精品解析：山西省大同市第一中学校2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

2024—2025学年第一学期九年级学业水平质量监测 数学 （监测内容：第二十四章24.4至第二十七章27.2．2） 注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 足球比赛常依据（视频助理裁判技术）判定球是否出界，以得到更加公正的比赛判罚．如图，把足球与场地边界线看作圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 分离 2. 我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 刘徽割圆术 D. 中国七巧板 3. 山西，因居太行山之西而得名，简称“晋”．如图，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 相似 D. 旋转 4. 下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 手可摘星辰 C. 锄禾日当午 D. 大漠孤烟直 5. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 6. 如图，点在双曲线上，轴于点，且的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，C为上一点，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C D. 10. 如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则c的值是______． 12. 忻州市忻府区地处山西省北部，昼夜温差较大，四季分明，全年降水集中，这种气候条件非常适合玉露香梨的生长．某研究院跟踪调查了某批玉露香梨树苗的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批玉露香梨树苗移栽成活的概率约为______．（结果精确到0.1） 13. 如图，将绕点顺时针旋转得到，交于点．若，则的度数为______． 14. 山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图是一块扇面形的山西砖雕作品，它的部分设计图如图所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角．若，，则阴影部分的面积为______．（结果用含的代数式表示） 15. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为______________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）已知二次函数，当x取何值时，函数有最大（小）值，最大（小）值是多少？ 17. 已知，如图，中，，，D为边上一点，．求证：． 18. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有A，B两张卡片，乙口袋中装有C，D，E三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出1张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率．（注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化；生成其他物质的变化叫做化学变化） 19. 如图，一次函数的图像经过点，交反比例函数的图像于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点在反比例函数的图像上，若，直接写出点的横坐标的取值范围． 20. 阅读与思考 下面是小丽同学的数学笔记（部分），仔细阅读并完成相应的任务． 不规则图形中弧长解题思路 问题：如图①，正三角形的边长为2，D，E，F分别为，，的中点，以A，B，C三点为圆心，1为半径作圆，求图中阴影部分的周长． 解题思路：阴影部分周长为以A，B，C三点为圆心，1为半径的扇形的弧长和，将3段弧长拼成一个半径为1的半圆的弧长，求出半圆的弧长即为阴影部分的周长． 任务 （1）方框内问题的解决用到的数学思想方法是______；（从下列选项中选一个） A．分类讨论 B．数形结合 C．整体 D．从特殊到一般 （2）求解方框内提出的问题； （3）如图②，已知的半径为5，，是的弦，且，，直接写出与的长度之和为______． 21. 项目式学习 项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 项目背景：学习完反比例函数后，某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量． 项目素材： 素材一：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁段滑动（点不与点，重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量右盘物体量（不计托盘与横梁的质量）． 素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡． 问题解决： （1）设右侧托盘中放置物体的质量为，OP的长为．请直接写出关于的函数解析式为______，的取值范围为______； （2）求这个空矿泉水瓶的质量． 22. 阅读理解题：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线一个结论．如图1，已知是的角平分线，可得：，小亮的证明过程（部分）如下： 证明：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． ∴． ∴． …… （1）请按照上面小亮的证明思路．写出该证明的剩余部分； （2）如图2，在中，是的角平分线，已知，则的值为______． （3）如图3，在矩形中，点是上一点，已知，连接，平分与交于点，则的长为______． 23. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件可看成是反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标． 如图2，反比例函数（）的图像与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数（）的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期九年级学业水平质量监测 数学 （监测内容：第二十四章24.4至第二十七章27.2．2） 注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 足球比赛常依据（视频助理裁判技术）判定球是否出界，以得到更加公正的比赛判罚．如图，把足球与场地边界线看作圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 分离 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，通过观察发现，足球所代表的圆与直线没有公共点，可知图中的圆与直线相离，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵足球所代表的圆与直线没有公共点， ∴图中的圆与直线相离， 故选：C． 2. 我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 刘徽割圆术 D. 中国七巧板 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的辨别，根据中心对称图形的定义：将图形沿一个点旋转得到新图形，如果新图形与原图形重合，那么该图形叫中心对称图形．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形，故不合题意； B、它是中心对称图形，故符合题意； C、它不是中心对称图形，故不合题意； D、它不是中心对称图形，故不合题意． 故选：B 3. 山西，因居太行山之西而得名，简称“晋”．如图，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 相似 D. 旋转 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键． 根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故选：C． 4. 下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 手可摘星辰 C. 锄禾日当午 D. 大漠孤烟直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件，随机事件，不可能事件的概念．根据各诗句的意义，分析其发生的可能性，一定发生的是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【详解】A.黄河入海流，这是必然事件； B.手可摘星辰，这是不可能事件； C.锄禾日当午，这是随机事件； D.大漠孤烟直 ，这是随机事件． 故选：A． 5. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式即可解答． 【详解】解：令，则， ∴二次函数的图象与x轴的交点个数是2个， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程的判别式，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程的解的问题． 6. 如图，点在双曲线上，轴于点，且的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数点的性质，解题的关键是掌握反比例函数的几何意义．根据反比例函数中的几何意义得到，再结合图像即可求解． 【详解】解：轴于点，且的面积为， ， 解得：， ， ， 故选：A． 7. 象棋是起源于中国一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查随机事件概率的求法，让“黑马”的总个数2除以棋子的总个数32即为所求的概率． 【详解】解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”； 故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是． 故选：C． 8. 如图，为的直径，C为上一点，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ， ， ， ∵平分， ， 故选：D． 9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意， 当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．设矩形与矩形相似时，运动时间为，分矩形矩形和矩形矩形两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设矩形与矩形相似时，运动时间为， 当矩形矩形时，， ∴ 解得， 当矩形矩形时， ∴， 解得：． 故选：． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则c的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查方程的解，把代入方程即可求c． 【详解】解：由题意得： 把代入方程得， ， 解得：． 故答案为：2． 12. 忻州市忻府区地处山西省北部，昼夜温差较大，四季分明，全年降水集中，这种气候条件非常适合玉露香梨的生长．某研究院跟踪调查了某批玉露香梨树苗的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批玉露香梨树苗移栽成活的概率约为______．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，深刻理解频率与概率的内在联系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率． 由图可知，这批玉露香梨树苗成活的频率在0.9上下波动，由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等，据此即可得出答案． 【详解】解：∵这批玉露香梨树苗成活的频率稳定在0.9， 其成活的概率估计值约为0.9， 故答案为：0.9． 13. 如图，将绕点顺时针旋转得到，交于点．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，，由余角的性质可求的度数，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， 故答案为：． 14. 山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图是一块扇面形的山西砖雕作品，它的部分设计图如图所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角．若，，则阴影部分的面积为______．（结果用含的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解答本题关键． 利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为______________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键． 过A作轴于C，过B作轴于D，，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）已知二次函数，当x取何值时，函数有最大（小）值，最大（小）值是多少？ 【答案】（1）， （2）当时，该函数有最大值，最大值为3 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解一元二次方程，即可作答． （2）把原式化为顶点式，再结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 即，． 【小问2详解】 解：依题意，． ∵， ∴开口向下，当时，该函数有最大值，最大值为3． 17. 已知，如图，中，，，D为边上一点，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据，，可得，再结合，根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：，，， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 18. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有A，B两张卡片，乙口袋中装有C，D，E三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出1张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率．（注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化；生成其他物质的变化叫做化学变化） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了跨学科综合，涉及物理化学变化，列表法或树状图法求事件的概率．直接利用表格列举，根据概率公式可得用物理变化的张数除以总张数即可． 【详解】解：列表如下： 乙 甲 C D E A A，C A，D A，E B B，C B，D B，E 其中衣服晾干和冰化成水是物理变化，其余的是化学变化， 由表格知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中抽出的两张卡片均是物理变化的结果有1种，为A，C，所以P（抽出的两张卡片均是物理变化）． 19. 如图，一次函数的图像经过点，交反比例函数的图像于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点在反比例函数的图像上，若，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式等知识，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）将点代入一次函数，求得的值，即可确定一次函数解析式；将点代入一次函数解析式，进而确定点坐标，再将其代入反比例函数，求得的值，即可确定反比例函数的解析式； （2）利用三角形面积公式求得，，结合题意可得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数， 可得，解得， ∴一次函数解析式为； 将点代入一次函数， 可得，解得，即， 将代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 如下图， ∵点，点， ∴， ∴，， 由题意得， ∴， ∴， ∴点的横坐标的取值范围为． 20. 阅读与思考 下面是小丽同学的数学笔记（部分），仔细阅读并完成相应的任务． 不规则图形中弧长的解题思路 问题：如图①，正三角形的边长为2，D，E，F分别为，，的中点，以A，B，C三点为圆心，1为半径作圆，求图中阴影部分的周长． 解题思路：阴影部分的周长为以A，B，C三点为圆心，1为半径的扇形的弧长和，将3段弧长拼成一个半径为1的半圆的弧长，求出半圆的弧长即为阴影部分的周长． 任务 （1）方框内问题的解决用到的数学思想方法是______；（从下列选项中选一个） A．分类讨论 B．数形结合 C．整体 D．从特殊到一般 （2）求解方框内提出的问题； （3）如图②，已知的半径为5，，是的弦，且，，直接写出与的长度之和为______． 【答案】（1）C （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式、圆周角定理、弦与弧的关系、等边三角形的性质等知识，熟练掌握弧长公式和整体思想是解题关键． （1）方框内问题的解决是将三段弧拼成一个整体，利用到的是整体思想，由此即可得； （2）根据解决思路，半径为1的半圆的弧长即为阴影部分的周长，由此即可得； （3）作直径，连接，根据圆周角定理可得，利用勾股定理可得，从而可得，根据整体思想可得与的长度之和为的长度，即为半圆的弧长，由此即可得． 【小问1详解】 解：方框内问题的解决用到的数学思想方法是整体， 故选：C． 小问2详解】 解：∵正三角形的边长为2，分别为，，的中点， ∴，三个圆的半径都是1， ∴可以将3段弧长拼成一个半径为1的半圆的弧长， ∴阴影部分的周长为． 【小问3详解】 解：如图，作直径，连接， ∵的半径为5， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的长度之和为的长度，即为半圆的弧长， 故答案为：． 21. 项目式学习 项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 项目背景：学习完反比例函数后，某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量． 项目素材： 素材一：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁段滑动（点不与点，重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量右盘物体量（不计托盘与横梁的质量）． 素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡． 问题解决： （1）设右侧托盘中放置物体的质量为，OP的长为．请直接写出关于的函数解析式为______，的取值范围为______； （2）求这个空矿泉水瓶的质量． 【答案】（1）； （2）这个空矿泉水瓶的质量为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键． （1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得与的关系式，取值范围是； （2）设空瓶的质量为，向空瓶中加入的水，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程，求解即可得到空瓶的质量． 【小问1详解】 解：由题意可知，即，的取值范围是，即， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设这个空矿泉水瓶的质量为， 根据题意，得， 解得， 所以这个空矿泉水瓶的质量为． 22. 阅读理解题：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可得：，小亮的证明过程（部分）如下： 证明：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． ∴． ∴． …… （1）请按照上面小亮的证明思路．写出该证明的剩余部分； （2）如图2，在中，是的角平分线，已知，则的值为______． （3）如图3，在矩形中，点是上一点，已知，连接，平分与交于点，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，接着上述思路，再证明，即可得到结论； （2）是的角平分线，由（1）可得，由得到，即可得到答案； （3）延长交的延长线于点，先证明，则，求得，得，在中，由勾股定理可得，再根据（1）的结论进一步即可得到答案． 【小问1详解】 证明：过点作，交延长线于点， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． ∴， 在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标． 如图2，反比例函数（）的图像与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数（）的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）与函数 图像没有交点；（3） 【解析】 【分析】(1)根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． (2)仿照(1)，根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． (3)仿照(2)，根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或 ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形；理由如下： 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图像无交点； 的图像，如图中所示： ∵与函数图像没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图像没有交点； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图像有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个解， ∴， 解得：，（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图像的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$