专题06 函数恒成立等综合大题深度归类与解析（8大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题06 函数恒成立等综合大题深度归类与解析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一：一元二次方程中的分类讨论与恒成立参数求解 题型二：恒成立条件下的对勾型参数求解 题型三：含绝对值条件的恒成立参数讨论 题型四：双曲函数中的参数求解问题 题型五：抽象函数背景下的参数求解 题型六：分式型求参：一次与二次函数的结合 题型七：指数分式型函数中的参数求解 题型八：指数函数综合应用中的参数求解 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 2、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 一元二次方程中的分类讨论与恒成立参数求解 1．已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集； (3)若对任意的实数恒成立，求实数m的取值范围． 2．已知是定义在上的奇函数，满足，且当，，时，有. (1)判断函数的单调性； (2)解不等式：； (3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 3．已知 (1)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 4．已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. (1)求此二次函数的解析式； (2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 恒成立条件下的对勾型参数求解 1．已知函数，． (1)若，判断函数在的单调性，不需要证明； (2)若对任意，不等式恒成立，求的最小值． 2．已知，函数，． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 3．已知，函数， (1)求在上的最小值； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 4．已知函数，． (1)若的值域为，求a的值． (2)证明：对任意，总存在，使得成立． 含绝对值条件的恒成立参数讨论 1．已知关于x的函数和. (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式（其中）的解集，求证：. 2．已知函数，，其中. (1)若，，求的单调区间； (2)对于给定的实数，若函数存在最大值， （i）求证：； （ii）求实数的取值范围（用表示）. 3．已知函数． (1)若，求函数在上的最小值. (2)若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）． (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 4．函数，在上的最大值为，最小值为. (1)求； (2)设，若对恒成立，求的取值范围. 5．已知函数，其中. （1）当时，求函数的零点； （2）若，，当时，关于的方程有3个不同的实数解，求实数的值及该方程的解； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值. 双曲函数中的参数求解问题 1．已知函数， (1)设，解关于的不等式； (2)当时，求函数的最大值； (3)若对任意的，都有恒成立，求正实数的取值范围 2．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若，且，使得，求的取值范围. 3．已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）设函数，且，已知对任意的恒成立，求的取值范围. 4．已知函数，将的图象向右平移两个单位长度，得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围； （3）若函数与的图象关于直线对称，设，已知对任意的恒成立，求的取值范围． 抽象函数背景下的参数求解 1．设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 2．设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 3．函数是定义在上的函数，对，都有 (1)求证：是奇函数； (2)若时，，求证：函数在上单调递增； (3)在条件（2）下，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．定义在上的函数满足对任意都有． 且时，， （1）求证：为奇函数； （2）试问在上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 分式型求参：一次与二次函数的结合 1．已知函数和都是定义在上的奇函数，，当时， (1)求和的解析式； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)，都有，求的取值范围. 2．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，． (1)求和的解析式，并判断在区间上的单调性（需要证明）； (2)若对，都有，求实数m的取值集合． 3．已知函数和都是奇函数，，且，当时，，且函数的定义域为. (1)求和的解析式； (2)用定义法判断在区间上的单调性； (3)，都有，求的取值范围． 4．已知函数，函数为R上的奇函数，且. (1)求的解析式： (2)判断在区间上的单调性，并用定义给予证明： (3)若的定义域为时，求关于x的不等式的解集. 5．已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. (3)求满足不等式的实数t的取值范围. 指数分式型函数中的参数求解 1．已知定义域为的函数，是奇函数. (1)求，的值； (2)判断函数的单调性并用单调性的定义证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 2．已知奇函数. (1)求的值. (2)利用函数定义证明函数单调递增. (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．已知定义域为的函数，是奇函数． (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 4．已知函数（为常数）是奇函数. (1)求b的值； (2)判断的单调性并证明； (3)对任意，关于t的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 指数函数综合应用中的参数求解 1．已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)如果对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．已知函数是奇函数，且． (1)求和的值， (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围． 3．已知函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)若函数，且对，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．已知指数函数的图象过点，函数 (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围． 5．已知函数. (1)解不等式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若对任意恒成立，则实数t的取值范围是 . 4．已知是定义在上的奇函数，满足，且当，，时，有. (1)判断函数的单调性； (2)解不等式：； (3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 5．已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)当时，若对任意的，恒成立，求正数的取值范围. 6．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 . 1．给出定义：若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，都有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的凸函数.若是区间上的凸函数，则对任意和任意满足的正实数，都有当且仅当时等号成立，请利用上述定义和性质完成下列问题： (1)证明：函数在上是凸函数； (2)求函数的最大值； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 2．设函数，且. (1)若，求证：在内存在零点； (2)若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围. 3．已知定义域为全体实数的函数为偶函数， (1)求实数的值； (2)若，使得恒成立，求实数的取值范围． 4．已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 5．已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是上的受限函数，为的限定值. (1)若函数在上是限定值为8的受限函数，求的最大值. (2)若函数，判断是否是受限函数.若是，求出的限定值的最小值；若不是，请说明理由. (3)若函数在上是限定值为11的受限函数，求的取值范围. 6．已知函数，函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，求实数x的取值范围. 7．已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 8．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a，b的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围. 10．已知函数. (1)若，求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 1．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（天津卷））设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数恒成立等综合大题深度归类与解析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一：一元二次方程中的分类讨论与恒成立参数求解 题型二：恒成立条件下的对勾型参数求解 题型三：含绝对值条件的恒成立参数讨论 题型四：双曲函数中的参数求解问题 题型五：抽象函数背景下的参数求解 题型六：分式型求参：一次与二次函数的结合 题型七：指数分式型函数中的参数求解 题型八：指数函数综合应用中的参数求解 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 2、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 一元二次方程中的分类讨论与恒成立参数求解 1．已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集； (3)若对任意的实数恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意可得：的两根为-1和2， 所以， 解得：. （2）由（1）知：可化为： ， 即： 当，不等式为：，得， 当，的两根为：和 当时， （i） ，即时，的解集为：； （ii） ，即时，的解集为：； （iii） ，即时，的解集为：； 综上：时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数m的取值范围 由（1）可化为：， 即，对任意恒成立， 令， 可得， 易知，对称轴为：，所以当时，， 所以. 所以实数m的取值范围为. 2．已知是定义在上的奇函数，满足，且当，，时，有. (1)判断函数的单调性； (2)解不等式：； (3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）为奇函数，所以，， 则由，得，得， 若，则；若，则. 故函数在上单调递增. （2）由（1）知函数为上的增函数， 则， 解得，故不等式的解集为. （3）因为，所以. 若对所有恒成立， 则成立，且， 所以对恒成立，即对恒成立. 令， 则，即，得. 解得. 故实数的取值范围是. 3．已知 (1)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【解析】（1）因为时，恒成立，所以时，恒成立， 所以时，即可， 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以的取值范围是. （2）， 当，即时，此时不等式为和，解集为； 当或时，此时，的解集为； 当或时，此时，的解集为； 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 4．已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. (1)求此二次函数的解析式； (2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由不等式的解集为，得且是关于的方程的两个根， 因此， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 而该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 于是，解得， 所以此二次函数的表达式为，即. （2）由（1）知不等式为， 整理得，即， 依题意，不等式的解集中恰有一个正整数，则， 当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去； 当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数， 则， 所以实数的取值范围是. （3）对，不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，，则，解得， 即实数的取值范围为. 恒成立条件下的对勾型参数求解 1．已知函数，． (1)若，判断函数在的单调性，不需要证明； (2)若对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【解析】（1）当时，可得在的单调递增； （2）当时，和在都为增函数，所以在上单调递增； 当时，显然在上单调递增； 当时，由对勾函数性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增； 当时，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增； 当时，由对勾函数性质可知，在单调递减，所以在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增， 要使不等式恒成立，必有， 即，解得，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时需满足，此时无解； 当时，，所以，，由，解得， 所以； 当时，，所以，， 由，解得， 所以． 综上可得 因为，所以， 所以， 由二次函数性质可知，当时，函数单调递减； 所以，此时，取得最小值为； 当，时，满足， 此时函数的最大值， 最小值，满足题意； 所以的最小值为； 2．已知，函数，． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以函数图象的对称轴方程． 若，即0＜a≤2，则f(x)在[1，3]上单调递增，h(a)＝f(1)＝4-a； 若，即2＜a＜6，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，； 若，即a≥6，则f(x)在[1，3]上单调递减，h(a)＝f(3)＝12-3a． 综上， （2）由题意知，原不等式等价于在内，成立． ，当且仅当，即时等号成立，所以， 0＜a≤2时，，得0＜a≤2； 2＜a＜6时，，得； a≥6时，，此时无解. 所以. 3．已知，函数， (1)求在上的最小值； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）的对称轴为， ①当即时，最小值， ②当即时，最小值， ③当即时，最小值，， 综上， （2）由题意得， ，由得，故在单调递减，在单调递增， 同理得在上的最小值 解不等式， ①当时，，即，解得， ②当时，，解得， ③当时，，解得， ④当时，此时，，故无解， ⑤当时，同理得无解， 综上，的取值范围为 4．已知函数，． (1)若的值域为，求a的值． (2)证明：对任意，总存在，使得成立． 【解析】（1）因为的值域为，所以，解得． （2）证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得在上单调递增，所以． 设在上的值域为M， 当，即时，在上单调递增，因为，，所以； 当，即时，在上单调递减，因为，，所以； 当，即时，，，所以； 综上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立， 所以对任意总存在，使得成立. 含绝对值条件的恒成立参数讨论 1．已知关于x的函数和. (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式（其中）的解集，求证：. 【解析】（1）可得，即， 即，即，则， 则实数x的取值范围是； （2）因为，所以， 由（1）知，所以 （i）时， 当时，， 所以当时，恒成立， 当时，令 对称轴，故在上为增函数， 又，， 所以存在使得 故的解集为， 所以当时，的解集为，其中 所以，则； （ii）当时，， 因为，所以恒成立， 由题意知的解集为，所以是方程的两根， 所以，所以. （iii）当时， 当时，由（i）知， 当时，令 ∴在恒成立， 故只需要考虑在的解集即可. 由，可得， 由题意m，n是的两根， 令，其对称轴为， ， ， 所以， ， 又在为单调减函数， ∴，∴， 综上，. 2．已知函数，，其中. (1)若，，求的单调区间； (2)对于给定的实数，若函数存在最大值， （i）求证：； （ii）求实数的取值范围（用表示）. 【解析】（1），时，， 当，，对称轴为， 单调增区间为，减区间为； 当时，，对称轴为，单调增区间为. 综上可得，的增区间为，减区间为. （2）（i） 由最大值为，可得， （ii） 当时，， 由二次函数的图象开口向上，可得的最大值在端点处取得. 即有为最大值，，， 由，且，则，解得； 当时，： ①当时，，由的最大值为， 可得，且，， 解得； ② 当时，， 由最大值，则，，即有. 综上可得，， 3．已知函数． (1)若，求函数在上的最小值. (2)若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）． (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意可得， 若，则由二次函数的图象和性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，令解得， 所以当时，最小值为；当时，最小值为. （2）由（1）得当时，在上单调递增，在上既无最大值也无最小值. 当时， 在、上单调递减，在上单调递增， ，， 令，解得， 令，解得， 故在上既有最大值又有最小值，、需满足：，. （3）由（1）得， 不等式的解集为，若， 则在上函数的图象应在的下方， 当时，显然不符； 当时，的图象是把的图象向左平移个单位，结合图象可知其图象不可能在的图象下方； 当时，结合图象，要使在上，函数的图象应在的下方，只要即可， 即，化简得， 解得，故此时的范围为， 综上可得，的取值范围为. 4．函数，在上的最大值为，最小值为. (1)求； (2)设，若对恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）； ①当时，在上， ， ， ； ； ②当时， 在上单调递增，在上单调减， 且，， ； 故， ； 则； ③当时， 在上单调递增，在上单调减， 且，， ，故， ； 则； ④当时， 在，上单调递增，在，上单调减， 且，， ，故， ； 则； ⑤当时， 在上单调递增，在上单调减， 且，， ，故， ； 则； ⑥当时，在上， ， ，； ，综上所述，. （2）可化为， 故对恒成立可化为对恒成立， ①时，，； 故，且， 从而解得：， ②当时，，； 故，且， 则； ③当时，，； 故，且， 故， ④当时，，； 故，且， 则， 综上所述，,故的取值范围是. 5．已知函数，其中. （1）当时，求函数的零点； （2）若，，当时，关于的方程有3个不同的实数解，求实数的值及该方程的解； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值. 【解析】（1）当时，，则，得，所以函数的零点为1； （2）， 所以可化为, 令，因为，所以，则方程可化为， 要使原方程有3个实数根，则必须满足： 一根为，另两根在上；或者一根为，另两根在上. 1）若一根为0，另两根在上，则 时，则可化为，则， 此时，原方程有3个解，，； 2）若一根为1，另两根在上，则 时，则可化为，则，舍去 综上可知，，，，. （3）因为对任意，都有恒成立， 即对任意，都有恒成立 所以，且都有恒成立. ①当，时，恒成立. ②当，时，恒成立. ③当，时，由恒成立，则， 举例：当时，对一切时，恒成立. 当时，，因为，所以 所以 综上所述，的最小值为1. 双曲函数中的参数求解问题 1．已知函数， (1)设，解关于的不等式； (2)当时，求函数的最大值； (3)若对任意的，都有恒成立，求正实数的取值范围 【解析】（1）由可得，化简得， 解得， 所以不等式的解集为. （2）记， 则 ， 令，即， 则， 即的最大值为. （3）令， 则，设，则， 则在恒成立， 记， 当时，在上单调递增，故，不符合题意. 当时，由对号函数知在上单调递减，在上单调递增， 由恒成立，从而，平方可得，解得. 综上，正实数的取值范围为. 2．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若，且，使得，求的取值范围. 【解析】（1）函数定义域为R， 显然当时，是递减的，当时，是递增的， 所以函数的递减区间是，递增区间是. （2）依题意，，而，， 当时，是递减的，当时，是递增的， 因此当时，， ，而，当时，在上单调递增，， 当时，在上单调递减，在上单调递增，， 当时，在上的最小值为，因此当时，， 当时，，于是得在上的最小值为和中最小的， ，使得，等价于在上的最小值大于在上的最小值， 因此，当时，，解得， 当时，恒成立，即有， 当时，或，即或，解得， 综上得， 所以的取值范围是. 3．已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）设函数，且，已知对任意的恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）为奇函数，， 即：， 化简得：， 故. （2）， 即： 设，因为， 所以. 化为：， 即. 对任意的恒成立， 即对任意，恒成立. 记，对称轴方程为：， ①当时，， 恒成立， 故. ②当时，， . 得：，又， 故. 综上所述：的取值范围为. 4．已知函数，将的图象向右平移两个单位长度，得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围； （3）若函数与的图象关于直线对称，设，已知对任意的恒成立，求的取值范围． 【解析】 【试题分析】（1）借助平移的知识可直接求得函数解析式；（2）先换元将问题进行等价转化为有且只有一个根，再构造二次函数运用函数方程思想建立不等式组分析求解；（3）先依据题设条件求出函数的解析式，再运用不等式恒成立求出函数的最小值： （1） （2）设,则，原方程可化为 于是只须在上有且仅有一个实根， 法1：设，对称轴t=,则 ①  ，   或     ②    由①得 ，即，   由②得  无解, ，则． 法2：由，得，，， 设，则，，记， 则在上是单调函数，因为故要使题设成立， 只须，即， 从而有   （3）设的图像上一点，点关于的对称点为， 由点Q在的图像上，所以， 于是  即.. 由，化简得，设,即恒成立. 解法1：设，对称轴 则③   或    ④    由③得， 由④得或，即或 综上，. 抽象函数背景下的参数求解 1．设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得， ∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. （2）时，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得， ∴， ∴时，， 又为奇函数， ∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴在上单调递增. （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，解得， 综上，， 而函数在上单调递减， ∴的值域为. 2．设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴，， ∴为奇函数； （2）时，，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，∴，∴时，， 又∵为奇函数，∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，∴，∴， ∴，，∴在上单调递增； （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立， 即对恒成立， 设，，即对成立 当时，符合题意； 当时，，解得：. 综上可知：的取值范围是. 3．函数是定义在上的函数，对，都有 (1)求证：是奇函数； (2)若时，，求证：函数在上单调递增； (3)在条件（2）下，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）定义域为R ，关于原点对称， 令，则，整理得； 令，则，整理得，所以为奇函数. （2）设，且， 令，，则，整理得， 又时，，所以，即， 所以在R上单调递增. （3）因为为奇函数，所以， 又在R上单调递增，所以，整理得， 当时，，成立； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为. 4．定义在上的函数满足对任意都有． 且时，， （1）求证：为奇函数； （2）试问在上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为（）， 令，得，即 ， 令，得， 又，则有， 对任意成立， 所以是奇函数． （2）设，且，则，从而， 又， ∴，即， ∴函数为R上的增函数， ∴当时，必为增函数． 又由，得， ∴， 又， 故， ∴当时，； 当时，； （3）由（2）知在上是增函数，又由（1）是奇函数． ，等价于， 即对任意成立． 令，问题等价于对任意恒成立． 令， 当即时，在上的递增，，符合题意； 当，即时，对恒成立， 则，解得， 综上，当时，对任意恒成立． 分式型求参：一次与二次函数的结合 1．已知函数和都是定义在上的奇函数，，当时， (1)求和的解析式； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)，都有，求的取值范围. 【解析】（1）因为为上的奇函数，所以，即， 所以 因为当时，， 设，即时，则有 又是定义在上的奇函数，所以，即， 又因为，则 （2）任取，且 由，，，，， ， 函数在上单调递减. （3），都有， 因为是奇函数，即，即， 利用分段函数及二次函数的性质知为上的增函数， 所以，有恒成立 即，有恒成立，即， 令，显然在上单调递减， 所以，所以. 2．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，． (1)求和的解析式，并判断在区间上的单调性（需要证明）； (2)若对，都有，求实数m的取值集合． 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即， 所以，且满足，即； 设，则，即， 又是定义在上的偶函数，则， 所以； 在区间上单调递减. 证明：任取，且， 则 ， 由可得，，，， 所以，即， 所以在区间上单调递减. （2）因为是定义在上的偶函数， 且当时，，其对称轴为， 所以当时，单调递增， 对，都有，即， 由（1）可知，是定义在上的奇函数， 且时，单调递减， 所以， 所以，即或， 当时，即，解得； 当时，即，解得； 综上所述，实数m的取值集合为. 3．已知函数和都是奇函数，，且，当时，，且函数的定义域为. (1)求和的解析式； (2)用定义法判断在区间上的单调性； (3)，都有，求的取值范围． 【解析】（1）因为，，解得，所以，， 因为函数是定义域为的奇函数，则， 当时，， 则当时，，， 则， 因此，. （2）任取、且，即，则，， ， 所以，函数在上为增函数. （3）因为， 则函数在、上均为增函数，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上为增函数，且为奇函数， 由可得， 则，因为，可得， 构造函数，其中， 因为函数、在上均为减函数， 所以，函数在上单调递减，由题意可得， 因此，实数的取值范围是. 4．已知函数，函数为R上的奇函数，且. (1)求的解析式： (2)判断在区间上的单调性，并用定义给予证明： (3)若的定义域为时，求关于x的不等式的解集. 【解析】（1）由题意可知，即，解之得， 则，经检验，符合题意. （2）在区间上单调递增. 设任意，且， 则 由，且，可得 则，即 故在区间上单调递增. （3）不等式可化为 等价于，解之得 故不等式的解集为 5．已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. (3)求满足不等式的实数t的取值范围. 【解析】（1）由奇函数性质得，， 又，∴； （2）函数在区间上单调递增. 证明如下： 设，则， 由得， 故函数在区间上单调递增； （3）由， 由奇函数性质得， 由增函数性质得. 综上，实数t的取值范围为 指数分式型函数中的参数求解 1．已知定义域为的函数，是奇函数. (1)求，的值； (2)判断函数的单调性并用单调性的定义证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）因为定义在上的奇函数，所以， 即，所以 又由可得，所以 经校验：当，时，，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以是定义在上的奇函数； （2）因为，，故猜测是上的增函数， 利用定义证明如下： ，且， 则， 因为，所以，即，又， 所以，即，所以是上的增函数. （3）不等式可化为， 因为是奇函数，所以原不等式等价于， 又因为是上的增函数，所以，即恒成立， 所以方程的，解得 所以的取值范围为. 2．已知奇函数. (1)求的值. (2)利用函数定义证明函数单调递增. (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为是奇函数，所以， 所以，所以； （2）由(1)可知，定义域为， 设，且，则 ， 因为，所以，即， 而，所以，即，所以函数单调递增； （3）因为函数是奇函数且在上单调递增，所以不等式 ，对恒成立， 当时，不等式化简为，符合题意； 当时，，即. 综上，实数的取值范围为. 3．已知定义域为的函数，是奇函数． (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由题意，函数是定义在的奇函数，所以 令，，可得；令，， 所以，解得， 经验证当时，函数为奇函数，所以. （2）因为，由指数函数单调递增，易知函数单调递减， 所以由，可得， 又因为在上单调递减，所以， 即在上恒成立，则，解得， 即实数的取值范围是. 4．已知函数（为常数）是奇函数. (1)求b的值； (2)判断的单调性并证明； (3)对任意，关于t的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【解析】（1）对于，易知其定义域为， 又是奇函数，所以， 于是，所以， 此时，符合题意，所以； （2）在R上为减函数，证明如下： ， 任取，则， 易知，所以， 所以，从而在R上为减函数； （3）因为是奇函数可知， 所以由，得， 又因为是减函数， 所以，即对任意成立． 于是，解得， 即k的取值范围是. 指数函数综合应用中的参数求解 1．已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)如果对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题设，若，∴， 则对称轴为且开口向下，∴上单调递减，即， ∴的值域为； （2）由（1）知：在上恒成立，∴当时，， 即对任意都成立，当，即时， 恒成立， ∴， 当且仅当等号成立，∴仅需，即即可. ∴实数的取值范围. 2．已知函数是奇函数，且． (1)求和的值， (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由题意知是定义在上的奇函数，所以， 解得， 当时，，所以， 所以是奇函数，满足题意． 又，即，解得（舍去）或． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 又，所以，，，所以，即，所以在上单调递增． （3）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令， 令，由（2）可知为增函数，又， 所以，所以，所以， 所以， 解得，即的取值范围是． 3．已知函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)若函数，且对，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由二次函数，则其对称轴为， 由函数在区间上具有单调性，则，即或. （2）由函数在上单调递减，则， 易知二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上的最小值， 由题意可得，则，解得，此时无解； 当时，函数在上的最小值， 由题意可得，则，，解得，此时； 当时，函数在上的最小值， 由题意可得，则，解得，此时； 综上所述，可得. 4．已知指数函数的图象过点，函数 (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围． 【解析】（1）设（且）， 因为指数函数的图象过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递增． 证明如下： 由（1）易知， 因为，且， 所以 ， 因为，所以，，此时， 可得，所以， 即， 则在上单调递增； （3）易知， 所以是偶函数，若，即， 易得， 因为在上单调递增， 所以即可，可得， 解得 故的取值范围为. 5．已知函数. (1)解不等式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，得， 令，则， 解得，即，解得. 故不等式的解集是. （2），不等式恒成立，. 由于，，当且仅当时，等号成立； 由是上的增函数，则当时，， 所以当时，， 故要使不等式恒成立，则. 故实数的取值范围为. 1．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以由恒成立，得，所以. 故选：D. 2．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式，变形为， 当时， 令，则，此时原不等式不成立； 当时，令， 由在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增， 故当时，取得最大值为， 由，解得， 所以. 故选：B. 3．已知函数，，若对任意恒成立，则实数t的取值范围是 . 【答案】 【解析】的定义域为， 且，所以函数为偶函数， 设，则当时，，即，此时单调递增， 则当时，，即，此时单调递减， 所以当时单调递增，当时单调递减， 所以函数的图象关于对称， 且当时单调递增，当时单调递减， 又因为二次函数的图象关于对称， 且当时单调递增，当时单调递减， 所以在时单调递增，在时单调递减， 且的图象关于对称， 因为，所以，即， 所以， 即且恒成立， 由恒成立可得，，解得， 由恒成立可得，，解得， 综上所述，， 故答案为：. 4．已知是定义在上的奇函数，满足，且当，，时，有. (1)判断函数的单调性； (2)解不等式：； (3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）为奇函数，所以，， 则由，得，得， 若，则；若，则. 故函数在上单调递增. （2）由（1）知函数为上的增函数， 则， 解得，故不等式的解集为. （3）因为，所以. 若对所有恒成立， 则成立，且， 所以对恒成立，即对恒成立. 令， 则，即，得. 解得. 故实数的取值范围是. 5．已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)当时，若对任意的，恒成立，求正数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为函数在上为增函数， 由可得，解得， 因此，当时，不等式的解集为. （2）当时，对任意的，，， 若对任意的，， 可得，可得， 所以，，整理可得对任意的恒成立， 令，由题意可得，解得， 又因为，所以，， 因此，正实数的取值范围是. 6．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，即时，原不等式即为恒成立； 当时， 则，解得， 综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 1．给出定义：若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，都有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的凸函数.若是区间上的凸函数，则对任意和任意满足的正实数，都有当且仅当时等号成立，请利用上述定义和性质完成下列问题： (1)证明：函数在上是凸函数； (2)求函数的最大值； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）对任意，， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以函数在上是凸函数. （2）函数在上是凸函数，令，，则由凸函数的性质有 ，其中， 即，当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最大值为. （3）法一：因为函数在上是凸函数，所以对任意都有， 即， 当且仅当时等号成立.因为函数在上是增函数， 所以，当且仅当时等号成立. 当时，函数在上单调递增，所以，符合题意； 当时，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以在上的最小值为， 由题意有，解得， 综上得实数的取值范围为. 法二：因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 由法一可知对任意，都有 当且仅当时等号成立 所以当时， 当且仅当即时等号成立； 所以的最大值为，所以. 2．设函数，且. (1)若，求证：在内存在零点； (2)若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由，即，， ，， 当时，，由零点存在性定理知在上存在零点； 当时，则，是零点，此时存在零点； 综上，在内存在零点. （2）依题意得，且是方程的两根， 由一元二次方程根与系数的关系得，，即， 所以. 依题意，得在时恒成立. 因为，所以只需在时恒成立， 即. 令， 令，则，且在时单调递增， 所以当时，， 所以，即，所以. 所以，的取值范围是. 3．已知定义域为全体实数的函数为偶函数， (1)求实数的值； (2)若，使得恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意知，函数的定义域为，且， 则，即， ，，，， 化简得，即，由，得，解得. （2）由（1）知，则， 令，，则， 因为对勾函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且函数是增函数， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又因为函数是增函数， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，函数有最小值； 因为，使得恒成立，所以， 因此，，恒成立，即在上恒成立； 即在上恒成立，由对数函数的定义域可知在上恒成立，则， 由对数函数的单调性可知，在上恒成立， 即在上恒成立， 设函数，， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为，所以函数在区间上单调递增， 所以，则， 因此，实数的取值范围是. 4．已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数． （2）当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上是增函数． （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 5．已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是上的受限函数，为的限定值. (1)若函数在上是限定值为8的受限函数，求的最大值. (2)若函数，判断是否是受限函数.若是，求出的限定值的最小值；若不是，请说明理由. (3)若函数在上是限定值为11的受限函数，求的取值范围. 【解析】（1）因为，所以. 因为在上是限定值为8的受限函数，所以， 解得，则的最大值为7. （2）由题意可得，解得. 当时，，所以， 所以，即， 所以是上的受限函数，且的限定值满足， 故的限定值的最小值为7. （3）因为在上是限定值为11的受限函数，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以，即的取值范围为. 6．已知函数，函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，求实数x的取值范围. 【解析】（1）， 令，得，在递减，递增， 又为增函数， 所以由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）由，可得： ， ∵，∴， 即的值域为. （3）不等式对任意实数恒成立 ∴. ， 令，∵，∴， 设，， 当时，取得最小值-3，即， ∴，即， ∴，即，解得， ∴实数x的取值范围为. 7．已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增，且为连续函数， 又，， 所以，所以在上存在唯一零点， 即在上存在零点； （2）由（1）可知在上单调递增， 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 所以，即实数的取值范围为. 8．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数是定义在的奇函数，所以. （2）因为当时，， 所以当时，，， 所以. （3）由题，函数是定义域为单调减函数，且为奇函数， 所以由，可得， 即，所以， 所以恒成立， 因为在时有最小值，最小值为， 所以，即， 所以实数的取值范围是. 9．已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a，b的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围. 【解析】（1）因为是R上的奇函数， 所以，即，解得， 从而有， 又由，知，解得， 经检验，当时，，满足题意； （2）由（1）知， 任取，且，则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上为减函数，又因为为上为奇函数， 所以由得， 所以，得恒成立， 所以， 所以， 所以k的取值范围为. 10．已知函数. (1)若，求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，舍去； 当时，，即， 令，则，解得：或（舍）， 所以，可得：. （2）当时，，即， 即. 当时，，所以对于恒成立， 所以， 当，，，所以 故的取值范围是. 1．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（天津卷））设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，， 所以， 所以对任意的，有恒成立， 因为在上单调递增， ，即恒成立， ， 解得， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$