精品解析：天津市第四十七中学2025-2026学年高一上学期11月月考数学试题

天津市第四十七中学2025-2026第一学期高一年级 第一次阶段性检测数学试卷 第I卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题，， 则是，. 故选：B 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，再结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】，即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分式不等式移项化简后转化为，求解即可. 【详解】不等式转化为， 即，可转化为， 可得， 所以不等式解集. 故选：A 5. 若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ） A. B. C. D. 与互不包含 【答案】C 【解析】 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，，当时，，所以. 故选：C. 6. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 7. 集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 【详解】解：∵， ∴①当时，即无解，此时，满足题意. ②当时，即有解，当时，可得， 要使，则需要，解得. 当时，可得，要使，则需要，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 8. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C. 若，则函数的最小值为2 D. 若实数满足，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可判断A；分和两种情况讨论即可判断B；由基本不等式即可判断C；根据不等式的性质即可判断D. 【详解】对于A，不等式化为，解得或， 所以不等式的解集为，故A不正确； 对于B，当时，恒成立，则； 当时，则有，解得， 所以的取值范围是，故B不正确； 对于C，依题意，， 当且仅当，即时取等号， 而，因此不能取等号，故C不正确； 对于D，由，得，因此，故D正确. 故选：D. 9. 当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可根据题意得出当时不等式有解，然后令，求出当时的取值范围，即可得出结果. 【详解】不等式有解即不等式有解， 令， 当时，， 因为当时不等式有解， 所以，实数的取值范围是， 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查根据不等式有解求参数，可通过构造函数并通过求函数的值域的方式求解，考查二次函数的值域的求法，考查推理能力，是中档题. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 全集，集合，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出,再根据交集的定义求出结果. 【详解】因为全集，集合， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 11 已知集合，集合.若，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据集合子集的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 此时，满足题意. 故答案为：1 12. 已知命题：“，”是假命题，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】命题：“，”是假命题等价于命题：“，”是真命题，再解决含参的不等式恒成立问题即可. 【详解】命题：“，”是假命题， 即命题：“，”是真命题， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，, 则，解得； 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 13. 若不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，求的关系，代入所求不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，，，， 则，即， 即，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 15. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 【答案】4 【解析】 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 三、解答题（共75分） 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若集合为非空集合，且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 分析】（1）根据集合交并补定义求解； （2）根据题意可得，列不等式求解； （3）分和进行求解. 【小问1详解】 由题设，则或， 又， 所以，． 【小问2详解】 由题设知， 由知，则， 所以. 【小问3详解】 由，若时，， 若，得，故， 所以，只需， 综上，或. 17. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集是， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求关于的不等式的解集. （2）解关于的不等式. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用二次不等式与二次方程根的关系，分类讨论求解即可；（ⅱ）代入，解二次不等式即可得解； （2）分类讨论两根大小关系，从而得解. 【小问1详解】 （ⅰ）因为的解集是， 所以是方程的两根， 而解，得或， 当，即时，，不满足题意； 当，即时，，满足题意； 综上，； （ⅱ）因为，所以可化为， 整理得，解得， 所以的解集为. 【小问2详解】 因为的解为或， 当，即时，无解； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 综上，当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 18. 已知，. （1）当时，求集合； （2）若“，使得”为真命题，求的取值范围； （3）是否存在实数，使“”是“”必要不充分条件，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）先化简得到，再将代入求集合即可； （2）先化简得到和，再转化已知条件得到，最后建立不等式求的取值范围； （3）先判断存在实数，使“”是“”必要不充分条件，再通过假设并转化已知条件得到，最后建立不等式求的取值范围. 【详解】解：因为，所以， （1）当时，解得； （2）因为，所以， 因为“，使得”为真命题，所以， 所以或，解得， 所以的取值范围是， （3）存在实数，使“”是“”必要不充分条件， 假设存在实数，使“”是“”必要不充分条件，则 所以，解得， 当时，，符合题意；当时，，符合题意； 所以存在实数，使“”是“”必要不充分条件，此时的取值范围是. 【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数范围、根据集合的包含关系求参数范围、根据必要不充分条件求参数范围，还考查了转化的数学思维方式，是中档题. 19. （1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值； （3）已知，，，求的最小值. 【答案】 （1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用结合基本不等式可求最小值； （2）易知，则，由基本不等式计算可得的最小值为6，即可得解； （3）由代入解一元二次不等式可求解. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为； （2）因为，所以，所以， ， 当且仅当，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为； （3）由，得， 所以，所以， 所以或，又，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 20. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，． （1）求的解集和的解集． （2）若，恒成立，求取值范围． （3）若的解集为，求的范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，求出的解集，并十字相乘法得到，则，所以； （2）恒成立，又的最小值为4，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ，则，所以． 所以的解集为 【小问2详解】 ，恒成立，此时， 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则， 故的取值范围为. 【小问3详解】 不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得， ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，，故的范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2025-2026第一学期高一年级 第一次阶段性检测数学试卷 第I卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 2. 已知命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ） A. B. C. D. 与互不包含 6. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 下列说法正确是（ ） A. 不等式的解集为 B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C. 若，则函数的最小值为2 D. 若实数满足，则 9. 当时，若关于不等式有解，则实数的取值范围是（ ）． A B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 全集，集合，，则__________． 11. 已知集合，集合.若，则实数______. 12. 已知命题：“，”是假命题，则实数a的取值范围是______. 13. 若不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 14. 已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为______． 15. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 三、解答题（共75分） 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若集合为非空集合，且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 17. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集是， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求关于的不等式的解集. （2）解关于的不等式. 18. 已知，. （1）当时，求集合； （2）若“，使得”为真命题，求的取值范围； （3）是否存在实数，使“”是“”必要不充分条件，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. （1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值； （3）已知，，，求的最小值. 20. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，． （1）求的解集和的解集． （2）若，恒成立，求取值范围． （3）若的解集为，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $