增函数， 且，故， 若，则，故，而， 故在上无解， 故的正实数解为， 故选：C. 3．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（   ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解析】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，则. 因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线轴对称. 由，得，所以①， 则， 则，， 又由①知，则， 故选：A. 4．已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知函数定义域为，，故函数为奇函数， 又都是上的减函数， 故在上单调递减， 所以， 等价于， 所以， 解得：或， 所以不等式的解集为：， 故选：B 5．已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 6．定义在上的函数满足对任意，（）时，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，函数在上单调递减， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：D. 7．（多选题）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【解析】依题意，且， 令，得，故A选项正确. 令，则，， 即，故B选项正确 由于，故C选项错误. 令，得， 即，即， 所以为奇函数，故D选项正确. 故选：ABD 8．（多选题）高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．函数的值域是 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确； 对B，若，则，而表示不大于x的最大整数， 则，即，故B正确； 对C，函数，当时，，故C错误； 对D，函数， 即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 9．若函数的最小值为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当 时，关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当 时，，当且仅当 时等号成立； 若最小值为，可得， 即，解得： 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 10．若函数是上的增函数．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】函数是上的增函数． 则可得解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 11．已知，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，又， 所以 . 故答案为：. 12．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数中，. 因为为奇函数， 所以，即， 整理得， 所以. （2）由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以的最小值的最小值，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 13．已知函数. (1)若为奇函数，证明：； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）证明：的定义域为， 对，都有， 又为奇函数，则必有， 即， 整理可得， 因为，所以，命题得证． （2）设，，且， ， 易知，，又在上为增函数，，可得， 当时，，为增函数； 当时，，为常函数无单调性； 当时，，为减函数． 14．已知二次函数的图象过点，且． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由可知图象的对称轴为直线， 则，得． 由，得． 故． （2）由题意得为增函数． 当时，． 令， 根据在上单调递减， 则在上单调递减， 所以． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 1．已知定义在上的函数满足：，当时，有，则称函数为“理想函数”．根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A:当时，对当时，，因此不是“理想函数”，故A错误. B：当时，对当时，，所以不是“理想函数”，故B错误. C：当时，例如时，所以不是“理想函数”，故C错误. D：当时，对当时，，所以是“理想函数”，故D正确 故选：D 2．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（   ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的最小值为1 D．函数在上为减函数 【答案】C 【解析】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以函数为函数的反函数，所以. 又因为，所以. 因为对，，所以的定义域为. 对于A项：点在图象上， 而，即点不在图象上， 所以函数的图象不关于原点对称，故A错误； 对于B项：点在图象上， 而，即点不在图象上， 所以函数的图象不关于轴对称，故B错误； 对于C项：因为，所以， 所以， 所以函数的最小值为1.故C正确； 对于D项：因为函数在上单调递增， 而函数在上单调递增， 所以复合函数在上单调递增.故D错误. 故选：C 3．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数在上单调递减，函数在上单调递增， 若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 可得，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，不等式组无解， 综上所述；. 故选；A. 4．已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】任取，且，因为， 所以， 因为时，，所以， 所以，即， 所以在上是增函数. 令，所以，令，所以， 不等式等价于， 所以即，因为在上是增函数， 所以，解得或. 故选：B 5．已知定义在的奇函数满足①；②，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且， 不妨设，则， 所以，即， 令，则，故在上单调递减， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故定义域为，且， 则为偶函数， 因为，所以， 所以由，得，即， 所以，则，解得或. 故选：A 6．记表示，二者中较大的一个，函数，若使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上为减函数，在为增函数， 当时，， 所以. 即在为减函数，在为增函数. 当时，，即在区间的值域为. ， 令，解得或. 画出，的图象， 若使得成立， 只需在上的值域包含在上的值域， 则. 故选：A 7．（多选题）已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C． D．满足不等式的的取值范围为 【答案】ACD 【解析】函数的定义域为且， 对于A，取，则，故A正确； 对于B，且，有， 因为时，，所以，于是， 即，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，取，，则， 即， 则有， 因此，故C正确； 对于D，由选项C知，， 则，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递增， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选题）已知函数对任意实数m，n都满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A.令，得，①，解得，选项A正确； （若令，解得或，当时，由①式得与题目矛盾，故）； B.若是奇函数，由A知，与是奇函数矛盾，选项B错误； C.令，，得， ，即，选项C正确； D.令，得，. 令，得， 在中，令，得，选项D正确， 故选：ACD. 9．（多选题）著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数，以下是真命题的有（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．的图象关于轴对称 D．存在一个正三角形，其顶点均在的图象上 【答案】BCD 【解析】对于A，当，时，，，，故A错误； 对于B，因为的定义域为，关于原点对称， 若是无理数，则是无理数，所以，； 若是有理数，则是有理数，所以，； 所以，故是偶函数，图象关于轴对称，故B正确； 对于C，由B可知，，所以， 故是偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，设， ，， 则，所以是等边三角形， 又因为，，，所以的顶点均在的图象上，故D正确. 故选：BCD. 10．定义一种运算，设（t为常数，且）.若函数的最大值为4，则t的取值集合为 . 【答案】 【解析】在上的最大值为5， 所以由，解得或， 所以时，， 所以要使函数最大值为4，则根据定义可知， 当时，的图象必须经过点， 即时，，此时解得，符合题意； 当时，的图象必须经过点， 即时，，此时解得，符合题意。 综上所述，或. 故答案为：. 11．已知是定义在上的连续函数，给出下列四个命题：①是奇函数；②是偶函数；③满足；④的图象关于点对称．若其中只有两个真命题，则符合题意的一组真命题的序号为 ． 【答案】②③（或②④） 【解析】若①②为真，则函数为，此时也满足③④，故不符合题意； 若①③为真，则，则， 则关于对称，④为真，不符合题意； 若①④为真，则， 则，则，③为真，不符合题意； 若②③为真，则，则， 则关于对称，④为假，①为假,符合题意； 若②④为真，则，， 则，③为假，①为假符合题意； 若③④为真，则由可得，又， 所以，则是奇函数，①为真，不符合题意. 综上，正确的组合为②③或②④． 故答案为：②③（或②④）. 12．已知函数为上的偶函数，对任意，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【解析】由任意，均有成立，得在上单调递减， 又函数为上的偶函数，则在上单调递增， 不等式 ，则， 即或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 13．已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知，对于任意的，存在，使得， 即需满足， 函数在上单调递减，所以， 当时，在区间上单调递增，则， 所以，解得，所以， 当时，在区间上单调递减，则， 所以，解得，所以， 当时，符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 14．已知函数，若关于x的方程有6个不等实根，则b的取值范围是 【答案】 【解析】当时，函数在上递增，在上递减，函数值集合为， 当时，在上递增，在上递减，函数值集合为， 在坐标系内作出函数的图象， 令，方程为， 依题意，方程有两个不等的实根， 由方程共有6个根，观察图象得或， 方程无零根，因此函数在区间内各有一个零点， 因此，解得， 所以b的取值范围是. 故答案为： 15．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求函数解析式，若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)写出关于x的方程可能的解的个数，并求方程有最多解时m的取值范围． 【解析】（1）根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则， 当时，，则，则， 故，其图象大致如图： 若在区间上单调递增，必有，得， 即a的取值范围为； （2）根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则， 有或，则或，即不等式的解集为； （3）根据题意，的图象大致如图： 方程的解的个数就是函数与直线的交点的个数， 当，即时，与直线没有交点，方程无解， 当，即时，与直线有3个交点，方程有3个解， 当，即或时，与直线有6个交点，方程有6个解， 当，即时，与直线有4个交点，方程有4个解， 当，即或时，与直线有2个交点，方程有2个解， 综上，方程可能的解的个数为0、2、3、4、6个，且当或时，方程有最多解． 16．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为2，记. (1)求实数、的值： (2)若不等式成立，求实数的取值范围； (3)定义在上的一个函数，用分法将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由. （参考公式：） 【解析】（1）因为，由二次函数性质知，开口向上，对称轴为，所以在上单调递增， ， ，解得，； （2）由（1）知，， 则， 因为，所以为偶函数， 函数的图象如图， 不等式等价于， 即或，解得， 所以实数的取值范围是； （3）是上的有界变差函数,理由如下， 由（2）知函数在上单调递增， 所以，， 则对任意划分， 有 所以， 整理得：， 所以存在常数，使得恒成立， 所以是上的有界变差函数，的最小值为. 17．设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 【解析】（1）函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线， 则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数， 故是上的“含峰函数”，峰点为. （2）记函数，，， 则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数，则， 且有，得到， 则， 当时，的最小值为，则， 又，故， 当时，的最小值为，解得， 综上，实数的取值范围是. （3）记，设任意，且， 则 当时，由，且， 可知，， 则，即， 则为上严格减函数，不符合题目要求； 当时，由，且， 可知，， 则，即 则为上严格增函数，不符合题目要求； 当时， 设任意，且，此时，， 则，即，为上严格增函数； 设任意，且，此时， 则，即，为上严格减函数； 故是上峰点为的“含峰函数”. 综上，t的取值范围为. 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 2．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 5．（2023年天津高考数学真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 6．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． 7．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 9．（2023年北京高考数学真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【解析】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，，故③正确； 对于④，取，则的图像如下， 因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 10．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【解析】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数性质综合小题精析与归类 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：奇偶性核心特征应用解析 题型二：偶函数的轴对称性质深入探讨 题型三：函数左右平移性质的全面剖析 题型四：中心对称性在函数中的体现 题型五：伸缩变化与函数左右平移的综合应用 题型六：轴与中心在函数求和中的关键作用 题型七：抽象函数赋值问题的解题策略 题型八：指数函数复合型特征的深度解析 题型九：反比例分式型函数的性质研究 题型十：类周期型函数的特性分析 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （8）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 奇偶性核心特征应用解析 1．（2024·高一·江苏·阶段练习）已知（且），若，则 . 2．（2024·高一·辽宁丹东·期中）设函数，若，则 . 3．（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值 . 4．（2024·高一·贵州贵阳·期中）已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 5．（2024·高一·湖南长沙·期中）已知，且，则 . 6．（2024·高一·河南商丘·期中）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 . 偶函数的轴对称性质深入探讨 1．（2024·高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．2023 B． C．3 D． 2．（2024·高一·福建福州·阶段练习）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数为定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·山东威海·期中）已知定义在上的函数满足，且对于，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·浙江·期中）已知函数，若，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 函数左右平移性质的全面剖析 1．（2024·高一·辽宁丹东·期中）已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 . 2．（2024·高一·四川成都·期中）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则 ． 3．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）已知是定义在上的奇函数且函数为偶函数，当时，，则 . 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则 . 5．（2024·辽宁本溪·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解 6．（2024·高一·广东汕头·期末）已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C． D． 中心对称性在函数中的体现 1．（2024·高一·广西玉林·阶段练习）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ． 2．（2024·高一·山东淄博·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．利用该结论，函数图象的对称中心为 ． 3．（2024·高一·江苏·阶段练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）请写出函数图象的对称中心 . （2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则 . 4．（2024·高一·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到.函数对称中心是 ，进而求值 . 5．（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定：（1）函数的对称中心是 ； （2） ． 6．（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么 ． 伸缩变化与函数左右平移的综合应用 1．（2024·江西景德镇·一模）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 3．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高三·河北保定·阶段练习）已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．e 6．（2024·高一·云南保山·期中）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法不正确的是（    ） A．的图像关于直线对称 B．对任意都有 C．是周期函数 D． 7．（2024·高三·广东肇庆·阶段练习）已知定义域为的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称. C． D．是周期为8的周期函数 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 轴与中心在函数求和中的关键作用 1．（2024·高三·河南南阳·期中）已知定义在上的函数满足：，，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图像关于对称，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 3．（2024·高一·安徽·开学考试）已知偶函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．2025 C．2024 D． 4．（2024·高三·山东青岛·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（    ） A．4048 B．－4048 C．2024 D．－2024 5．（2024·高三·安徽阜阳·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，是偶函数，若，，则n的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 6．（2024·安徽合肥·三模）已知定义在上的偶函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 抽象函数赋值问题的解题策略 1．（2024·高一·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 2．（2024·高一·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 3．（2024·高一·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 4．（2024·高一·江苏淮安·阶段练习）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．10 C．11 D．1024 5．（2024·高一·海南海口·期中）定义在上的函数满足：对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D．是偶函数 6．（2024·高二·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为，任取x，，当时恒有成立，且存在正数m使得，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 指数函数复合型特征的深度解析 1．（2024·高一·福建福州·期末）已知函数的图象关于坐标原点对称，则 ． 2．（2024·高三·四川广安·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 3．（2024·广东汕头·三模）已知函数，则使得成立的实数的取值范围为 . 4．（2024·高一·全国·课后作业）设，，为奇函数，则的值为 ． 5．（2024·高一·江西九江·期末）设函数的定义域为，当时，，若，为偶函数，为奇函数，则的值为 ． 6．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 反比例分式型函数的性质研究 1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数若关于的不等式的解集是，，则的取值范围是 . 2．（2024·高一·上海嘉定·开学考试）已知函数的值域为，则常数 ． 3．（2024·高一·浙江杭州·期末）若，则函数在上的值域是 ． 4．（2024·高一·贵州毕节·期末）设函数，的最大值为，最小值为，则 ． 5．（2024·高一·浙江·期中）设函数，的最大值为，最小值为，则 ． 类周期型函数的特性分析 1．（2024·高二·浙江温州·期中）设函数的定义域为，且，当时，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·重庆·阶段练习）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·山东菏泽·期末）函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 5．（2024·高三·湖北·开学考试）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知的值域为，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则正实数的值为（    ） A．1 B． C．5 D．6 3．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（   ） A．3 B．1 C．0 D． 4．已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足对任意，（）时，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 8．（多选题）高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．函数的值域是 D．函数在上单调递增 9．若函数的最小值为，则实数的取值范围为 ． 10．若函数是上的增函数．则实数a的取值范围为 ． 11．已知，则 . 12．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 13．已知函数. (1)若为奇函数，证明：； (2)讨论的单调性. 14．已知二次函数的图象过点，且． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 1．已知定义在上的函数满足：，当时，有，则称函数为“理想函数”．根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（   ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的最小值为1 D．函数在上为减函数 3．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 5．已知定义在的奇函数满足①；②，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 6．记表示，二者中较大的一个，函数，若使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C． D．满足不等式的的取值范围为 8．（多选题）已知函数对任意实数m，n都满足，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数，以下是真命题的有（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．的图象关于轴对称 D．存在一个正三角形，其顶点均在的图象上 10．定义一种运算，设（t为常数，且）.若函数的最大值为4，则t的取值集合为 . 11．已知是定义在上的连续函数，给出下列四个命题：①是奇函数；②是偶函数；③满足；④的图象关于点对称．若其中只有两个真命题，则符合题意的一组真命题的序号为 ． 12．已知函数为上的偶函数，对任意，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为 ． 13．已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 14．已知函数，若关于x的方程有6个不等实根，则b的取值范围是 15．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求函数解析式，若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)写出关于x的方程可能的解的个数，并求方程有最多解时m的取值范围． 16．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为2，记. (1)求实数、的值： (2)若不等式成立，求实数的取值范围； (3)定义在上的一个函数，用分法将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由. （参考公式：） 17．设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023年天津高考数学真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 6．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023年北京高考数学真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 10．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$