精品解析：上海市普陀区2024--2025学年八年级上学期12月考 数学试卷

2024学年第一学期八年级数学学科第二次集中性测试试卷 （考试时间：90分钟满分：100分） 一、单项选择题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么在下列各数中，k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴当的值为3时，满足题意， 故选：D． 2. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 C. 两个全等三角形的对应角相等 D. 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】没有逆定理就是逆命题不正确的选项，逐一写出各选项的逆命题，判定即可． 【详解】A选项，逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，； B选项，逆命题是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确； C选项，逆命题是对应角相等的两个三角形全等，错误； D选项，逆命题是到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，正确； 故答案为C. 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解这些命题的逆命题，然后判断其真假． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则 B. 在中，，则 C. 在中，，则 D. 在中，，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角的直角三角形的性质及其逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，逆定理为：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边为斜边的一半，那么这个锐角为．据此分析即可． 【详解】解：A、不是斜边，故不能用角的直角三角形的逆定理判断，故不符合题意； B、不知哪个角为直角，故错误，不符合题意； C、在中，，则，符合角的直角三角形的逆定理，符合题意； D、应为，故错误，不符合题意， 故选：C． 4. 以下说法正确的个数有（ ） ①反比例函数中，当时，y随x增大而减小； ②直线是常值函数且不存在自变量； ③正比例函数的图像是一条过原点的直线，该直线绕原点旋转一个角度之后得到的图像还是某个正比例函数的图像； ④点P到x轴距离为4，到y轴距离为3，且落在第四象限，则经过P的正比例函数的解析式为 A. 0个 B. 1 C. 2个 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】①根据反比例函数的性质即可判断；②根据常值函数的定义判断；③当旋转至与y轴或x轴重合，就不是正比例函数的图像，即可判断；④先求出，再利用待定系数法求解解析式即可． 【详解】解：①错误，应为，反比例函数中，当时，在每一象限内y随x的增大而减小，故不符合题意； ②错误，应为，直线是常值函数且存在自变量，自变量由所讨论的问题决定，故不符合题意； ③错误，当旋转至与y轴或x轴重合，就不是正比例函数的图像，故不符合题意； ④错误，∵点P到x轴距离为4，到y轴距离为3，且落在第四象限， ∴， 设经过点的正比例函数为：， 代入得：， 解得：， ∴经过P的正比例函数的解析式为， 故不符合题意， 因此正确的个数有0个， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，以及待定系数法求正比例函数解析式，点到坐标轴的距离等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 5. 如果三角形二条边的中垂线的交点在第三条边上，那么，这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答． 【详解】如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上， 连接CO， ∵OD是AC的垂直平分线， ∴OC=OA，∠A=∠ACO， 同理OC=OB，∠B=∠BCO， ∵∠A+∠ACO+∠B+∠BCO=180， ∴∠ACO +∠BCO=180=90， ∴∠C是直角． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6. 如图，在中，，与分别是斜边上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，根据斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，同角的余角相等，进行判断即可． 【详解】解：∵在中，，与分别是斜边上的高与中线， ∴， ∴， ∴，； 故①②③正确， 无法得到，故④错误； 综上分析可得：正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 7. 化简：_________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握是解题的关键，根据进行化简即可． 【详解】解：， 由于， ∴， 故答案为：． 8. 函数的定义域是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了函数的定义域，二次根式和分式有意义的条件．根据二次根式和分式有意义的条件即可求出的范围． 【详解】解：∵要使有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 9. 已知函数，那么____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求函数值，分母有理化，把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 10. 在中，为斜边上的中线，已知，则的周长=____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，两锐角互余以及斜边上中线等于斜边的一半，角的直角三角形性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由直角三角形锐角互余得到，则，再由斜边上中线得到，即可求解周长． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：． 11. 已知反比例函数的图像上有两点，如果时，那么___________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，随的增大而减小， ∵反比例函数的图像上有两点，且， ∴； 故答案为：． 12. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题 _____ 【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，并熟练掌握直角三角形的判定方法． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 13. 如果在中，边固定且上的中线长为，那么顶点的轨迹是_____________． 【答案】以线段的中点为圆心，以长为半径的圆，除去该圆与直线的两个交点 【解析】 【分析】本题考查了圆的运动轨迹，三角形中线，设的中点为D，则，故顶点A的轨迹是以D为圆心，以长为半径的圆，为A，B，C为三角形的三个顶点，所以除去圆与直线的两个交点，从而得出答案． 【详解】解：设的中点为D，则， 故顶点A的轨迹是以D为圆心，以长为半径的圆， 因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以除去圆与直线的两个交点， 故答案为：以线段的中点为圆心，以长为半径的圆，除去该圆与直线的两个交点． 14. 三角形三个角的度数之比为，它的最长边等于20，则最短边长是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的判定与含30度角的直角三角形的性质．根据三角形内角和定理求得三个角的度数，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得答案 【详解】解：三角形三个内角的度数之比为， 设三个内角的度数分别为，，， ， 解得， ， 这个三角形是直角三角形， 最长边等于20，即斜边为20， 最小边即角所对的边，根据角所对的边等于斜边的一半． 最小边为10． 故答案为：10． 15. 已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于_____． 【答案】5． 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB= 【详解】A. B两点间的距离为：AB== =5, 故答案为5, 故答案是：5. 【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式． 16. 如图，在中，，，于，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30 度角的直角三角形的性质，推出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE=_____度． 【答案】20． 【解析】 【分析】连接ED，再加上AD⊥BC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，很容易可以推出△ECD为等腰三角形，根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及外角性质即可求出∠BCE的度数. 【详解】 如图，连接ED， ∵AD⊥BC， ∴△ABD是直角三角形， ∵CE是边AB上的中线， ∴ED= AB=BE， ∴∠EDB=∠B=40°， 又∵CD=BE， ∴ED= CD， ∴∠DEC=∠DCE， ∵∠EDB是△DEC的外角， ∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE=40° ∴∠DCE=∠EDB=20°， ∵∠DCE即∠BCE， ∴∠BCE=20°. 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 18. 已知，在△ABC中，AB=，∠C=22.5°，将△ABC翻折使得点A与点C重合，折痕与边BC交于点D，如DC=2，那么BD的长为_____． 【答案】+1或﹣1． 【解析】 【分析】过A作AF⊥BC于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到BD的长． 【详解】分两种情况： ①当∠B为锐角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F， 由折叠可得，折痕DE垂直平分AC， ∴AD=CD=2， ∴∠ADB=2∠C=45°， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴AF=DF= ， 又∵AB=， ∴Rt△ABF中，BF= =1， ∴BD=BF+DF=1+； ②当∠ABC为钝角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F， 同理可得，△ADF是等腰直角三角形， ∴AF=DF=， 又∵AB= ， ∴Rt△ABF中，BF==1， ∴BD=DF﹣BF=﹣1； 故答案为 +1或﹣1． 【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行 求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等． 三、简答题（本大题共有4题，每小题6分，满分24分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘法，分母有理化的运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 20. 用配方法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的方法步骤求解即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 系数化1得， 配方得， 因式分解得， 即， ，． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程的方法步骤，熟练掌握配方法解一元二次方程是解决问题的关键． 21. 某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示． （1）哪位选手先到终点？__________（填“甲”或“乙”）； （2）甲选手跑到8千米时，用了__________小时．起跑__________小时后，甲乙两人相遇； （3）乙选手在的时段内，与之间的函数关系式是__________； （4）甲选手经过1.5小时后，距离起点有__________千米． 【答案】（1）乙 （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． （1）观察图象直接得出答案； （2）观察图象直接得出答案； （3）求出乙的速度，即可得出与之间的函数关系式； （4）由图象可得在时，甲用小时跑了千米，由此即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图象可得：乙选手先到达终点， 故答案为：乙； 【小问2详解】 解：由图象可得：甲选手跑到8千米时，用了小时，起跑小时后，甲乙两人相遇， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：（千米/小时）， 乙选手在的时段内，与之间的函数关系式是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由图象可得，甲小时距离起点千米，小时距离起点千米， （小时）， 在时，甲用小时跑了千米， ， 甲选手经过1.5小时后，距离起点有（千米）， 故答案为：． 22. 已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，，当时，，求y关于x的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式．根据正比例与反比例的定义设出函数关系式，再根据待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设，， ， 当时，；当时，， ， ， 故关于的函数解析式为． 四、解答题（本大题共3小题，第23、24题每小题8分，第25题12分，满分28分） 23. 如图，在中，三边上的高相交于点M，P为的中点，Q为的中点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边上中线等于斜边的一半，线段垂直平分线的判定，正确添加辅助线是解题的关键． 可得均为直角三角形，继而由斜边上的中线性质得到，则点在的垂直平分线上，继而可求证． 【详解】证明：连接， ∵三边上的高相交于点M， ∴均为直角三角形， ∵P为的中点，Q为的中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系内，函数的图像与反比例函数图像有公共点A，点A的坐标为轴，垂足为点B． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C是第一象限内直线上一点，过点C作直线，与反比例函数的图像交于点D，，求点D的坐标和的面积． 【答案】（1） （2）或，的面积为6 【解析】 【分析】本题考查了反比函数与正比例函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，解分式方程，三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）把的坐标为代入，求得，再利用待定系数法即可求解反比例函数的解析式； （2）设点坐标为，则点坐标为，当点在点上方时,可得，根据题意可得，解得，从而求得的坐标，再由即可求解面积，同理当点在点下方时，点坐标和的面积． 【小问1详解】 解：点在函数的图像上，点的坐标为， ∴， 点坐标为． 点在反比例函数的图像上， ，解得． 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，当点在点上方时， 轴，点坐标， ． 点为第一象限内直线上一点， 设点坐标为， 又，且点在反比例函数的图像上， 设点坐标为． 可得． ， ， 解得或， 经检验，或都是方程的解， ， ． 点的坐标为，， ∴， ∴； 当点在点下方时，如图： 设点坐标为， 又，且点在反比例函数的图像上， 设点坐标为． 可得． ， ， 解得或， 经检验，或都是方程的解， ， ． 点的坐标为，， ∴， ∴ ， 综上所述，点的坐标为或，的面积为6． 25. 如图，已知，将一个直角的顶点置于点，并将它绕着点旋转，两条直角边分别交射线于点，交的延长线于点，联结交于点，设. （1）当时，求的长； （2）若，求关于的函数关系式及定义域； （3）旋转过程中，若，求此时的长. 【答案】（1）；（2）y=x+4（0≤x≤）；（3）. 【解析】 【分析】（1）首先证明，∠CBE=90°，∠BCE=30°，根据tan30°=，即可解决问题． （2）如图2中，作DM⊥BC于M．只要证明△DCM∽△CEB，得，由此即可解决问题． （3）先证明∠EDA=∠EDC，由EA⊥DA，EC⊥DC，推出EA=EC=x+3，在Rt△BCE中，根据EC2=BE2+BC2，列出方程即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， ∵∠DCE=90°，∠DCF=60°， ∴∠BCE=30°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBE=90°， ∴tan30°=， ∴ ∴BE=． （2）如图2中，作DM⊥BC于M． ∵AG∥BC，AB⊥BC， ∴AG⊥AB， ∴∠A=∠ABM=∠DMB=90°， ∴四边形ABMD是矩形， ∴BM=AD=y，AB=DM=3，CM=4-y， ∵∠DCM+∠CDM=90°，∠DCM+∠BCE=90°， ∴∠CDM=∠BCE，∵∠DMC=∠CBE， ∴△DCM∽△CEB， ∴ ∴， ∴y=x+4 由题意可得 ，即 解得：0≤x≤ ∴y=x+4（0≤x≤） （3）如图3中， ∵CD=CF， ∴∠CDF=∠CFD， ∵AG∥BC， ∴∠CFD=∠ADF， ∴∠EDA=∠EDC， ∵EA⊥DA，EC⊥DC， ∴EA=EC=x+3， 在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2， ∴（x+3）2=x2+42， ∴x=， ∴BE=． 【点睛】本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级数学学科第二次集中性测试试卷 （考试时间：90分钟满分：100分） 一、单项选择题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么在下列各数中，k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A 两直线平行，同旁内角互补 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 C. 两个全等三角形的对应角相等 D. 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 3. 下列命题正确的是（ ） A. 中，，则 B. 在中，，则 C. 在中，，则 D. 在中，，则 4. 以下说法正确的个数有（ ） ①反比例函数中，当时，y随x的增大而减小； ②直线是常值函数且不存在自变量； ③正比例函数的图像是一条过原点的直线，该直线绕原点旋转一个角度之后得到的图像还是某个正比例函数的图像； ④点P到x轴距离为4，到y轴距离为3，且落在第四象限，则经过P的正比例函数的解析式为 A. 0个 B. 1 C. 2个 D. 3 5. 如果三角形二条边中垂线的交点在第三条边上，那么，这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 6. 如图，在中，，与分别是斜边上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ） ①；②；③；④ A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 7. 化简：_________________________． 8. 函数的定义域是__________________． 9. 已知函数，那么____________________． 10. 在中，为斜边上的中线，已知，则的周长=____________________． 11. 已知反比例函数的图像上有两点，如果时，那么___________．（填“”或“”） 12. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题 _____ 13. 如果在中，边固定且上的中线长为，那么顶点的轨迹是_____________． 14. 三角形三个角的度数之比为，它的最长边等于20，则最短边长是___________． 15. 已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于_____． 16. 如图，在中，，，于，则___________． 17. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE=_____度． 18. 已知，在△ABC中，AB=，∠C=22.5°，将△ABC翻折使得点A与点C重合，折痕与边BC交于点D，如DC=2，那么BD的长为_____． 三、简答题（本大题共有4题，每小题6分，满分24分） 19. 计算：． 20. 用配方法解方程： 21. 某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示． （1）哪位选手先到终点？__________（填“甲”或“乙”）； （2）甲选手跑到8千米时，用了__________小时．起跑__________小时后，甲乙两人相遇； （3）乙选手在的时段内，与之间的函数关系式是__________； （4）甲选手经过1.5小时后，距离起点有__________千米． 22. 已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，，当时，，求y关于x的函数解析式． 四、解答题（本大题共3小题，第23、24题每小题8分，第25题12分，满分28分） 23. 如图，在中，三边上的高相交于点M，P为的中点，Q为的中点，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系内，函数的图像与反比例函数图像有公共点A，点A的坐标为轴，垂足为点B． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C是第一象限内直线上一点，过点C作直线，与反比例函数图像交于点D，，求点D的坐标和的面积． 25. 如图，已知，将一个直角的顶点置于点，并将它绕着点旋转，两条直角边分别交射线于点，交的延长线于点，联结交于点，设. （1）当时，求的长； （2）若，求关于的函数关系式及定义域； （3）旋转过程中，若，求此时的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $