精品解析：黑龙江省哈尔滨市阿城区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024 ~2025 学年度九年级（上学期）期中考试 数 学 试 卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图中，弦，互相垂直且相交于点， ，则的大小是（　　） A. B. C. D. 6. 下列四个方程中，有两个相等的实数根的是（ 　） A. B. C. D. 7. 下列说法中一定正确的是（　　） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 圆周角等于圆心角的一半 8. 如图中，将绕点旋转逆时针旋转度后得到，点恰好落在上，则（　　） A. B. C. D. 不能确定 9. 如图，为的直径，弦，垂足为E，若，则线段的长为（　　） A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 10. 如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 二次函数的顶点坐标是______． 13. 已知是方程的一个根，则的值是_________． 14. 直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是______． 15. 如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B，若，则的度数为______． 16. 用总长为80米的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化，当是________米时，场地的面积最大？ 17. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数是______． 18. 定义：二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，则此二次函数的图象与x轴两个交点间的距离为________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，将平行四边形绕点旋转后，点的对应点坐标是_______． 20. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF=___． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 如图，在边长为1的小正方形网格中．的三个顶点均在格点上，坐标分别为，，，请解答下列问题： （1）画出关于y轴的对称图形； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出； （3）连接，，，写出的面积． 23. 阅读材料： 材料：如图1，某公园计划在矩形草坪上修建一条小路，园艺人员设计了三种方案，分别为①②③，每条小路的水平宽度相等即，易证①与②设计的小路面积相等，③设计的小路可理解为无数个平行四边形组成，所以③小路的面积与①、②小路的面积也相等． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下面问题： 如图2，二次函数与y轴交于点A，将此二次函数向下平移交y轴于点B，点，，过点N、D作y轴的平行线交抛物线于点H、G、E、F，连接，若阴影部分的面积为，求线段所在直线的解析式． 24. 如图，、、都是的半径，. （1）求证：； （2）若，，求的半径. 25. “五一”前某商场购进甲种水果60箱，乙种水果40箱，全部售完后，共盈利1300元，甲种水果比乙种水果每箱多盈利5元． （1）求甲、乙两种水果每箱各盈利多少元？ （2）甲、乙两种水果全部售完后，为迎接“五一”小长假，该商场又购进一批甲种水果，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？ 26. 已知内接于，为的直径，连接，与交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点，交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作的平行线交的延长线于点 ．交于点，连接，若，，求线段的长． 27. 已知抛物线交x轴于点，，与y轴交于点． （1）如图1，求抛物线的解析式． （2）如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，，点F 在线段上方抛物线上一点，设点F的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （3）如图3，在（2）的条件下，当点F在第一象限，过点F作的平行线，交线段于点E，连接和，若时，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 ~2025 学年度九年级（上学期）期中考试 数 学 试 卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，进行判断即可． 【详解】A、是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、是二元一次方程，不符合题意； D、是三次方程，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据二次函数图象平移的方法即可得出结论． 【详解】解：把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 平移后抛物线的解析式为． 故选：D． 4. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为： ， 故选：A． 5. 如图中，弦，互相垂直且相交于点， ，则的大小是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握圆周角的相关知识是解题的关键． 由同弧所对的圆周角相等可得，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是得解． 【详解】解：， ， 弦，互相垂直且相交于点， ， ， 故选：． 6. 下列四个方程中，有两个相等的实数根的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，故选项错误，不符合题意； B、∵，故选项正确，符合题意； C、∵，故选项错误，不符合题意； D、∵，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握判别式． 7. 下列说法中一定正确的是（　　） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 圆周角等于圆心角的一半 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的有关性质与定理逐项判断即可． 【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故说法错误； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，此说法正确； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此说法错误； D、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故此说法错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧的概念，圆周角定理，垂径定理，圆心角与弧的关系等性质与定理，掌握这些知识是解题的关键． 8. 如图中，将绕点旋转逆时针旋转度后得到，点恰好落在上，则（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质以及点恰好落在上，可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据性质的性质可得，根据平角的定义即可求解． 【详解】解：∵将绕点旋转逆时针旋转度后得到，点恰好落在上， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 9. 如图，为的直径，弦，垂足为E，若，则线段的长为（　　） A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接，根据已知条件求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，由垂径定理求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得：，，设，则，作交的延长线于点，作交的延长线于点，则可得，，从而得到，根据的最大值为3，求出的值，从而得到，最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：，， 设，则， 作交的延长线于点，作交的延长线于点， ， ， ， ，， ， 由图象可得的最大值为3， ， 解得：或（舍去）， ， ， 平行四边形的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 12. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为． 13. 已知是方程的一个根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】解：由题意得： 把代入方程中， 则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值． 14. 直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、， 直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B，若，则的度数为______． 【答案】． 【解析】 【分析】连接，如图，根据切线的性质得，再利用互余计算出，然后根据圆周角的性质计算的度数． 【详解】解：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ． 故答案是：． 【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 16. 用总长为80米的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化，当是________米时，场地的面积最大？ 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练应用配方法是解题关键．利用矩形的周长表示出两边长，进而用矩形的面积公式写出得出与之间的函数关系式，再根据函数的性质求最大值时的值． 【详解】解：由题意，得： ， ， 当时，有最大值，最大值为400， 当是时，场地的面积最大． 故答案为：20 17. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，则由四边形内角和为360度即可求出答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∵是的直径，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 18. 定义：二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，则此二次函数的图象与x轴两个交点间的距离为________． 【答案】2 【解析】 【分析】二次函数与轴相交，交点横坐标即为方程的根，根据方程的解的定义即：使方程左右两边相等的未知数的值；可得方程满足时，方程的一个根为1，满足时，方程的一个根为，由此可求出如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数时，图象与x轴两个交点的坐标，进而得出答案． 【详解】解：二次函数与轴相交时，， 交点的横坐标即为方程的根， 二次函数，满足， 为方程的一个根， “和谐”函数的图象与x轴的一个交点是， 二次函数，满足， 为方程的一个根， “美好”函数的图象与x轴的一个交点是， 又二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数， 此二次函数的图象与x轴的两个交点为和， 图象与轴两个交点间的距离为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值；理解方程的解的定义及掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，将平行四边形绕点旋转后，点的对应点坐标是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质和旋转的性质，注意旋转的方向未确定，所以要分两种情况讨论，再结合平面坐标系中点的确定，可连接建立直角三角形，即可解题． 【详解】解：四边形平行四边形， ，， ，， ， ， 的横坐标为，纵坐标为，则， 连接，作轴于点，则，，如图所示： 平行四边形绕点旋转，可看作绕点旋转， 则可旋转到和的位置处，由旋转性质可知，，，故，，，故， 故答案为：或． 20. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF=___． 【答案】5 【解析】 【详解】解：作FG⊥AC， 根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°， ∵点F是DE的中点， ∴FG∥CD ∴GF=CD=AC=3 EG=EC=BC=2 ∵AC=6，EC=BC=4 ∴AE=2 ∴AG=4 根据勾股定理，． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用公式法求解即可； （2）运用分解因式法求解即可． 【小问1详解】 ∵，，． ． ∴ 即，． 【小问2详解】 ，或， ，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 22. 如图，在边长为1的小正方形网格中．的三个顶点均在格点上，坐标分别为，，，请解答下列问题： （1）画出关于y轴的对称图形； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出； （3）连接，，，写出的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 如图所示，连接，，， 7 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称和旋转变换，熟练掌握轴对称和旋转的性质以及网格特点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （3）连接，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积． 23. 阅读材料： 材料：如图1，某公园计划在矩形草坪上修建一条小路，园艺人员设计了三种方案，分别为①②③，每条小路的水平宽度相等即，易证①与②设计的小路面积相等，③设计的小路可理解为无数个平行四边形组成，所以③小路的面积与①、②小路的面积也相等． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下面问题： 如图2，二次函数与y轴交于点A，将此二次函数向下平移交y轴于点B，点，，过点N、D作y轴的平行线交抛物线于点H、G、E、F，连接，若阴影部分的面积为，求线段所在直线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作，由平移性质得：，根据可求得平移的距离为，将，代入求出的坐标，设所在直线的解析式为，即可求解． 【详解】解：连接，作，如图， 由材料可知，且由平移性质得：阴影部分的竖向宽度恒相等，且等于平移距离， ∴， ∵， ∴ ∴，即平移的距离为， 把代入 ，得，即， ∴向下平移了3单位长度， ∴平移后的二次函数为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 设所在直线的解析式为， 将，代入得：，解得 ∴所在直线的解析式为； 【点睛】本题考查了二次函数平移问题，正确作出辅助线得出平移的距离为，是关键． 24. 如图，、、都是的半径，. （1）求证：； （2）若，，求的半径. 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2）的半径为5 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系． （1）利用圆周角定理可得，结合可证明结论； （2）过点O作半径于点E，可得，根据圆周角、弦、弧的关系可证得，即可求得，利用勾股定理可求解，再利用勾股定理可求解圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点O作半径于点E，连接， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径是 5． 25. “五一”前某商场购进甲种水果60箱，乙种水果40箱，全部售完后，共盈利1300元，甲种水果比乙种水果每箱多盈利5元． （1）求甲、乙两种水果每箱各盈利多少元？ （2）甲、乙两种水果全部售完后，为迎接“五一”小长假，该商场又购进一批甲种水果，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元 （2）5元；2000元 【解析】 【分析】（1）设乙种水果每箱可盈利x元，则甲种水果每箱可盈利元，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设甲种水果降价a元，则每天可多卖出箱，利润为w元，根据题意表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设乙种水果每箱可盈利x元，则甲种水果每箱可盈利元， 根据题意，得： 解得：， ∴ 答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元． 【小问2详解】 设甲种水果降价a元，则每天可多卖出箱，利润为w元， 由题意得：， 当时，函数有最大值，最大值是2000元． 答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 26. 已知内接于，为的直径，连接，与交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点，交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作的平行线交的延长线于点 ．交于点，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，特殊角三角函数，根据题意构建全等三角形是解本题的关键． （1）根据圆周角定理可得：，，进而得出结果； （2）连接，可证明，从而得出结论； （3）作于点，根据题意证明，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 是直径， ∴，即是的垂直平分线， ∴； 由（2）知，， 设，，则， ∵， ∴， ，， 如图3， ， 作，交的延长线于点Q， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 27. 已知抛物线交x轴于点，，与y轴交于点． （1）如图1，求抛物线的解析式． （2）如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，，点F 在线段上方抛物线上一点，设点F的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （3）如图3，在（2）的条件下，当点F在第一象限，过点F作的平行线，交线段于点E，连接和，若时，求点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，过F作轴于H，过D作轴于K，，得出，设，则，得出方程，解方程即可得，，，然后再利用三角形面积公式计算即可得解； （3）过E作轴于N，过F作轴于M，延长交x轴于点G，证出，然后再证出，得出，，设，则，用含a的代数式表示出，再代入抛物线解析式即可得解． 【小问1详解】 解：将，，代入得： 解得 ∴； 【小问2详解】 解：如图，过F作轴于H，过D作轴于K，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得，（舍）， ∴，，， 又∵， ∴，，， ∴ ； 【小问3详解】 解：过E作轴于N，过F作轴于M，延长交x轴于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴． 【点晴】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $