课时2 垂径定理-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（华东师大版）

九年级数学·华师版(下册) *课时2 垂径定理 [答案 基础巩固练 P22] 铜 垂径定理及其推论 ②垂直于弦的直线平分弦;③平分弦的直线必 (山东滚州阳信调研)下列说法正确的是 1 平分弦所对的两条狐;④与直径不垂直的弦不 A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条强 能被该直径平分;平分弦的直径必平分弦所 B.平分弦的直径垂直于弦 对的两条弥. A.1个 C.垂直于直径的弦平分这条直径 B.2个 C.3个 D.弦的垂直平分线经过圆心 D.4个 (广州南海中学期中)如图,AB是⊙0的直径 如图,0的直径CD=10.AB是。0的弦,AV CD为弦,CD1AB于点E.则下列结论中不一定 =BM.0M:0C=3:5.则AB的长为 C ) 成立的是 _ 。 A.2 A.AC-AD B.BC=BD B.6 C. OF=BE D. CE=DE C.8 D./91 7题图 ②垂径定理的实际应用 [传线文化](广州期中)《九章算术》是我国古 2题图 3题图 如图,弦CD垂直于⊙0的直径AB,垂足为HI.且 代数学经典著作,其中《方田》章给出计算亚田 CD=2/2.BD=/3,则AB的长为。 如图,AB是0的直径,CD为。0的一条弦 矢).张田(如图所示)由圆孤和其所对弦围成, CD1AB于点E. 已知CD=4.AE=1,则⊙0的 公式中的“弦”指圆狐所对的弦AB,“矢”指半径 半径为 长与圆心0到弦AB的距离(d)之差,若“弦”为 24.d为5.根据上述经验公式计算,该孤田的面 积为 ( A.80 B.100 C.104 D. 128 4题图 5题图 (山东青岛西模拟)如图,点P是y轴正半轴 上一点,以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于 点A、B、C、D.已知点A的坐标为(-3.0),点C 0 8题图 的坐标为(0.-1),则点D的坐标为 9题图 知 (自贡中考)一块圆形玻璃镜面碎成了几块,其 垂径定理的推论 中一块如图所示,测得弦AB长20厘来,弓形高 下列命题正确的有 CD为2厘米,则镜面半径为 厘米. ①平分弦所对的两条张的直线必垂直于弦; 32 见此图标限抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 第27章 圆 [答案 能力提升练 P23] (滨州中考)在⊙0中,直径AB=15,弦DE1AB (浙江杭州下城区月考)如图,有一座圆孤形拱 于点C.若0C:0B=3:5.则DE的长为( 一 桥,它的跨度AB为30m,拱高PM为9m.当洪 A.6 B.9 C.12 D.15 水泛滥到跨度只有15m时,就要采取紧急措施 (挽州中考)往水平放置的半径为13cm的圆柱 若某次洪水中,拱顶离水面只有2m.即PV= 形容器内装入一些水以后,截面图如图所示,若 2m时,试求: 水面宽度AB=24cm,则水的最大深度为( (1)拱桥所在的圆的半径; A.5cm B.8cm C. 10cm D.12cm (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施 6题图 2题图 3题图 如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P.AP =2.BP=6.APC=30*,则CD的长为 ) A. 15 B.2/5 C.2/15 D.8 已知⊙0的半径为13cm.弦AB/CD.AB= 24cm.CD=10cm.则AB.CD之间的距离为 A.17cm B.7cm C. 12em D. 17cm或7cm 如图.AB1CD.若AH=4.BH=6.CH=3.DH= 8.求⊙0的半径 ②题型变式 讲本P17 答案P24 5题图 (题型2变式)如图,A、B、C是圆上的三点,AC= BC.AB=40cm.若点C到AB的距离是10cm,则 该圆的半径为 cm. 1题图 2题图 (题型3变式)如图,一个圆杜形输水管的横截 面,阴影部分为有水部分,如果水面AB的宽为 8cm.水最深地方的深度为2cm,则该输水管的 半径为 cm. 见此图标照抖音/微信扫码须取配套诏漏 稳步提升成结 33九年级数学·华师版（下册） (2)解：0M1ABAM=之B=6 0A,∴.∠AEC=90°，÷.∠ACE=90°-60°=30% 设OM=x(x>0),则0A=ON=x+3. 在Rt△AOM中， 由勾股定理，得62+x2=(x+3)2, 解得x=4.5, 5题答图 .0M=4.5. 6.证明：在⊙O中，AB=CD..AB=CD. 【能力控升练】 1.C[解析]∠AOE=60°，∠B0E=180° AB-AC=CD-AC,即A0=BC 7.证明：OA=OB,AD=BE,∴OD=OE. ∠A0E=120°，：点C、D是BE的三等分点， 在△OCD和△OCE中， LB00=号x120=80 OD =OE. 2.C[解析]由题意可知，题图是以CD为对称轴的 CD =CE, 轴对称图形，故A、B、D均正确，C正确与否不确定， 0C=0C, 只有当点E是AC的中点时才能确定AE=EC ∴.△0CD≌△OCE(S.S.S.). ∴.∠COD=∠COE. 3.C[解析]如答图，连结OF,DE⊥AB,AB为⊙O 的直径，DE=EF,AD=AF,:D为AC的中点， AC=BC,即C为AB的中点. 题型变式 .AD=DCAC=fAC=DF⊙0的直径为 1.40[解析]如答图，连结0B、0C 150F=01=空：A证=30E=01-A=是 0A=OB,OC=0D,∴.∠OBA= 在Rt△OEF中，由勾股定理，得EF=√OF-OE ∠A=65°，∠0CD=∠D=60°， ∠A0B=180°-2×65°=50° √(-(=6DE=F=6Ac=F= ∠C0D=180°-2×60°=60°， 1题答图 DE+EF=6+6=12 .∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠COD=150°-50°- 60°=40°，即BC所对的圆心角的度数为40. ◆课时2垂径定理 1.D[解析]A选项，垂直于弦的直径平分弦所对的 两条孤，所以A选项错误；B选项，平分弦（不是直 3题答图 4题答图 径)的直径垂直于弦；所以B选项错误；C选项，垂 4.120°[解析]如答图，连结OC、OD,BC=CD= 直于直径的孩被这条直径平分，所以C选项错误：D DA,∴.∠COB=∠COD=∠D0A.∠COB+∠COD 选项，弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确， +∠D0A=180°，∠C0B=∠C0D=∠D0A=60°， 故选D. :△BC0和△OCD都是等边三角形，∠BCD=2.C[解析]~AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB 60°×2=120°. 于点E,.AC=AD,BC=BD,CE=DE,但无法得出 5.30°[解析]如答图，连结OC,AB是直径，AC= OE=BE,故选项A、B、D成立，选项C不一定成立 CD=BD.∠A0C=∠C0D=∠D0B=60°.：0A= 3.348 OC,△A0C是等边三角形，.LA=60°，CE上5.(0,9)[解析]连结AP.?点A的坐标为 ·22· 参考答案及解析 (-3,0),点C的坐标为(0.-1)，.0A=3,0C=【能力提升练】 1.设⊙P的半径为x,则OP=PC-OC=x-1.在 1.C Rt△A0P中，0A+0P2=AP,即3+(x-1)2=x2,2.B[解析]如答图，连结0B,过点0作0C⊥AB于 解得x=5,PD=5,OP=x-1=4,∴0D=0P+ PD=9.点D的坐标为(0,9).故答案为(0,9). 点D,交⊙0于点C,AB=24em,BD=2AB= 6.A[解析]一条直线如果具备经过圆心、垂直于 12cm.:OB=OC=13cm,.在Rt△OBD中，OD= 弦、平分弦（不是直径）、平分孩所对的优孤、平分我 OB-BD=√/132-12=5(cm),.CD=0C-0D 所对的劣孤这五条中的任意两条，必然具备其余三 =13-5=8(cm),即水的最大深度为8cm.故选B. 条.①该直线满足平分孩所对的优孤、平分弦所对 的劣孤两个条件，所以①正确：②只满足其中的一 P 个条件，所以不正确：③不满足条件，所以不正确： ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直 -24 径，所以不正确. 2题答图 3题容图 7.C[解析]如答图，连结OA. 3.C[解析]作OH⊥CD于点H,连结OC.如答图. CD为直径，AB为弦，AM= .OH LCD,..HC =HD..AP =2,BP=6,..AB =8, BM.:∴，AB⊥CD.CD=10.∴.OA O M .OA=4,OP=OA-AP=2.在R△OPH中， =0C=5,又0M:0C=3:5, ,OM=3.在Rt△4OM中，AM= 7题答图 ∠0PH=∠APc=30,0H=20p=1.在 √OA-0M=√5-3=4，.AB=2AM=8. R△OHC中.OC=4,OH=1,∴.CH= 8.D[解析]如答图，过点O作OC⊥AB于点C.由题 0C-0m=15,.CD=2CH=215,故选C 毫可知MB=24,0C=5,AC=BC=24B=12.在 4.D[解析]①当弦AB和CD在国心同侧时，如答图 ①，连结OA、OC,作OF⊥CD于点F,交AB于点E. Rt△AOC中，由勾股定理，得OA=√AC+OC AB∥CD,.OF⊥AB.AB=24cm,CD=10cm. 12+5=13,关=13-5=8，，该孤田的面积 .AE 12em,CF =5 em..OA OC 13 cm,.'.OE 为7×(24×8+8)=128 =5cm,0F=12cm..EF=12-5=7(cm).②当弦 AB和CD在圆心异侧时，如答图②，连结OA、OC.作 OF⊥CD于点F,延长FO交AB于点E.AB∥CD. .'OE L AB..AB 24 cm,CD 10 cm..'AE 12 em,CF=5 cm..OA =OC 13 cm,.'.EO =5 cm, OF=12cm,∴.EF=OF+OE=17cm.∴.AB与CD 0 0 之间的距离为7cm或17cm.故选D 8题答图 9题答图 9.26[解析]如答图，点0是国形玻璃镜面的圈心， 连结OC、OA,则，点O、C、D三点共线.由题意，得OC 上4BAC=24B=10厘来设镜西丰径为x厘 D 米，在Rt△AOC中，利用勾股定理，得AO=AC+ 4题答图① 4题答图② 0C,即x2=10+(x-2)2,∴x=26,∴镜面半径为 5.解：如答图，过点0分别作OM⊥AB于点M,ON⊥ 26厘米. CD于点N,得矩形MHNO,连结BO. ·23· 九年级数学·华师版（下册） 根据垂径定理，得M为AB的中点，N为CD的中点， CM⊥AB,所以CM=10cm.由垂径定理可得AM= .MO-NH-CN-CH-7CD-CH-(CH+HD) 4B=20cm,设丰径01的长为xcm,由勾股定 -GH=3×(8+3)-3=3,MB=34B 理，得x2=(x-10)2+202,解得x=25.即该圆的半 径为25cm. 2(4+B)=3×(4+6)=5 六在R△B0M中，B0=mo+MB_5 2 B 1题答图 2.5[解析]如答图，过点O作OD⊥AB于，点D,连结 04.DB AD=AB=4 em.04 =rm, 5题答图 易知OD=(r-2)cm.在Rt△AOD中，OA2=0D+ 6.解：(1)如答图，设圆弧所在圆的圆心为0，连结 AD,即2=(r-2)2+4,解得r=5.故该输水管的半径 OA、OA',设半径为xm, 为5cm 则OA=OA'=OP=xm, 由垂径定理可知AM=BM,A'N=B'N, AB=30m..AM=AB=15 m D 连结OM,AM=BM. ∴OM⊥AB,且点0、M、P共线. 2题答图 在Rt△AOM中，OM=OP-PM=(x-9)m, 3.圆周角 由勾股定理可得AO2=OM2+AM, 【基础巩圆练】 即x2=(x-9)2+152,解得x=17, 1.D2.B 即拱桥所在的圆的半径为17m. 3.5【解析]因为AB是⊙0的直径，所以∠ACB= (2)0p=17m, ∴.0N=0P-PN=17-2=15(m). 90.因为LA=30°，AB=10,所以BC=24B=5. 在Rt△A'ON中，由勾股定理可得， 4.解：如答图，连结AE, A'N=√0A-0N=17-15=8(m), :AB为⊙0的直径，.∠AEB=90°，∴，AE⊥BC ,'B=2A'N=16m>15m 点E是BC的中点，∴BE=CE. ,不需要采取紧急措施 易得AB=AC,∴∠B=∠C, A· LC=2(180°-LCMB) M =3x(180-509)=65 6题答图 题型变式 1.25[解析]如答图，设该圆的圆心为0，连结0A、 OC,OC与AB交于点M,AC=BC,得OC1AB,即 4题答图 ·24·