精品解析：山东省东营市胜利第一初级中学2024-2025学年九年级12月月考数学试题

胜利第一初级中学2024—2025学年第一学期质量检测 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共计30分） 1. 数的相反数为 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 为了解学生的体质健康水平，国家每年都会进行中小学生体质健康测试和抽测复核．在某次抽测复核中，某校九（1）班6名男生引体向上测试成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，9，14，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 11， B. ，11 C. 10， D. 11，9 4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 B. 了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 C. 早上的太阳从东方升起是必然事件 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 6. 如图，若 与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A. 0.4米 B. 0.5米 C. 0.8米 D. 1米 8. 如图，直线和相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一建筑物 后有一座假山，其坡度为，测得假山坡脚 与建筑物的水平距离，与假山坡上凉亭的距离，建筑物顶端 到凉亭的俯角为 ．求建筑物 的高度（ ）．（结果保留根号） A. B. C. D. 10. 如图，在中， ，相交于点，点是的中点，连接 并延长交于点．已知，则下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①④ 二、填空题（共8小题，11-14每题3分，15-18每题4分共28分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 分解因式：______． 13. 已知是分式方程的解，则实数的值为______． 14. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是_____________． 15. 如图，在等边 中，分别是边的三等分点，连接，随机在 内取一点，则这个点恰好在阴影部分的概率为______． 16. 分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为 ，则该莱洛三角形的周长为______ ．（结果保留）． 17. 如图，中，是 内部的一个动点，且满足则线段 的最小值为_______________________． 18. 如图正三角形 的边长为1，将线段 绕点 逆时针旋转至，形成第一个扇形；将线段绕点 逆时针旋转至，形成第二个扇形；将线段绕点 逆时针旋转至，形成第三个扇形；将线段绕点 逆时针旋转至，形成第四个扇形……设 为第 个扇形的弧，则______． 三、解答题（共7小题，共62分） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中从 、1、、2中取一个你认为合适的数代入求值． 20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛.该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）这次抽样调查共抽取______人，并将条形统计图补充完整； （2）该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的总人数； （3）学校要从答题成绩为A等级的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“环境知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 21. 如图，在中，，是边 上的一点，以为直径的 与边 交于点，连接 ，． （1）求证： 是 的切线； （2）若， ，求 的半径长． 22. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形 和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． （1）求k的值； （2）求扇形 的半径及圆心角的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 23. 某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？ 24. [提出问题]如图，在中，， ，点是 边上一点(不与 重合)，将线段 绕点 逆时针旋转 得到，连接，则线段 与 的数量关系为__________． [类比探究]如图，在与 中，， ， ，将 绕点 旋转，使点落在 边上，试探索线段 之间的数量关系，并证明你的结论． [迁移应用]如图，在四边形 中， ，若 ， ，求 的长． 25. 如图，已知抛物线 经过和两点，直线 与轴相交于点 ， 是直线 上方的抛物线上的一个动点，轴交 于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若轴交 于点，求的最大值； （3）若以 ， ，为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 胜利第一初级中学2024—2025学年第一学期质量检测 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共计30分） 1. 数 的相反数为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数是相反数．根据相反数的定义即可进行解答． 【详解】解：∵数 的相反数为 ， ∴， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和 不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 为了解学生的体质健康水平，国家每年都会进行中小学生体质健康测试和抽测复核．在某次抽测复核中，某校九（1）班6名男生引体向上测试成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，9，14，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 11， B. ，11 C. 10， D. 11，9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的中位数，众数，把一组数据按大小排列，最中间一个（数据总个数为奇数个）或两个数据的平均数（总数据个数为偶数个）就是这组数据的中位数；出现次数最多的数据是众数． 根据中位数，众数的概念求解即可． 【详解】解：这组数据中，11出现的次数最多，故众数为11， 把这组数据从小到大排列后是7，9，10，11，11，14，排在中间的数为10和11，故中位数为， 故选：A． 4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金 两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每头牛x两，每只羊y两，根据5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，列出方程组，是解题的关键． 【详解】解：设每头牛x两，每只羊y两，根据题意，可得 ， 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 B. 了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 C. 早上的太阳从东方升起是必然事件 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率、普查、事件及方差等知识，根据概率的内涵、随机调查分类、事件分类及方差作决策等逐项验证即可得到答案，熟记概率的内涵、随机调查分类、事件分类及方差的意义是解决问题的关键． 【详解】解：A、明天降水的概率是50%，表示明天降雨可能性的大小，选项说法错误，不符合题意； B、了解全国中学生的节水意识涉及调查群体数量较大，应选用抽查方式，选项说法错误，不符合题意； C、早上的太阳从东方升起是一定发生的事情，属于必然事件，选项说法正确，符合题意； D、甲、乙两组数据的平均数相同，，，根据，由方差大的数据波动较大，甲组数据较稳定，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，若 与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 连接，，并交于点P，即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图所示 连接，，并交于点P， 由图可知：位似中心的坐标是：； ， 故选：D． 7. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A. 0.4米 B. 0.5米 C. 0.8米 D. 1米 【答案】D 【解析】 【分析】设⊙O的半径是R，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，由垂径定理得出AD的长，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长． 【详解】解：设⊙O的半径是R，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA， ∵AB=0.8m，OD⊥AB， ∴AD=0.4m， ∵CD=0.2m， ∴OD=R-CD=R-0.2， 在Rt△OAD中， OD2+AD2=OA2，即（R-0.2）2+0.42=R2，解得R=0.5m． ∴2R=2×0.5=1米． 故答案为D 8. 如图，直线和相交于点，则关于 的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用图象法解不等式，先由题意得到，关于 的不等式的解集就是直线在直线上方的图象对应的自变量的取值范围，过作 轴的垂线，如图所示，数形结合即可得到答案，理解图象法解一元一次不等式是解决问题的关键． 【详解】解： 直线和相交于点， 将代入直线得到，解得， 关于 的不等式的解集就是直线在直线上方的图象对应的自变量的取值范围， 过作 轴的垂线，如图所示： 关于 的不等式的解集为， 故选：B． 9. 如图，一建筑物 后有一座假山，其坡度为，测得假山坡脚 与建筑物的水平距离，与假山坡上凉亭 的距离，建筑物顶端 到凉亭 的俯角为 ．求建筑物 的高度（ ）．（结果保留根号） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先过点 作 于点 ，过点 作于点 ，再利用坡度的定义设，则，利用勾股定理列方程求解得出、的长，再由俯角定义及等腰直角三角形的判定与性质得到 ，数形结合求出 的长即可得到答案． 【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作于点 ，如图所示： 四边形是矩形， 建筑物 后有一座假山，其坡度为， 由坡度定义可知，， 在 中，，则由勾股定理可得，解得 ， ，， ， ， 建筑物顶端 到凉亭 的俯角为 ， ，则是等腰直角三角形， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及矩形判定与性质、坡度定义、勾股定理、解一元二次方程、俯角定义、等腰直角三角形的判定与性质等知识，读懂题意，借助坡角关系构造直角三角形，数形结合利用相关几何知识求解是解决问题的关键． 10. 如图，在中， ，相交于点，点 是的中点，连接 并延长交于点 ．已知，则下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到；故①正确；根据相似三角形的性质得到；故②正确；根据三角形的面积公式得到，故③正确；由于 与 只有一个角相等，于是得到 与 不一定相似，故④错误． 【详解】解：∵在中，则，， ∵点 是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； ， ， ，故③正确； ， ， ∴ 与 不一定相似，故④错误， 故选：B． 二、填空题（共8小题，11-14每题3分，15-18每题4分共28分） 11. 函数中，自变量 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据提取公因式法，提取公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法． 13. 已知是分式方程的解，则实数 的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解．将代入分式方程，得到关于 的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入原方程可得， 解得：， 故答案为：3． 14. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，先计算，再利用计算即可． 【详解】解：∵，，， ， 圆锥的侧面积， 故答案为：． 15. 如图，在等边 中，分别是边的三等分点，连接，随机在 内取一点，则这个点恰好在阴影部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率模型求概率问题，先利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出阴影部分面积与大三角形面积比，从而利用几何概率模型即可求出这一点恰好在阴影部分的概率． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵ 。 ∴， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴由几何概率模型可知这个点恰好在阴影部分的概率为， 故答案为：． 16. 分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为 ，则该莱洛三角形的周长为______ ．（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式（ 为圆心角，为半径）是解题关键，直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（ ） 故答案为：． 17. 如图，中，是 内部的一个动点，且满足则线段 的最小值为_______________________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 首先证明点 在以 为直径的 上，当 、 、 共线时 最小，利用勾股定理求出 ，则 的最小值等于 减去半径． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴点 在以 为直径的 上， ∴当 、 、 共线时 最小， 在中， ， ， ， ， ∴ 最小值为2． 故答案为：2． 18. 如图正三角形 的边长为1，将线段 绕点 逆时针旋转至，形成第一个扇形；将线段绕点 逆时针旋转至，形成第二个扇形；将线段绕点 逆时针旋转至，形成第三个扇形；将线段绕点 逆时针旋转至，形成第四个扇形……设 为第 个扇形的弧，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，涉及弧长公式，从图中可以找出规律，弧长的圆心角不变都是，变化的是半径，而且第一次是1，第二次是2，第三次是3，……依此下去，然后按照弧长公式计算．数形结合，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意，从图中可以找出规律：弧长的圆心角不变都是，变化的是半径，第一次是半径1，第二次半径是2，第三次半径是3，……第 次半径是 ， 根据弧长公式得： ， ， ， ， ， 当时，， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共62分） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 从、1、、2中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数值的实数的混合运算，分式化简求值． （1）分别计算特殊角的三角函数值，立方根，零指数幂，乘方运算，再进行加减计算； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ， ，，， ，，， 当 时，原式． 20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛.该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）这次抽样调查共抽取______人，并将条形统计图补充完整； （2）该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的总人数； （3）学校要从答题成绩为A等级的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“环境知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50， 补充完整的条形统计图如图所示． （2）估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的共有840人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算出A等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）用1500乘以A、B两个等级所占百分比的和即可得到该校学生答题成绩为A等级和B等级的总人数； （3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后根据概率的计算公式计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法，以及概率的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【小问1详解】 解：由统计图可知，这次抽样调查共抽取（人）． 等级为A的有（人） 【小问2详解】 解：（人）， 即估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的共有840人． 【小问3详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有2种， ∴P（抽出的两名学生恰好是甲和丁）． 21. 如图，在中，， 是边 上的一点，以为直径的 与边 交于点 ，连接 ，． （1）求证： 是 的切线； （2）若， ，求 的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、解直角三角形、等腰三角形的性质与判定； （1）连接．由等边对等角得出，，求出，即可得证； （2）设．则，．解直角三角形得出． 由勾股定理得出 的值即可得出 的半径． 【小问1详解】 证明：如图1，连接． ， ∵点在 上， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵是 的半径， ∴ 是 的切线． 【小问2详解】 解：设． ∵ ， ∴，． 在中，，， ∴，即． ∴． ∴． 在中，由勾股定理，得，即． 解得（负值已舍去）． ∴ 的半径为3． 22. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形 和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． （1）求k的值； （2）求扇形 的半径及圆心角的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】（1） （2）半径为2，圆心角为 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合 的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， 解得：； 【小问2详解】 解： 过点 作的垂线，垂足为，如下图： ， ， ， 半径为2； ， ∴， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形 的圆心角的度数：； 【小问3详解】 解：， ， ， 如下图：由菱形知，， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及 的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握 的几何意义． 23. 某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？ 【答案】（1）该种商品每次降价的百分率为10%．（2）每件商品应降价4元 【解析】 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）关系式为：每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可． 【详解】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：200（1﹣x）2＝162， 解得：x1＝0．1＝10%，x2＝1．9（不合题意，舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）设每件商品应降价x元，根据题意，得： （200﹣156﹣x）（20+5x）＝1600 解方程得 x＝4或x＝36， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴x＝36不合题意舍去， 答：每件商品应降价4元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 24. [提出问题]如图，在中，， ，点 是 边上一点(不与 重合)，将线段 绕点 逆时针旋转 得到，连接 ，则线段 与 的数量关系为__________． [类比探究]如图，在与 中，， ， ，将 绕点 旋转，使点 落在 边上，试探索线段 之间的数量关系，并证明你的结论． [迁移应用]如图，在四边形 中， ，若 ， ，求 的长． 【答案】提出问题： ； 类比探究：． 证明：如图， 由（）得， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 在 中，， ， ∴， ∴； 迁移应用： 【解析】 【分析】提出问题：证明，得到 ，进而得 ，即可求解； 类比探究：由可得 ， ， 进而得 ，得到，又由勾股定理得，即得； 迁移应用：作 ，使 ，连接 ，如图，可证，得到 ，又由 可得 ，即得，进而由即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：提出问题：由旋转得， ， ∴ ， 即 ， ∵ ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ； 类比探究：略 迁移应用：作 ，使 ，连接 ，如图， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 与中， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 在 中， ， ， ∴ ． 25. 如图，已知抛物线 经过和两点，直线 与 轴相交于点 ， 是直线 上方的抛物线上的一个动点，轴交 于点 ． （1）求该抛物线的表达式； （2）若轴交 于点 ，求的最大值； （3）若以 ， ， 为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点 的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想进行分析． （1）直接利用待定系数法，即可求出解析式； （2）先求出点C的坐标为 ，然后证明，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，分别表示出 和，再由二次函数的最值性质，求出答案； （3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当时；当时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过和两点， ∴ 解得：， ， ∴抛物线的表达式为 ． 【小问2详解】 解：∵， 设直线 表达式为： ， 则， 解得：， ∴直线 表达式为， ∵直线 与x轴交于点C， 令，则， 解得：， ∴点C的坐标为 ， 如图： ∵轴，轴， ∴ , ∴， ∴， ∴， 则， 设点P的坐标为，其中， 则点D的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，且最大值为． 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， 点坐标为 ， ①当时， 轴，， ∴轴， 点 纵坐标是3，横坐标 ， 即，解得， 点 的坐标为 ； 轴， 点 的横坐标为2， 点 的纵坐标为：， 点 的坐标为； ②当时， 此时， 过点 作于点， ， ， 设点 的坐标为，则 点坐标为， 则， 解得：， ∴ 点坐标为， 综上，点 的坐标为或 点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $