精品解析：安徽省六安市第九中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年秋学期九年级第三次综合素质评价数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（共10题，每题4分，总分40分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 2. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的基本性质可得，即可求解， 本题考查了比例的基本性质，解题的关键是：熟练掌握比例的基本性质． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3. 如图，将绕点O逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出即可求解． 本题考查了旋转的性质，找到旋转角是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 抛物线y=-2x2-1的对称轴是（ ） A. 直线x=1 B. 直线x=-1 C. x轴 D. y轴 【答案】D 【解析】 【分析】由于，图象开口向下；由于，对称轴． 【详解】解：因为，所以开口向下； 根据对称轴公式，可得对称轴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的对称轴是直线． 5. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，结合题意再根据直角三角形中余弦的定义得，代值计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 6. 如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，，与相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，相似三角形的知识，根据平行四边形的性质，得到，则，根据，得到，根据，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，的中线，交于点G，且的面积为12，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了三角形的中线，三角形的重心等知识点，解题的关键是掌握三角形的重心． 根据题意得出点G是的重心，即可得出，，再根据三角形中线平分三角形的面积即可判断D，A选项不能证明，C选项需证明，才能得出，即，即需要证明，但题目不能证明，C选项不能证明． 【详解】解：∵，是的中线，点G是的中线的交点， ∴点G是的重心， ∴，，故B正确； ∵，是的中线，的面积为12， ∴， ∵是的中线， ∴点D是的中点， ∴， ∵， ∴，故D错误； 选项A不能证明； C选项需证明，才能得出，即， 而这需要证明，但题目不能证明，故选项C不能证明； 故选：B． 8. 野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分． 如果某只野兔一次跳跃中跳跃时间为（单位：），则竖直高度（单位：）为． 根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ） A. 野兔经过约，跳跃竖直高度为 B. 野兔跳跃竖直高度为时，经过约 C. 野兔经过约，跳跃竖直高度为，并将继续上升 D. 野兔两次到达竖直高度为的位置，其时间间隔约为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据野兔经过离地面的高度（单位：）的函数图象变化情况逐项进行判断． 【详解】解：根据时，与，可知：野兔经过约，跳跃竖直高度达到，然后继续上升，达到最高点后，开始下降，在跳起后的约第，跳跃竖直高度为，并继续下降， 两次时间差为， 故选项ABC错误，D正确． 故选D． 9. 如图，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交BD于点E，若AD=，则BE=（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可得：，，利用等角对等边得：，，再由相似三角形的判定及性质可得且，利用图中边的等量关系可得关于BE的一元二次方程，求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵BD平分，CE平分， ∴，， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 可得：， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形、角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，理解题意，根据相似三角形的对应边成比例得出方程是解题关键． 10. 已知二次函数的图像如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次函数的图像开口向下可知，对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即，再由函数图像经过y轴正半轴可知，再根据两个图像有两个交点，利用排除法即可得出正确答案． 【详解】解：二次函的图像开口向下可知，对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即，图像经过y轴正半轴可知， 由，可知，直经过一、二、四象限， 由可知，反比例函数的图像经过第一、三象限， 故选项A、D错误； ∵对称轴， ∴． ∵图像过， ∴． ∴． ∴一次函数关系式为，双曲线为． 联立方程， 解得： ∴一次函数和反比例函数有2个交点． 故选项B错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 二、填空题（共4题，每题5分，共20分） 11. 已知，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据，则，然后把代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，勾股定理．先由勾股定理得出，再由坡度的定义即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，， ， 斜坡的坡度， 故答案为：． 13. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴的垂线变轴于点，连接，若的面积为6，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：由反比例函数中的几何意义得：， 根据反比例函数的对称性可知：， ， ． 故答案为：6． 14. 正方形中，，点F为射线上一动点，，垂足为E，连接． （1）___________； （2）的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先证明得到； （2）由可证明，得到，得到，当最小时，最小，当且仅当OEC三点共线时，取得最小值， 此时，，则的最小值为，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）∵正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点O，则，连接， ∵， ∴当且仅当O、E、C三点共线时，取得最小值， 此时，， ∴的最小值为， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线求线段最值是解题的关键． 三、解答题（共90分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数次幂，化简绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先运用绝对值，零指数幂、负整数次幂，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F．若，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴． 17. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转得到，点在上． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵将绕着点A顺时针旋转得到， ∴， 又∵点在上， ∴， ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等： （1）由旋转得，则，所以，即可得出平分； （2）由，，得，则，求得，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 18. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求作图． （1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点O成中心对称的； （3）写出线段与的位置关系；不用说明理由． 【答案】（1） 如图， 即为所求． （2） 如图， 即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，中心对称作图，直线位置关系的判断； （1）根据旋转的方向及角度作图，即可求解； （2）根据中心对称图形的作法作图，即可求解； （3）由勾股定理的逆定理可判定为直角三角形，可得，由平行线的判定方法得，即可求解； 掌握旋转和中心对称的作法及垂直的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：；理由如下： 由图得： ， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 由旋转得： ， ， ， ． 19. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． （1）当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． （2）当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】（1）渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 （2）救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【小问1详解】 解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 20. 如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接，延长交于点F． （1）如果，，求半径； （2）求证：． 【答案】（1）半径为5； （2） 证明：直径垂直于弦， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）设半径为r，用勾股定理解求出圆的半径； （2）利用垂直平分线及等腰三角形三线合一的性质，推出，等量代换得出，进而证明，推出，即可证明． 【小问1详解】 解：直径垂直于弦， ， ， ， 设半径为r， ， ， 在中，， ， 解得， 半径为5； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，利用相似三角形求解是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于C、两点，轴，垂足为E． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M是反比例函数图象上点D右侧的点，且满足，求点M的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解． 本题考查一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的性质． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点， 令则；令则，解得，； ∴点A、B的坐标分别为：， 当时，，则， 点D的坐标为， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数表达式为：； 【小问2详解】 解：设点， 则， 则， ∴点． 22. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 23. 如图1，已知抛物线（是常数且）与轴交于两点，与轴交于点，连接，已知． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，若点是抛物线上的一点且位于第二象限内，连接与交于点，连接． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由抛物线解析式可求出点C坐标为，即得出，结合正切的定义可分别求出，即得出点和点的坐标分别为，再利用待定系数法求解即可； （2）设与轴交于点，根据特殊角的三角函数值可得出，即可求出，再利用待定系数法求出直线的表达式，最后和抛物线表达式联立求解，即可得出点P的坐标； （3）设点的坐标为，由点的坐标可知，再根据结合三角形面积公式和二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 当时，代入，得， 点，即． ， ． 点和点的坐标分别为； 把点的坐标分别代入抛物线的表达式，得 ，解得， 该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：（ⅰ）如图，设与轴交于点． ， ， ，即． 设直线的表达式为，代入点的坐标， 得，解得：， ∴直线的表达式为． 联立抛物线与直线的表达式，则， 整理，得：， 解得（舍去），． 当时，代入，得． 当时，点的坐标为； （ⅱ）设点的坐标为，由点的坐标可知， ， 当时，有最大值为． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，坐标与图形，一次函数的应用，二次函数的性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想求解是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期九年级第三次综合素质评价数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（共10题，每题4分，总分40分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点O逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线y=-2x2-1的对称轴是（ ） A. 直线x=1 B. 直线x=-1 C. x轴 D. y轴 5. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，，与相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的中线，交于点G，且的面积为12，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 8. 野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分． 如果某只野兔一次跳跃中跳跃时间为（单位：），则竖直高度（单位：）为． 根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ） A. 野兔经过约，跳跃竖直高度为 B. 野兔跳跃竖直高度为时，经过约 C. 野兔经过约，跳跃竖直高度为，并将继续上升 D. 野兔两次到达竖直高度为的位置，其时间间隔约为 9. 如图，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交BD于点E，若AD=，则BE=（ ） A. 4 B. C. D. 10. 已知二次函数的图像如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，每题5分，共20分） 11. 已知，若，则______． 12. 小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度______． 13. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴的垂线变轴于点，连接，若的面积为6，则的值为______． 14. 正方形中，，点F为射线上一动点，，垂足为E，连接． （1）___________； （2）的最小值为___________． 三、解答题（共90分） 15. 计算：． 16. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F．若，，求线段的长． 17. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转得到，点在上． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 18. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求作图． （1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点O成中心对称的； （3）写出线段与的位置关系；不用说明理由． 19. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． （1）当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． （2）当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 20. 如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接，延长交于点F． （1）如果，，求半径； （2）求证：． 21. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于C、两点，轴，垂足为E． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M是反比例函数图象上点D右侧的点，且满足，求点M的坐标； 22. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 23. 如图1，已知抛物线（是常数且）与轴交于两点，与轴交于点，连接，已知． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，若点是抛物线上的一点且位于第二象限内，连接与交于点，连接． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $