精品解析：山东省日照市东港区日照港中学2024-2025学年上学期七年级12月考数学试卷

2024-2025学年度上学期七年级级单元测试（二） 数学试题 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 在方程：3x－y＝2， ＋＝0，＝1，3x2＝2x＋6中，一元一次方程的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 等式的基本性质是解方程的基础，很多方程的解法都运用到等式的基本性质，下列根据等式的基本性质变形错误的是（ ） A. 由，得到 B. 由，得到 C. 由，得到 D. 由，得到 3. 若方程的解是关于x的方程的解，则m的值为（　　） A. B. C. 2 D. 0 4. 下列方程变形中，正确的是（ ） A. 方程，未知数系数化为1，得 B. 方程，移项，得 C. 方程，去括号，得 D. ，去分母得 5. 我国古代有一问题：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可追上慢马，下面所列方程中正确的是( ) A. B. C. D. 6. 将方程中分母化为整数，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某校在庆祝祖国70周年“我和我的祖国”中学生读书系列活动中，将一些科技类图书分给了七年级一班的学生阅读，如果每人分4本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺30本．若设该校七年级一班有学生x人，则下列方程正确的是（　　） A. 4x﹣20＝5x+30 B. 4x+20＝5x﹣30 C. 4x﹣20＝5x﹣30 D. 4x+20＝5x+30 8. 某商场有两件进价不同上衣均卖了80元，一件盈利60%，另一件亏本20%，这次买卖中商家（　　） A. 不赔不赚 B. 赚了10元 C. 赚了８元 D. 赚了32元 9. 利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（ ）道题 A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 10. 一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时．若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求港和港相距多少千米．设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 粉刷一个房间甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，丙单独做12天完成．甲先单独做2天后有事离开，接下来乙、丙共同完成，则乙、丙合作所需要的天数为（   ） A. 1                                            B. 2                                            C. 3                                            D. 4 12. 如图：在边长为的正的边上有甲、乙两个动点，它们从处同时出发，沿着三角形的三边顺时针不停的运动．若甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，则乙在第2024次追上甲时，这两个动点所在的位置（ ） A. 在线段上 B. 在线段上 C. 处 D. 在线段上 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 13. 已知是关于x的一元一次方程，则m的值为_______． 14. 若与－是同类项，则x＝_______． 15. 一件夹克按成本价提高 50%后标价，后因季节关系按标价的 8 折出售，每件获利 10 元．这 批夹克每件的成本价是_____元 16. 定义一种新运算：，，则方程的解_________． 17. 如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是4，则这个长方形的面积是_________． 18. 2023年“双十一”活动期间，一网红书店推出如下购书优惠方案： A．一次性购书在50元（不含50元）以内，不享受优惠： B．一次性购书在50元（含50元）以上，100元（不含100元）以内，一律享受九折优惠； C．一次性购书在100元（含100元）以上，一律享受八折优惠． 江姗在该网红书店购书分别付款40元和81元，若江姗把这两次购书改为一次性购书，她需付款______元． 三．解答题（共60分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于x的方程，，某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是． （1）求字母a的值． （2）求原方程的解． 21. 对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如． 按照这种规定，请解答下列问题： （1）计算： ； （2）观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系_____． （3）若，求x的值； 22. 某机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套． （1）问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ （2）每套产品的利润为120元，求该车间每天获得的最大利润． 23. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： （1）该户居民2月份交水费48元，2月份用水量为______________立方米？ （2）若该户居民3月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费 元． （3）该户居民4、5两个月共用水15立方米（5月份的用水量超过了4月份的用水量），两个月共交水费44元，求该户居民4、5月份各用多少立方米？ 24. 如图，点在数轴上表示的数是，点表示的数是，，两点同时分别以个单位/秒和个单位/秒的速度从、两点出发，沿数轴做匀速运动，设运动时间为（秒）． （1）线段的长度为　　个单位； （2）如果点向右运动，点向左运动，求： ①当为何值时，与点相遇？ ②当为何值时，？ （3）如果点，点同时向左运动，是否存在这样的时间使得，两点到点距离相等，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期七年级级单元测试（二） 数学试题 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 在方程：3x－y＝2， ＋＝0，＝1，3x2＝2x＋6中，一元一次方程的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】解：一元一次方程有：，只有1个．故选A． 2. 等式的基本性质是解方程的基础，很多方程的解法都运用到等式的基本性质，下列根据等式的基本性质变形错误的是（ ） A. 由，得到 B. 由，得到 C. 由，得到 D. 由，得到 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母)，等式仍成立；等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母)，等式仍成立．根据等式的性质求解即可． 【详解】解：A、两边都加2，得到，故A正确，不符合题意； B、两边都减3，得到，故B正确，不符合题意； C、当，由，不一定能得出 ，也可能，故C错误，符合题意； D、两边都乘，得，故D正确，不符合题意． 故选：C． 3. 若方程的解是关于x的方程的解，则m的值为（　　） A. B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先求的解，得到方程的解，代入计算即可．本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：解方程， 解得， ∵方程与关于x的方程有相同的解， ∴方程的解为， ∴， 解得， 故选A． 4. 下列方程变形中，正确的是（ ） A. 方程，未知数系数化为1，得 B. 方程，移项，得 C. 方程，去括号，得 D. ，去分母得 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握其步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键． 根据系数化为1、移向、去括号、去分母逐项判断即可解答． 【详解】解：A．方程，未知数系数化为1，得，原变形不正确； B．方程，移项，得，原变形不正确； C．方程，去括号得，原变形不正确． D．，去分母得，变形正确． 故选D． 5. 我国古代有一问题：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可追上慢马，下面所列方程中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，由于慢马先走12天，所以慢马总共走的路程为里.当快马追上慢马时，就是说它们所走的路程相等，即可列出方程. 【详解】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，慢马走的路程为里 由题意得： 故答案为：A. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键. 6. 将方程中分母化为整数，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方程的转化．将方程中的分母由小数化为整数，需对每个分数分别处理，分子分母同乘适当倍数，保持等式成立． 【详解】解：原方程为：， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 则原方程变形为， 故选：C． 7. 某校在庆祝祖国70周年“我和我的祖国”中学生读书系列活动中，将一些科技类图书分给了七年级一班的学生阅读，如果每人分4本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺30本．若设该校七年级一班有学生x人，则下列方程正确的是（　　） A. 4x﹣20＝5x+30 B. 4x+20＝5x﹣30 C. 4x﹣20＝5x﹣30 D. 4x+20＝5x+30 【答案】B 【解析】 【分析】设该校七年级一班有学生人，根据“如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本”． 【详解】解：设该校七年级一班有学生人， 依题意，得： 故选：B 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，审清题意是正确找到等量关系的前提． 8. 某商场有两件进价不同上衣均卖了80元，一件盈利60%，另一件亏本20%，这次买卖中商家（　　） A. 不赔不赚 B. 赚了10元 C. 赚了８元 D. 赚了32元 【答案】B 【解析】 【分析】此题可以分别设两件上衣的进价是x元，y元.，根据售价=成本±利润，列方程求得两件上衣的进价，再计算亏盈． 【详解】根据题意可知两个物品的进价分别为x元，y元. 根据题意可得：x+60%x=80，解得x=50， y-20%y=80，解得y=100， 所以(80+80)-(50+100)=10（元）. 所以这家商店赚了10元. 故选B. 【点睛】考查一元一次方程的应用，读懂题目，设未知数，根据等量关系列出方程是解题的关键. 9. 利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（ ）道题 A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设他做对道，则做错或不做道，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设他做对道，则做错或不做道， 依题意得：， 解得：， 答：他做对15道题， 故选：B． 10. 一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时．若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求港和港相距多少千米．设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 顺流行驶的速度为（千米时），逆流行驶的速度为：（千米时）．根据“轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时”，得出等量关系：轮船从港顺流行驶到港所用的时间它从港返回港的时间小时，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，可列出的方程是：． 故选：D． 11. 粉刷一个房间甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，丙单独做12天完成．甲先单独做2天后有事离开，接下来乙、丙共同完成，则乙、丙合作所需要的天数为（   ） A. 1                                            B. 2                                            C. 3                                            D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设乙、丙合作所需要的天数为x天，根据 “甲的工作量+乙、丙的工作量=1”列方程求解即可． 【详解】解：设乙、丙合作所需要的天数为x天， 甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为， 根据题意得：， 解得x=2， 即乙、丙合作所需要的天数为2天， 故选B． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． 12. 如图：在边长为的正的边上有甲、乙两个动点，它们从处同时出发，沿着三角形的三边顺时针不停的运动．若甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，则乙在第2024次追上甲时，这两个动点所在的位置（ ） A. 在线段上 B. 在线段上 C. 处 D. 在线段上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，涉及行程问题公式：路程速度时间、环形运动追击问题等知识，读懂题意，理解追击问题相遇后两者路程相距圈数的整数倍是解决问题的关键． 【详解】解：乙在第2024次追上甲时， 设花费时间为秒，则可得，解得， 甲、乙两个动点相遇，则处于同一点， 甲运动的路程为， 正的边长为， 甲运动一周是， ，即甲在处， 这两个动点所在的位置在处， 故选：C． 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 13. 已知是关于x的一元一次方程，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程；即可进行解答． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 若与－是同类项，则x＝_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同类项的概念建立关于x的方程，解方程即可. 【详解】根据题意有 解得 故答案为 【点睛】本题主要考查同类项的概念，掌握同类项的概念是解题的关键. 15. 一件夹克按成本价提高 50%后标价，后因季节关系按标价的 8 折出售，每件获利 10 元．这 批夹克每件的成本价是_____元 【答案】50 【解析】 【分析】设成本价为元，根据提价打折之后盈利为10元，列出方程式，求解即可． 【详解】设这件夹克的成本价为元， 依题意得：， 化简得：， 解得：， 答：这批夹克每件的成本价是50元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解． 16. 定义一种新运算：，，则方程的解_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：． 17. 如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是4，则这个长方形的面积是_________． 【答案】2288 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设D、E的边长为x，则C的边长为，B的边长为，A的边长为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设D、E的边长为x，则C的边长为，B的边长为，A的边长为，根据题意得： ， 解得：， 所以长方形的长为，宽为， 这个长方形的面积为． 故答案为：2288． 18. 2023年“双十一”活动期间，一网红书店推出如下购书优惠方案： A．一次性购书在50元（不含50元）以内，不享受优惠： B．一次性购书在50元（含50元）以上，100元（不含100元）以内，一律享受九折优惠； C．一次性购书在100元（含100元）以上，一律享受八折优惠． 江姗在该网红书店购书分别付款40元和81元，若江姗把这两次购书改为一次性购书，她需付款______元． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的81元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 要求江姗一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过50元，即是40元．第二次就有两种情况，一种是不低于50元但不足100元一律9折；一种是购物不低于100元一律8折，依这两种计算出江姗购买的实际款数，再按第三种方案计算即是她应付款数． 【详解】解：第一次购物显然没有超过50元， 即在第一次消费40元的情况下，江姗的实质购物价值只能是40元． 第二次购物消费81元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：江姗消费不低于50元但不足100元，这时候江姗是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为元，那么依题意有， 解得：． 第二种情况：江姗消费不低于100元，这时候江姗是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为元，那么依题意有，解得：． 即在第二次消费81元的情况下，江姗的实际购物价值可能是90元或元． 综上所述，江姗两次购物的实质价值为或，均超过了元． 因此均可以按照8折付款： （元）或（元）． 故答案为：或． 三．解答题（共60分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【小问1详解】 解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解： 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 20. 已知关于x的方程，，某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是． （1）求字母a的值． （2）求原方程的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，及方程的解法，理解题意，正确运算是解本题的关键． （1）按题意原方程去分母可得，把代入再解方程即可； （2）首先得到原方程为，然后方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【小问1详解】 ∵， ∴（去分母时漏乘）， 把代入可得：， 整理得：， 解得：； 【小问2详解】 ∵ ∴原方程为 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 21. 对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如． 按照这种规定，请解答下列问题： （1）计算： ； （2）观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系_____． （3）若，求x的值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，新定义，整式的加减计算： （1）根据新定义列式计算即可； （2）分别求出两个行列式的结果即可得到答案； （3）根据新定义可得方程，解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 理由如下： ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 22. 某机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套． （1）问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ （2）每套产品的利润为120元，求该车间每天获得的最大利润． 【答案】（1）安排25名工人加工大齿轮，60名工人生产小齿轮 （2）24000元． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，有理数的混合运算的实际应用， （1）设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮，共生产个大齿轮，个小齿轮，根据“2个大齿轮和3个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可； （2）由（1）列出算式求解即可． 【小问1详解】 解：设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮．根据题意，得 解得：， ∴． 答：安排25名工人加工大齿轮，60名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套； 【小问2详解】 解：根据题意得， （元） ∴该车间每天获得的最大利润为24000元． 23. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： （1）该户居民2月份交水费48元，2月份用水量为______________立方米？ （2）若该户居民3月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费 元． （3）该户居民4、5两个月共用水15立方米（5月份的用水量超过了4月份的用水量），两个月共交水费44元，求该户居民4、5月份各用多少立方米？ 【答案】（1） （2） （3）该户居民4月份用水4立方米，则5月份用水11立方米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，正确的列出式子和方程，是解题的关键． （1）首先判断出该户居民2月份用水量超过10立方米，然后设该户居民2月份用水量 x立方米，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）根据阶梯收费标准列式即可； （3）设该户居民4月份用水m立方米，则5月份用水立方米，根据题意分3种情况讨论，分别列出一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：当用水量为6立方米时，应交水费（元）， 当用水量为10立方米时，应交水费（元）， ∵该户居民2月份交水费48元， ∴该户居民2月份用水量超过10立方米 ∴设该户居民2月份用水量 x立方米 根据题意得， 解得 ∴2月份用水量为立方米； 【小问2详解】 解：∵该户居民3月份用水a立方米（其中） ∴； ∴应收水费元； 【小问3详解】 解：设该户居民4月份用水m立方米，则5月份用水立方米， ∵5月份的用水量超过了4月份的用水量 ∴当4月份用水不超过6立方米，5月份用水不超过10立方米时， 根据题意得， 解得 ∴，不符合题意，应舍去 当4月份用水不超过6立方米，5月份用水超过10立方米时， 解得 ∴（立方米） ∴该户居民4月份用水4立方米，则5月份用水11立方米； 当4月份用水超过6立方米，5月份用水不超过10立方米时， 根据题意得， 方程无解，应舍去 综上所述，该户居民4月份用水4立方米，则5月份用水11立方米． 24. 如图，点在数轴上表示的数是，点表示的数是，，两点同时分别以个单位/秒和个单位/秒的速度从、两点出发，沿数轴做匀速运动，设运动时间为（秒）． （1）线段的长度为　　个单位； （2）如果点向右运动，点向左运动，求： ①当为何值时，与点相遇？ ②当为何值时，？ （3）如果点，点同时向左运动，是否存在这样的时间使得，两点到点距离相等，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 【答案】（1）； （2）①，②或； （3）存在， 或． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据点，表示的数，可求出线段的长； （2）当运动时间为秒时，点表示的数为，点Q表示的数为． ①根据点与点相遇，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； ②根据，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点Q表示的数为，根据，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ∴， 【小问2详解】 解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①∵点与点相遇， ∴， 解得： ， ②∵， ∴， 解得： 或． 【小问3详解】 解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴，即或， 解得：或， ∴存在这样的时间使得，两点到点距离相等，的值为或（秒）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $