寒假作业04 函数的概念与性质10类重点必刷题型（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 函数的概念与性质 1.定义：在一个函数关系中，自变量的取值范围叫作函数的定义域. 2.具体函数的定义域 (1)(为偶数)限制条件：. (2)限制条件：. (3)限制条件：. (4)限制条件：. (5)限制条件：. (6)如果函数解析式由多个函数复合而成，先分别求出每一段的解析式，再取交集. 3.抽象函数的定义域 (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域. (2)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域. (3)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域.再转化为(1) 4.注意事项：定义域必须写成区间或者集合的形式. 5.函数的解析式 (1)函数的解析式----待定系数法 (2)函数的解析式----换元法 换元法，已知，求，令，解出，代入中，得到一个含的解析式，即为所求解析式. (3)函数的解析式----配凑法 配凑法，已知，求，从的解析式中配凑出“”，即用来表示，然后将解析式中的用代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意的取值范围的限定． (4)函数的解析式----解方程组法 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边所有的，得到关于与的方程组，消去解出即可．常见的有与，与． 6.函数的值域 (1)函数的值域----单调性法 ①若函数在上单调递增，则，. ②若函数在上单调递减，则，. ③若函数在上单调递增，在上单调递减，则，为和的更小者. ④若函数在上单调递减，在上单调递增，则，为和的更大者. (2)函数的值域----配方法 ①函数，化为，进而讨论最值. ②需要注意函数的定义域，不能简单的认为二次函数在对称轴的位置取得最值. (3)函数的值域----换元法 ①若函数的某一部分较复杂或生疏，尤其是复合函数，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解. ②使用换元法求值域时，需注意新元的取值范围. (4)函数的值域----分离常数法 ①函数. ②由的范围得到的范围，再得到的范围，再得到的范围，进而得到函数值域. ③若，则，不要遗漏. (5)函数的值域----基本不等式法 根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域. (6)函数的值域----判别式法 形如，同乘得，合并同类型得， 令，解不等式可得的范围，即为函数的值域. 形如、也可使用判别式法，但必须求整个定义域内的值域时方可使用. 7.常见函数的平移变换、翻折变换 (1)将函数向左平移个单位得函数的图像. (2)将函数向右平移个单位得函数的图像. (3)将函数向上平移个单位得函数的图像. (4)将函数向下平移个单位得函数的图像. (5)将函数关于轴对称得函的图像. (6)将函数关于轴对称得函数的图像. (7)将函数图像位于轴下方的图像向上翻折，轴上方图像不变，得函数的图像. (8)将函数图像位于轴右方的图像向左翻折，轴右方图像不变，得函数的图像. 8.判断函数图像的常见方法 (1)判断函数奇偶性. (2)判断函数特殊值的正负性. (3)判断函数的平移变换、翻折变换. 9. 单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间． 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是增函数，称为的增区间； 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数，称为的减区间. ※ 对，或在上是增函数. 对，或在上是减函数. 10.单调性的证明方法 （1）作图法 ①一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图像可直接作出. ②常见函数的变换：如平移、伸缩、对称、翻折得可由原函数得出. （2）作差法 解题步骤：取值作差变形定号结论 ①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. （3）作商法 （4）导数法 ①若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立 ②若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立 11.单调性的应用----求最值与值域 (1) 单调性唯一类型： ①若函数在上单调递增，则，. ②若函数在上单调递减，则，. (2) 单调性不唯一类型： ①若函数在上单调递增，在上单调递减，则，取更小者. ②若函数在上单调递减，在上单调递增，则取更大者，. 12.单调性的应用----解不等式 (1) 若是单调增函数，且，则. (2) 若是单调减函数，且，则. ※ 注意：利用单调性解不等式需注意定义域问题. 13.单调性的应用----复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性同增异减. (2)注意定义域问题. 14.单调性的应用----分段函数的单调性 对于分段函数 (1)若函数在上递增，则在上递增，在上递增，且. (2)若函数在上递减，则在上递减，在上递减，且. 15. 奇偶性的定义 (1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数． (2)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数． 16. 具有奇偶性的函数的图像特征 (1)若函数是偶函数，则函数的图像关于轴对称. (2)若函数是奇函数，则函数的图像关于原点对称. 17. 判断奇偶性的步骤 (1)证明函数的定义域的对称性. (2)求的解析式，与进行比较，进而下结论. 18. 利用奇偶性求解析式 已知函数为定义在上的偶(奇)函数，当时，函数，当时，求解析式. (1)设，则. (2)将代入时的解析式，得. (3)若函数为偶函数，则当时，. 若函数为奇函数，则当时，. 19. 利用奇偶性求参数 (1)若已知函数为上的偶函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数.（核心就是在定义域内进行赋值） (2)常见的两个函数：①若一次函数为奇函数，则. ②若二次函数为偶函数，则. 20.构造奇偶性求值 若函数，其中函数为奇函数.已知，求. (1)因为，所以 (2)因为函数为奇函数，，所以. (3). 21.单调性与奇偶性的关系 (1)若为奇函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性相同. (2)若为偶函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. 22.利用单调性和奇偶性解不等式 (1) 若函数在定义域上单调递增，且，则. (2) 若函数在定义域上单调递减，且，则. (3) 若函数为偶函数，在上单调递增，且，则. 若函数为偶函数，在上单调递减，且，则. (4) 若函数为奇函数，在上单调递增，且，则. 若函数为奇函数，在上单调递减，且，则. (5)注意讨论、. 23.利用单调性和奇偶性画图 (1)取值，描点，先作轴右侧的图像. (2)通过奇偶性的性质，对称得到轴左侧的图像. 24.函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 25.函数的对称性 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. ④若函数满足，则函数关于对称. ⑤若函数满足，则函数关于对称. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 函数的概念：定义域问题 1．（24-25高一上·贵州遵义·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使得函数有意义，则，解得且， 即， 故选：. 2．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，所以，解得， ，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】令，则， 因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·贵州遵义·月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】由题意可知，对任意恒成立. 当时，不等式可化为，恒成立，符合条件； 当时，需满足二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即，也即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 题型二 函数的概念：解析式问题 1．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以，. 所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，可得， 所以. 故选：B. 3．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数满足，则 ． 【答案】 【详解】用替换得：， ， ，可得， 解得， ． 故答案为：． 4．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数满足，则 ． 【答案】 【详解】由①， 得②． ②①得， 得． 故答案为： 题型三 函数的概念：值域问题 1．（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数为单调递增函数， 所以时，， 则函数的值域为， 故选： 2．（25-26高二上·福建泉州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得，所以函数的定义域为， 设， 所以， 因为，所以，，故. 故选：D 3．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）函数的值域为 ； 【答案】 【详解】函数， 因为，所以， 所以； 所以函数值域为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，则的值域为 . 【答案】 【详解】函数定义域为，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的值域为. 故答案为： 5．（25-26高一上·福建厦门·期中）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 6．（25-26高一上·青海西宁·期中）（1）已知，求的值域； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）， 已知，所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为； （2）设， 令，， 则， 所以当，即时，，即. 7．（24-25高一上·吉林通化·月考）（1）求函数的值域. （2）求二次函数在区间上的最小值. 【答案】（1）；（2）= 【详解】（1），因为0，所以2+， 所以值域为； （2）函数的图象对称轴是， 所以当时，f（x）在区间上单调递增， 所以最小值为； 当时，在区间单调递减， 所以最小值为； 当时，f（x）最小值为， 综上，= 题型四 函数的概念：图像问题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，图像关于原点对称， 当时，可得，所以只有选项A的图像符合. 故选：A. 2．（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图像大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 因此定义域为，关于原点对称， 由， 因此是奇函数，图象关于原点对称，故可排除选项CD； 当时，，因此， 即函数在上的图象位于轴上方，故可排除B项； 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏苏州·月考）函数的图像大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 所以，故AD选项错误； 当时， 函数的值增长快于函数的值， 即， 故B选项不正确， 故选：C. 4．（25-26高一上·重庆·月考）函数（其中e=2.71828…）的大致图像为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，且， 因此是奇函数，其图像关于原点对称，故选项A、B不符合题意； 令，则, 因为，所以或，解得或. 因此，函数有三个零点，C选项正确. 故选：C. 题型五 函数的性质：单调性与奇偶性的证明 1．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知函数，且． (1)求m的值． (2)判断的奇偶性并证明． (3)判断在上的单调性，并给予证明． 【答案】(1)1 (2)奇函数，证明见解析 (3)增函数，证明见解析 【详解】（1）因为，解得． （2）为奇函数． 证明如下：因为，定义域为，关于原点对称， 又因为， 因此函数为奇函数． （3）在上为增函数，证明如下： 设，则 ， 因为，所以，，故， 即，又因为，因此函数在上为增函数． 2．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析 【详解】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. 3．（25-26高一上·山西运城·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【详解】（1）取，则，则； 取，则， 又定义域为，则是奇函数． （2）任取，则， ， 由时，可知， 即，即， 故在上单调递减． （3）由题知，若对所有的，恒成立， 只需， 结合函数的单调性，时，， 则，即， 将不等式左边视作关于的一次函数， 而时恒成立， 故只需，即， 解得或 4．（25-26高一上·陕西汉中·月考）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性并用单调性定义证明； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，在R上单调递增，证明见解析 (2)奇函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）由在上单调，则其最值必在端点处取得， 则由题意得，解得， 故，函数定义域为R， 在R上单调递增，证明如下： 任取，令， 则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； （2）奇函数，证明如下： ，函数定义域为R，关于原点对称， 则， 所以为奇函数； （3）， 因不等式对恒成立， 所以，即恒成立， 则， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以，即. 所以实数m的取值范围为. 题型六 函数的性质：单调性的应用 1．（25-26高一上·广东广州·月考）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C．, D．, 【答案】D 【详解】根据题意，设，对称轴为，则， 函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则在区间上单调递减， 必有，解得， 所以实数的取值范围是，． 故选：D． 2．（25-26高一上·湖南·月考）已知是减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在R上是减函数可得，解得， 故选：D 3．（25-26高一上·江苏泰州·月考）若函数在区间上单调递减， 则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增， 所以，解得 故答案为：C 4．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以函数的定义域为，则定义域关于原点对称，且，所以为偶函数， 当时，令其为单调递增函数，而是单调递减函数，所以在区间上是单调递减函数， 根据对称性知，函数在区间上是单调递增函数， 所以函数的函数值随着的增大而减小， 因为，所以，即，或， 当时；当时； 所以实数的取值范围为. 故选：A 5．（25-26高三上·贵州·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得解得． 故答案为： 6．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知函数，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题知时，，则在上单调递增，时，，则在上单调递减； ①当，即时，可知 ， 因为自变量时，在上单调递减， 则，原不等式无解； ②当时，即时，可知， 因为自变量时，在上单调递增， 因此，即原不等式恒成立，其解集为； ③当且时，即时， 由可得，解得，故， 综上所述，关于的不等式的解集为， 故答案为：. 7．（25-26高一上·安徽·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 8．（25-26高一上·云南曲靖·期中）若函数为定义域上的增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】的定义域为， 由，在上单调递增，故当时，单调递增， 则当，对，有，即， 且有，解得，故. 故答案为：. 题型七 函数的性质：奇偶性的应用 1．（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】函数为奇函数，故必有成立， 即，解得， 则此时，定义域为， 而，即函数为奇函数，符合题意， 故， 故选：C 2．（2025·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 由奇函数的定义可得. 故选：C 3．（25-26高一上·江苏苏州·月考）若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】根据已知条件， 为奇函数， 为偶函数，可得： ， 联立解得： 计算得： 因此，. 故选：D. 4．（2026·河南开封·一模）已知，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】证明充分性：因为，解得，当时，，则，所以是偶函数； 当时，，则，所以是奇函数，故不充分. 证明必要性：若为奇函数，则，即， 整理得，因为，所以，即，故必要， 综上所述“”是“为奇函数”的必要不充分条件， 故选：B. 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】已知，则， 由，得 即对所有成立． 若，化简得，不满足对所有成立，舍去； 若，化简得，解得． 将代入，得 不等式，即，即，即， ∵，∴，即， ∴． 故答案为：． 6．（25-26高一上·吉林松原·月考）函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式 ． 【答案】 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数， 所以. 当时，， 则. 因为， 所以时，. 故答案为：. 7．（24-25高一上·重庆·期中）设函数上的最大值为，最小值为，则 【答案】 【详解】由函数， 令，其定义域关于原点对称， 且，即， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，可得， 则， 所以. 故答案为：. 8．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知偶函数在单调递减，，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由偶函数在上单调递减，，得， ，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 题型八 函数的性质：单调性与奇偶性的综合应用 1．（25-26高三上·湖北随州·月考）已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意不相等的两个正实数，，恒成立， 不妨设，，，， ，在上单调递增， 是定义在上的偶函数，在上单调递减， ，的解集为． 故选：D. 2．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于或， 所以或，所以或， 则不等式的解集为. 故选：D. 3．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又对任意的，都有， 所以在上单调递增， 所以可等价为，即， 当时，不等式可化为，即， 令，则，由于，无解； 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得． 综上，关于的不等式的解集为． 故答案为： 4．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为 . 【答案】或 【详解】定义在上的偶函数满足对任意的，都有， 所以在上单调递减， 根据偶函数的对称性可得，在上单调递增， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 当或或时，， 则不等式可得或， 所以或. 故答案为：或. 5．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的t的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【详解】（1）由，则，所以， 所以； （2）在上单调递增，证明如下， 令，则， 由，所以，即， 所以在上单调递增，由奇函数的对称性知在上单调递增， 结合（1）及已知区间解析式知：时，时， 又，则，所以在上单调递增； （3）由，则， 由在上单调递增，则，可得， 所以. 6．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)求使成立的实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上是减函数，证明见解析； (3) 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即①， 又，得②， 由①②可得，此时， 经检验此时满足，即满足在上是奇函数， 所以． （2）在上是减函数，证明如下： 任取，且，则 因为，所以，， 所以，即， 因此在上是减函数． （3）因为是奇函数，所以由 可得，由（2）知是减函数， 所以，即，解得或， 即实数的取值范围为 题型九 函数的性质：周期性与对称性的综合应用 1．（25-26高一上·福建莆田·月考·多选）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数的一个周期为4 【答案】AD 【详解】因为为奇函数，所以， 所以函数图象关于点成中心对称，且①， 因为为偶函数，故②，且函数图象关于直线轴对称， 由①②可得，，则，所以的一个周期为4. 在①中令有， 因为时，，所以，，故， 所以，， 所以，故AD正确； 由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数，所以是上的减函数， 因为的周期是4，所以是上的减函数，故B错误； 因为函数图象关于轴轴对称，且关于点成中心对称，周期为4， 所以函数图象关于直线轴对称，且关于点成中心对称，故C错误； 故选：AD. 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·月考·多选）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A．的周期为2 B． C．的所有零点之和为14 D． 【答案】BC 【详解】选项A，是定义在上的奇函数，， 为偶函数，， ，， ，， ，， 的周期为，故选项A错误； 选项B，是定义在上的奇函数，， 当时，， ， 为偶函数，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， ， ，故选项B正确； 选项C，，， 则与在同一平面直角坐标系的图像如图所示： 从图像可知，与的交点为， 与关于对称， 点和，和，和都关于点对称， ，，， ， 的所有零点之和就是， 的所有零点之和为，故选项C正确； 选项D，当时，， 均为奇函数， 当时，， 的周期为， 在上恒成立，故选项D错误. 故选：BC. 3．（25-26高一上·安徽·月考·多选）已知定义域为的函数满足，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．函数为奇函数 D． 【答案】ABC 【详解】对于选项A，，以代替， 得，A正确. 对于选项B，因为，所以， 所以的图象关于点对称，B正确. 对于选项C，将代入，得， 所以， 即，所以为奇函数，C正确. 对于选项D，由，可得， 则， 所以，D错误. 故选：ABC. 4．（25-26高一上·福建漳州·月考·多选）函数对，，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】CD 【详解】对于A，已知为奇函数，则有， 令，得， 又，令，得， 时，因此可得，故A错误； 对于B，已知为奇函数，则有， 又，则有，由此可得， 而，可得的一个周期为12， 若的周期为6，则有，得为偶函数，与题意不符，故B错误； 对于C，已知为奇函数，则有，则可得函数的图象关于中心对称， 又函数的周期为12，所以的图象关于中心对称，故C正确； 对于D，已知函数的周期为12，则有， 又，令，得， 则，故D正确. 故选：CD 题型十 函数的性质：抽象函数的性质 1．（25-26高一上·福建厦门·月考·多选）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．以6为周期 D． 【答案】ACD 【详解】令，得（），得，选项A正确. 令，得，即，是偶函数，选项B错误. 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得， 以此类推，可知在整数点上是以6为周期的周期函数， 下面严格说明周期为6，由题设可得， 进而可得， 所以， 所以是以为周期的函数，选项C正确. 一个周期内和为； 余3， 故，选项D正确. 故选：ACD 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考·多选）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．是偶函数 C．函数是奇函数 D．4是的周期 【答案】ABD 【详解】对于A：令，，整理得，由可知不恒为，故，故A正确； 对于B：以代，得， 又因为，故有， 整理得，由可知不恒为， 故，又因为的定义域是，故是偶函数，故B正确； 对于C：若函数是奇函数，则有，令，得，即，与矛盾，故函数不是奇函数，故C错误； 对于D：令，因为，故可得， 即，将替换为，则， 所以，故4是的周期. 故选：ABD. 3．（24-25高一上·江西抚州·期末·多选）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【答案】ACD 【详解】对于A，对任意的实数满足， 令可得，解得，所以A正确； 对于B，令可得， 即，解得， 再令，可得，所以B错误； 对于C，由题意知：当时，， 当时，则时，， 故当时，， 任取且， 则， 所以函数在上为增函数，所以C正确； 对于D，令，因为， 可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 故选：ACD. 4．（25-26高三上·河南·月考·多选）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（　　） A． B． C．是奇函数 D．是增函数 【答案】BCD 【详解】对于A，令，则， 所以，故A错误； 对于B，令，则， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 所以 所以为奇函数，故C正确； 对于D，令，则为奇函数， 令， 则， 因为，所以， 所以，， 所以， 又因为当时，， 所以当时，， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 又是奇函数，且， 所以函数为增函数，即函数是增函数，故D正确. 故选：BCD. 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【详解】（1）， 取，则，解得， 取，则，， 故为奇函数. （2），为奇函数，， ，将换，取，， ，将代入， 得到，，转化为， 是上的增函数，，解得或. 不等式的解集为或. 6．（25-26高一上·福建厦门·期中）（1）已知函数，满足：且 （i）证明：； （ii）证明：是偶函数，并写出一个符合题意的； （2）求出所有的函数，满足，，且对于一切，．（其中表示正实数） 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；（2） 【详解】（1）（i）证明：，令， ，即， ； （ii）证明：已知函数的定义域为，关于原点对称， ，令，， ，， 令，可得，， 若，则，不满足， ， 令，得，是偶函数． 令，定义域为关于原点对称， 则，满足乘法性， ，满足偶函数定义， 且时，，满足， 是一个符合题意的函数． （2），令，则，解得， 令，，即，其中， 令，同理可得， 设①，其中， 由单调性知：，即②， ①除以②，得， 由指数函数的性质可知，，即， 是唯一满足题意的函数． 1．（25-26高一上·河南·月考）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值. (2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. (3)是否存在实数，使得在区间上的取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得.所以. 由，可知函数是奇函数，所以. （2）因为，且是上的奇函数， 所以（*）. 由（1）知，， 由指数函数性质得，在上恒正且单调递增，故函数在上单调递增. 则由（*）得成立，即成立. 设，则， 所以， 所以. 设， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即实数的取值范围是. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 设存在实数，使得函数在区间上的取值范围是， 则即 所以方程，即有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根. 令，则，故方程有两个不相等的正根， 结合韦达定理，可得解得， 所以实数的取值范围为. 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是奇函数， 则其定义域关于原点对称，即， 则， 经验证，此时， 故满足题意； （2）函数在单调递增. 证明：，且， 则， 因为，所以，则， 所以， 即，所以， 函数在单调递增. （3）由题意得：， 由（2）知，在上单调递增，所以， 由，得对称轴方程为， ①当时，即时，， 解得，又， 故； ②当时，即时，， 解得，又， 所以； ③当时，即时，， 解得，又， 所以. 综上，实数的取值范围为. 法二：第（3）问也可转化为， 设， 即恒成立， 即转化为求当时m的取值范围. ，对称轴为， ①当时，即时，， 解得，又， 故； ②当时，即时，， 解得，又， 所以； ③当时，即时，， 解得，又， 所以. 综上，实数的取值范围为. 1．（25-26高一上·福建厦门·月考）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”． (1)判断函数是否为型函数”； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，，若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数是型函数 (2)， (3) 【详解】（1）证明：由函数， 可得， 所以函数是型函数. （2）解：由型函数的定义，可得对定义域内的所有成立， 因为函数是“型函数，可得， 由于为常数，需要为常数，所以分子的系数，即， 此时，所以. （3）解：因为是型函数，对应的实数对为，可得， 当时，函数， 当时，可得函数， 当时，，函数在上单调递减， 因此当时，，则函数在上的值域为， 由于当时，都存在，使得， 所以函数在的值域为的子集， 根据，在等式中， 令，可得，所以，符合题意； 若在上的值域为，则， 对于任意，可得，则，且，所以， 所以问题等价于在上的值域为的子集， 当时，的对称轴为， ①若，即时，在上单调递增，可得， 此时不是的子集，不符合题意； ②若，即时，在上单调递减，可得， 此时不是的子集，不符合题意； ③若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，且， 根据题意，函数在上的值域为的子集，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 2．（25-26高一上·江苏常州·月考）设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为“自关联函数”，请根据上述定义回答下列问题： (1)判断函数和是否为“自关联函数” (2)若为上的“自关联函数”，当时，，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由． (3)若为上的“自关联函数”，其函数值恒大于0，且在上是减函数．设，且．解不等式 【答案】(1)是，不是； (2)不存在，理由见解析； (3) 【详解】（1）函数的定义域为，有，且， 所以是“自关联函数”； 函数的定义域为，而，， 所以不是“自关联函数”. （2）由是上的“自关联函数”，得当时，，， 则，即函数， 当时，函数在上都单调递减，在上单调递减， 因此在上单调递增，，方程无解； 当时，函数在上单调递增，， ，则，使得，而， 所以方程无正整数解，即不存在正整数使成立. （3）由是上的“自关联函数”，得，， 由，得， 由在上是减函数，得，则，，， 于是，即，因此函数在上是减函数， 由，得，不等式 ， 即，解得，又因为， 所以原不等式的解集为. 3．（25-26高一上·湖南·月考）给定函数，对于任意.函数表示中的最大者.记为.函数表示中的最小者.记为. (1)用解析式表示，并求出的解集； (2)证明：； (3)设，若对任意.都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）由函数和的图象可知   ， 当时，；当时，，解得， ∴；当时，. ∴. （2）当函数时， ， ∴成立， 当函数时， ， ∴成立， ∴恒成立. （3） ，， 即，， ∴， 由（2）可知. 当时，在区间上调递增，所以， ∵，∴， ∵对任意.都有，即对任意.都有， ∴恒成立， 令函数 因为函数在上单调递增，且， ∴. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 函数的概念与性质 1.定义：在一个函数关系中，自变量的取值范围叫作函数的定义域. 2.具体函数的定义域 (1)(为偶数)限制条件：. (2)限制条件：. (3)限制条件：. (4)限制条件：. (5)限制条件：. (6)如果函数解析式由多个函数复合而成，先分别求出每一段的解析式，再取交集. 3.抽象函数的定义域 (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域. (2)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域. (3)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域.再转化为(1) 4.注意事项：定义域必须写成区间或者集合的形式. 5.函数的解析式 (1)函数的解析式----待定系数法 (2)函数的解析式----换元法 换元法，已知，求，令，解出，代入中，得到一个含的解析式，即为所求解析式. (3)函数的解析式----配凑法 配凑法，已知，求，从的解析式中配凑出“”，即用来表示，然后将解析式中的用代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意的取值范围的限定． (4)函数的解析式----解方程组法 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边所有的，得到关于与的方程组，消去解出即可．常见的有与，与． 6.函数的值域 (1)函数的值域----单调性法 ①若函数在上单调递增，则，. ②若函数在上单调递减，则，. ③若函数在上单调递增，在上单调递减，则，为和的更小者. ④若函数在上单调递减，在上单调递增，则，为和的更大者. (2)函数的值域----配方法 ①函数，化为，进而讨论最值. ②需要注意函数的定义域，不能简单的认为二次函数在对称轴的位置取得最值. (3)函数的值域----换元法 ①若函数的某一部分较复杂或生疏，尤其是复合函数，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解. ②使用换元法求值域时，需注意新元的取值范围. (4)函数的值域----分离常数法 ①函数. ②由的范围得到的范围，再得到的范围，再得到的范围，进而得到函数值域. ③若，则，不要遗漏. (5)函数的值域----基本不等式法 根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域. (6)函数的值域----判别式法 形如，同乘得，合并同类型得， 令，解不等式可得的范围，即为函数的值域. 形如、也可使用判别式法，但必须求整个定义域内的值域时方可使用. 7.常见函数的平移变换、翻折变换 (1)将函数向左平移个单位得函数的图像. (2)将函数向右平移个单位得函数的图像. (3)将函数向上平移个单位得函数的图像. (4)将函数向下平移个单位得函数的图像. (5)将函数关于轴对称得函的图像. (6)将函数关于轴对称得函数的图像. (7)将函数图像位于轴下方的图像向上翻折，轴上方图像不变，得函数的图像. (8)将函数图像位于轴右方的图像向左翻折，轴右方图像不变，得函数的图像. 8.判断函数图像的常见方法 (1)判断函数奇偶性. (2)判断函数特殊值的正负性. (3)判断函数的平移变换、翻折变换. 9. 单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间． 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是增函数，称为的增区间； 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数，称为的减区间. ※ 对，或在上是增函数. 对，或在上是减函数. 10.单调性的证明方法 （1）作图法 ①一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图像可直接作出. ②常见函数的变换：如平移、伸缩、对称、翻折得可由原函数得出. （2）作差法 解题步骤：取值作差变形定号结论 ①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. （3）作商法 （4）导数法 ①若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立 ②若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立 11.单调性的应用----求最值与值域 (1) 单调性唯一类型： ①若函数在上单调递增，则，. ②若函数在上单调递减，则，. (2) 单调性不唯一类型： ①若函数在上单调递增，在上单调递减，则，取更小者. ②若函数在上单调递减，在上单调递增，则取更大者，. 12.单调性的应用----解不等式 (1) 若是单调增函数，且，则. (2) 若是单调减函数，且，则. ※ 注意：利用单调性解不等式需注意定义域问题. 13.单调性的应用----复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性同增异减. (2)注意定义域问题. 14.单调性的应用----分段函数的单调性 对于分段函数 (1)若函数在上递增，则在上递增，在上递增，且. (2)若函数在上递减，则在上递减，在上递减，且. 15. 奇偶性的定义 (1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数． (2)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数． 16. 具有奇偶性的函数的图像特征 (1)若函数是偶函数，则函数的图像关于轴对称. (2)若函数是奇函数，则函数的图像关于原点对称. 17. 判断奇偶性的步骤 (1)证明函数的定义域的对称性. (2)求的解析式，与进行比较，进而下结论. 18. 利用奇偶性求解析式 已知函数为定义在上的偶(奇)函数，当时，函数，当时，求解析式. (1)设，则. (2)将代入时的解析式，得. (3)若函数为偶函数，则当时，. 若函数为奇函数，则当时，. 19. 利用奇偶性求参数 (1)若已知函数为上的偶函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数.（核心就是在定义域内进行赋值） (2)常见的两个函数：①若一次函数为奇函数，则. ②若二次函数为偶函数，则. 20.构造奇偶性求值 若函数，其中函数为奇函数.已知，求. (1)因为，所以 (2)因为函数为奇函数，，所以. (3). 21.单调性与奇偶性的关系 (1)若为奇函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性相同. (2)若为偶函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. 22.利用单调性和奇偶性解不等式 (1) 若函数在定义域上单调递增，且，则. (2) 若函数在定义域上单调递减，且，则. (3) 若函数为偶函数，在上单调递增，且，则. 若函数为偶函数，在上单调递减，且，则. (4) 若函数为奇函数，在上单调递增，且，则. 若函数为奇函数，在上单调递减，且，则. (5)注意讨论、. 23.利用单调性和奇偶性画图 (1)取值，描点，先作轴右侧的图像. (2)通过奇偶性的性质，对称得到轴左侧的图像. 24.函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 25.函数的对称性 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. ④若函数满足，则函数关于对称. ⑤若函数满足，则函数关于对称. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 函数的概念：定义域问题 1．（24-25高一上·贵州遵义·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 4．（25-26高一上·贵州遵义·月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围 . 题型二 函数的概念：解析式问题 1．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数满足，则 ． 4．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数满足，则 ． 题型三 函数的概念：值域问题 1．（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建泉州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）函数的值域为 ； 4．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，则的值域为 . 5．（25-26高一上·福建厦门·期中）求下列函数的值域： (1)； (2). 6．（25-26高一上·青海西宁·期中）（1）已知，求的值域； （2）已知，求的最大值. 7．（24-25高一上·吉林通化·月考）（1）求函数的值域. （2）求二次函数在区间上的最小值. 题型四 函数的概念：图像问题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）函数的图像大致为（   ） A．B．C． D． 2．（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图像大致是（   ） A．B．C． D． 3．（25-26高一上·江苏苏州·月考）函数的图像大致为（    ） A．B．C． D． 4．（25-26高一上·重庆·月考）函数（其中e=2.71828…）的大致图像为（   ） A． B． C． D． 题型五 函数的性质：单调性与奇偶性的证明 1．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知函数，且． (1)求m的值． (2)判断的奇偶性并证明． (3)判断在上的单调性，并给予证明． 2．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 3．（25-26高一上·山西运城·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 4．（25-26高一上·陕西汉中·月考）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性并用单调性定义证明； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 题型六 函数的性质：单调性的应用 1．（25-26高一上·广东广州·月考）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C．, D．, 2．（25-26高一上·湖南·月考）已知是减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏泰州·月考）若函数在区间上单调递减， 则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·贵州·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 6．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知函数，则关于的不等式的解集为 . 7．（25-26高一上·安徽·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 8．（25-26高一上·云南曲靖·期中）若函数为定义域上的增函数，则的取值范围是 . 题型七 函数的性质：奇偶性的应用 1．（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 2．（2025·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏苏州·月考）若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2026·河南开封·一模）已知，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 6．（25-26高一上·吉林松原·月考）函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式 ． 7．（24-25高一上·重庆·期中）设函数上的最大值为，最小值为，则 8．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知偶函数在单调递减，，则不等式的解集为 . 题型八 函数的性质：单调性与奇偶性的综合应用 1．（25-26高三上·湖北随州·月考）已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 4．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为 . 5．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的t的取值范围. 6．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)求使成立的实数的取值范围． 题型九 函数的性质：周期性与对称性的综合应用 1．（25-26高一上·福建莆田·月考·多选）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数的一个周期为4 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·月考·多选）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A．的周期为2 B． C．的所有零点之和为14 D． 3．（25-26高一上·安徽·月考·多选）已知定义域为的函数满足，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．函数为奇函数 D． 4．（25-26高一上·福建漳州·月考·多选）函数对，，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 题型十 函数的性质：抽象函数的性质 1．（25-26高一上·福建厦门·月考·多选）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．以6为周期 D． 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考·多选）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．是偶函数 C．函数是奇函数 D．4是的周期 3．（24-25高一上·江西抚州·期末·多选）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 4．（25-26高三上·河南·月考·多选）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（　　） A． B． C．是奇函数 D．是增函数 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 6．（25-26高一上·福建厦门·期中）（1）已知函数，满足：且 （i）证明：； （ii）证明：是偶函数，并写出一个符合题意的； （2）求出所有的函数，满足，，且对于一切，．（其中表示正实数） 1．（25-26高一上·河南·月考）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值. (2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. (3)是否存在实数，使得在区间上的取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围. 1．（25-26高一上·福建厦门·月考）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”． (1)判断函数是否为型函数”； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，，若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 2．（25-26高一上·江苏常州·月考）设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为“自关联函数”，请根据上述定义回答下列问题： (1)判断函数和是否为“自关联函数” (2)若为上的“自关联函数”，当时，，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由． (3)若为上的“自关联函数”，其函数值恒大于0，且在上是减函数．设，且．解不等式 3．（25-26高一上·湖南·月考）给定函数，对于任意.函数表示中的最大者.记为.函数表示中的最小者.记为. (1)用解析式表示，并求出的解集； (2)证明：； (3)设，若对任意.都有，求实数的取值范围. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $