精品解析：广东省清远市清新区2024-2025学年高一上学期12月期末模拟四校联考数学试题

清新区2024～2025学年高一12月期末模拟 数学试题 说明： 1．本卷总分150分，考试时长120分钟． 2．考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答，答在试题卷上无效． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据对数运算求解出，再结合幂函数的单调性比较大小. 【详解】由条件可知，，，， 则，，， ，，，所以， ，，，所以， ，，，所以， 综上可知，. 故选：C 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用交集的运算得解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 3. 已知全集，集合，，则为 A. 且 B. 或 C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先求解,在求解. 【详解】 ， = 又 本题中的全集 或. 如图， 故选:C. 【点睛】在求集合的补集时要注意全集的范围,在数集运算中可使用数轴来分析问题. 4. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意切化弦得到，，进而判断角所在象限. 【详解】由，， 得，， 所以是第一象限角. 故选：A. 5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，，， 于是． 故选：D. 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接求交集即可. 【详解】，则. 故选：D 7. 已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解. 【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有， 所以为定值，设，可得， 又由，可得，解得或（舍去）， 所以，则方程，即，即， 则关于的方程恰有两个实数根，即， 即函数和有两个交点， 设，则，即且，可得， 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减， 所以，且，当时，， 要使得方程恰有两个不等的实数根，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C. 8. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析得到函数的单调性，再根据函数的单调性得到函数的值域. 【详解】因为函数在R上是减函数，且， 所以当时，函数取得最小值为 当时，函数取得最大值为 故函数的值域为 故选： 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一函数 B. 已知，则 C. 对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同 D. 函数在其定义域内是单调递减函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同一函数定义判断A，赋值法求函数值判断B，根据函数定义判断C，根据单调区间定义判断D. 【详解】与的定义域与对应法则相同，故为同一函数，A正确； 令得，令得，所以，故B错误； 函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则的值一定不同，故C正确； 的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误. 故选：AC 10. 对于函数，若存在两个常数，，使得，则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：根据题意结合指数幂运算分析判断；对B：根据题意整理得，分析判断；对C：根据题意整理得，分析判断，对D：根据题意结合两角和差的正切公式运算分析. 【详解】对A：若，则， 即存在两个常数，，使得使得成立， 故为“函数”，A正确； 对B：若，则， 若为定值，则，解得，且， 故存两个常数，， 则为“函数”，B正确； 对C：若，则 ∵不为定值， 即不存在两个常数，，使得， 不为为“函数”，C错误； 对D：若，则， 若，即， 可得，解得， 即存在两个常数，使得使得成立， 故为“函数”，D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题要充分理解定义，严格按照定义的要求推理、运算，注意区别我们已学的相近知识.该题型重点考查学生的思维逻辑能力. 11. 若，，且，则下列不等式一定成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质可得，即可根据选项逐一求解. 【详解】由已知可得， 对于A项，，所以，由及不等式性质得，故A成立. 对于B项，，因为，所以， 当时，，即，故B项不一定成立. 对于C项，当时，，所以；当时，成立，故C项一定成立. 对于D项，由，，得，所以，故D项一定成立. 故选：ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以，. 故答案为：. 13. 已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数性质并结合临界值的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由于函数在上单调递增， 所以需要满足：，解得， 故答案为：. 14. 函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先求两函数的定义域，再求得解. 【详解】由题得函数的定义域为，函数的定义域为R, 所以的定义域为. 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法和交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求的单调区间. （2）求的值域. 【答案】（1）上单调递减，在上单调递增； （2）的值域为 【解析】 【分析】利用诱导公式，二倍角公式，辅助角公式可得.（1）由题可得，后利用函数在上的单调性可得答案；（2）由（1）求得的单调性可得答案. 【小问1详解】 由题， . 因，则. 则当，即时，单调递减； ，即时，单调递增. 故上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1），； . 则的值域为. 16. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定于判断即可证明； （2）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明，是方程的两个同号且不等的实数根，转化求解的最大值. 【小问1详解】 因为在区间上单调递增， 又，， 所以的值域为， 所以区间是的一个“优美区间”. 【小问2详解】 设是已知函数定义域的子集， 因为的定义域为，则或， 而函数在上单调递增， 若是已知函数的“优美区间”，则， 所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根， 因为， 所以，同号，只需， 解得或， 因为， 所以当时，取得最大值. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是将转化为方程的两个同号且不等的实数根，再结合，代入计算即可. 17. 已知 （1）求的值． （2）求的值．（结果保留根号） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简得，然后利用同角关系式即得； （2）利用两角差的正弦公式即求. 【小问1详解】 由，得， ∵，, ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）知， ∴. 18 已知二次函数=ax2+bx+c. （1）若f(﹣1)=0，试判断函数零点个数； （2）是否存在a，b，c∈R，使同时满足以下条件 ①当x=﹣1时，函数有最小值0； ②对任意x∈R，都有； 【答案】（1）详见解析； （2）存在. 【解析】 【分析】（1）根据f(﹣1)=0，得到，再利用判别式法判断； （2）由x=﹣1时，函数有最小值0，得到，再由对任意x∈R，都有，令求解后验证即可. 【小问1详解】 解：因为f(﹣1)=0， 所以，即， 则， 当时，函数有一个零点； 当时，函数有二个零点； 【小问2详解】 因为当x=﹣1时，函数有最小值0， 所以，即，； 又因为对任意x∈R，都有； 当时，，即， 由，解得， 此时， 则， 满足对任意x∈R，都有 故存在a，b，c∈R，使同时满足以下条件①②. 19. 已知集合， (1)若，求； (2)若，写出A对应的区间，并在时，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 (1)求解二次不等式再求交集即可. (2)由题意,分和两种情况进行讨论分析,再列出区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】（1）由题意知： （2） 法一：当时,,,不合题意, 当时,, 所以,,即 . 法二：当时,；当时, 由,得. 解得 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与根据集合的关系求参数的问题,需要根据题意分参数的范围进行讨论,同时根据题意列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中等题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清新区2024～2025学年高一12月期末模拟 数学试题 说明： 1．本卷总分150分，考试时长120分钟． 2．考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答，答在试题卷上无效． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知全集，集合，，则为 A 且 B. 或 C. 或 D. 且 4. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一函数 B. 已知，则 C. 对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同 D. 函数在其定义域内是单调递减函数 10. 对于函数，若存在两个常数，，使得，则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”是（ ） A. B. C. D. 11. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____________． 13. 已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为______________. 14. 函数，则_________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求的单调区间. （2）求值域. 16. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值. 17. 已知 （1）求的值． （2）求的值．（结果保留根号） 18. 已知二次函数=ax2+bx+c. （1）若f(﹣1)=0，试判断函数零点个数； （2）是否存在a，b，c∈R，使同时满足以下条件 ①当x=﹣1时，函数有最小值0； ②对任意x∈R，都有； 19. 已知集合， (1)若，求； (2)若，写出A对应区间，并在时，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $