精品解析：天津市第四十七中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段性检测（12月）数学试题

天津市第四十七中学2024—2025第一学期高一年级 第二次阶段性检测数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共45分） 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合间的运算的定义直接可得解. 【详解】由已知，， 则， 又， 所以， 故选：A. 2. 若a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合充分必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，取，则，即充分性不成立； 当时，有，则，故， 所以，即，即必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排除法，结合函数值的符号分析判断即可. 【详解】因为，则， 所以，故ACD错误. 又定义域为R，且为偶函数，只有B中图象符合， 故选：B. 4. 下列结论中错误的是（ ） A. 终边经过点的角的集合是； B. 扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为； C. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是； D. 若是第三象限角，则是第二象限角． 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧度制的定义、任意角的概念及扇形弧长与面积的公式可判断各选项. 【详解】A选项：终边经过点的角的集合是，A选项正确； B选项：设扇形的半径为，弧长为，由圆心角为弧度，则， 所以周长为，解得，， 所以面积，B选项正确； C选项：将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是，C选项正确； D选项：当是第三象限角时，，， 则，，即是第二或第四象限角，D选项错误； 故选：D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数及指数函数的单调性得出参数范围比较即可. 【详解】因为，，，所以. 故选：D. 6. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，再结合同角三角函数关系式进行化简运算. 【详解】由诱导公式可得，即； 所以， 故选：C. 7. 若是方程的实数解，则属于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】令，则在定义域上单调递增， 又，， ，， 所以， 所以在上存在唯一零点，即存在使得. 故选：C 8. 已知函数的图象恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质可得点，则可得，再根据基本不等式“”的代换可得最值. 【详解】由已知函数恒过定点， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 9. 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造新函数，根据定义法确定函数的单调性，再由性质法判断奇偶性，结合奇偶性与单调性解抽象不等式. 【详解】由已知，，当时，都有， 设函数， 则，且， 所以， 即在上单调递减， 又函数是上奇函数，则是上的偶函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以即为， 所以，解得且. 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知函数，则函数的定义域为_______； 【答案】 【解析】 【分析】根据根式、分式列不等式组，结合对数函数单调性解不等式即可. 【详解】令，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 11. 若“”是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知是假命题可得，“”为真命题，列不等式解出实数的取值范围即可． 【详解】已知“”是假命题，所以“”为真命题，即，解得 故答案为： 12. 若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调递增区间为_______； 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义确定参数值，再结合对数型复合函数可得单调递增区间. 【详解】由已知函数为奇函数， 则，即， 所以函数， 又函数过点， 即，解得， 所以， ，解得或， 即的定义域为， 又函数单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 综上所述的单调递增区间为， 故答案为：. 13. _______； 【答案】 【解析】 【分析】根据指数、对数的运算法则直接计算. 【详解】原式 . 故答案为：. 14. 已知，且，则的最小值为_______； 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算可得，则，结合基本不等式可得最值. 【详解】由已知，则，且，， 所以， 又，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为， 故答案为：. 15. 已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】有三个零点可转化为两个二次方程解的情况，分情况讨论，结合二次函数性质列方程，解方程. 【详解】由已知， 则， 当时，令，即，可转化为， 当时，令，即， 又两方程分别至多有个解，又函数有个零点，所以两方程共个解， （1）若时方程有个解，设为，， 则，解得； 此时当时，方程有且只能有个解， 则方程在上只有一解，即，； 或方程有两根，分别设为，，则，解得； 综上所述，此种零点分布情况时； （2）若时方程有个解， 则方程在上只有一解，则，解得或； 或有两根，分别设为，， 即，解得； 综上所述或， 此时当时，方程有个解，设为，， 即，解得； 综上所述，此种零点分布情况时； 综上所述，若在上恰有三个不同的零点，则. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 设全集是，集合，． （1）若，求，； （2）已知，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合，从而进行集合间的运算； （2）由，可得，结合集合间的关系列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知，则， 解得或， 即， 又当时，， 则， 又，则； 【小问2详解】 由（1）得， 又，所以， 当时，，解得，此时满足， 当时，由，可得或无解； 综上所述，若，则，即. 17. 已知 （1）化简并求值； （2）若且，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简可得解析式及函数值； （2）根据诱导公式化简可得，结合同角三角函数关系式可得，进而可得，即可得解； （3）结合诱导公式，整体代入可得解. 【小问1详解】 由诱导公式可知， 则； 小问2详解】 由（1）得， 即， 则， 解得， 又，则，， 所以， 则， 所以； 【小问3详解】 由已知（1）得，所以， 即， 所以. 18. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出参数即可； （2）根据定义法证明函数的单调性即可； （3）由奇偶性及单调性脱去“”建立不等式求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 为奇函数，，即，经检验符合题意； 【小问2详解】 由（1）得， 设任意，且， 则， ，，， ，， ，， 在上单调递减； 【小问3详解】 ，， 是奇函数，， 由（2）知在上单调递减， ，， 故取值范围为. 19. 已知关于x的不等式的解集为． （1）求实数a，b的值； （2）若，求关于x的不等式的解集； （3）若对任意的实数恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由两根为-1和2，代入方程即可求解； （2）结合（1）通过和，两类情况讨论即可； （3）通过参变分离求最值即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：的两根为-1和2， 所以， 解得：. 【小问2详解】 由（1）知：可化为： ， 即： 当，不等式为：，得， 当，的两根为：和 当时， （i） ，即时，的解集为：； （ii） ，即时，的解集为：； （iii） ，即时，的解集为：； 综上：时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； 【小问3详解】 若对任意的实数，恒成立，求实数m的取值范围 由（1）可化为：， 即，对任意恒成立， 令， 可得， 易知，对称轴为：，所以当时，， 所以. 所以实数m的取值范围为. 20. 已知函数，（，），记，． （1）求函数的定义域； （2）当且时，若对任意，当，时，都有，求正实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零列不等式组，解不等式组即可； （2）结合函数单调性可得，即可转化为在上恒成立，再根据二次函数单调性可得最值，解不等式即可； （3）由已知可得，，函数单调递减，结合值域列方程，可转化为，则在上有两个零点，根据二次函数性质可得参数范围. 【小问1详解】 由已知，（，）， 所以， 则，解得， 即函数的定义域为； 【小问2详解】 当且时，， 则函数在定义域上单调递减， 所以， 所以， 即， 化简可得在上恒成立， 即，， 又函数的图象的对称轴为， 所以在上单调递增， 所以， 解得，即； 【小问3详解】 由（1）得，定义域为， 由当时，的值域为， 则，，所以，故函数在上单调递减， 则， 化简可得， 即方程在上有两个不等的实根， 设，则在上有两个零点， 所以，解得，又，所以无解； 综上所述，不存实数满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第四十七中学2024—2025第一学期高一年级 第二次阶段性检测数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共45分） 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 下列结论中错误的是（ ） A. 终边经过点角的集合是； B. 扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为； C. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是； D. 若是第三象限角，则是第二象限角． 5 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若是方程的实数解，则属于区间（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知函数，则函数的定义域为_______； 11. 若“”是假命题，则实数的取值范围是__________. 12. 若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调递增区间为_______； 13. _______； 14. 已知，且，则的最小值为_______； 15. 已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是_______． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 设全集是，集合，． （1）若，求，； （2）已知，求实数的取值范围． 17 已知 （1）化简并求的值； （2）若且，求的值； （3）已知，求值． 18. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，求实数的取值范围． 19. 已知关于x的不等式的解集为． （1）求实数a，b的值； （2）若，求关于x的不等式的解集； （3）若对任意的实数恒成立，求实数m的取值范围． 20 已知函数，（，），记，． （1）求函数的定义域； （2）当且时，若对任意，当，时，都有，求正实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$