精品解析：湖南省邵阳市新邵县第三中学2024-2025学年高一上学期10月考数学试题

2024年高一数学月考试卷 姓名：__________班级：__________ 注意事项 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知R，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知全集，则图中的阴影部分所表示的集合等于（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，，，则集合中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知命题，为真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每小题6分，共18分，每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 命题，．命题q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A. p是真命题 B. ， C. q是真命题 D. ：存在两个等边三角形，它们不相似 10. 下列不等式成立的是（ ） A. 若a＜b＜0，则a2＞b2 B. 若ab＝4，则a＋b≥4 C. 若a＞b，则ac2＞bc2 D. 若a＞b＞0，m＞0，则 11. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知.若，则__________. 13. 已知集合，，则集合的真子集的个数为______. 14. 有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设全集. （1）求； （2）求. 16. 利用基本不等式求以下最值： （1）若，求的最大值； （2）已知，且，求的最小值； （3）求在时的最小值． 17. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 19. 设f（x）=ax2+（1-a）x+a-3． （1）若不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高一数学月考试卷 姓名：__________班级：__________ 注意事项 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，判断选项. 【详解】根据元素与集合的关系可知，，，故AB不正确； 根据集合与集合的关系可知，，，故C正确，D不正确. 故选：C 2. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】运用拼凑法，将所求式整理成积为定值，再利用基本不等式即可求得. 【详解】因，由， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为6. 故选：A. 3. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解分式不等式和一元二次不等式，再求交集即得. 【详解】由可得，解得，即； 由可得，即， 则. 故选：C. 4. 已知R，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出两个不等式，根据范围判断即可. 【详解】由，得， 由，得，即或； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知全集，则图中的阴影部分所表示的集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦恩图可知，图中的阴影部分为，利用交并补的运算即可求得. 【详解】由图可知，图中的阴影部分所表示的集合为, 因，，故. 故选：A. 6. 若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得有两根为1和2，且，利用韦达定理求得的值，再求解一元二次不等式即得. 【详解】由题意，可知方程有两根为1和2，且， 则，解得， 故不等式即，解得. 故选：C. 7. 设集合，，，则集合中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别在集合中取，由此可求得所有可能的取值，进而得到结果. 【详解】当，时，；当，时，； 当，或时，；当，时，； 当，或，时，；当，时，； ，故中元素的个数为个. 故选：B. 8. 已知命题，为真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据恒成立问题的方法分析即可. 【详解】由,为真命题,故的取值不超过,即. 故选A. 【点睛】本题主要考查恒成立问题,属于基础题型. 二､多选题（每小题6分，共18分，每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 命题，．命题q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A. p是真命题 B. ， C. q是真命题 D. ：存在两个等边三角形，它们不相似 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据根的判别式可判断命题的真假，根据等边三角形的性质判断命题的真假，从而判断AC，根据命题的否定可判断BD. 【详解】对于方程，, 所以，无解，故p是假命题，故A错误； ，，故B正确； 任意两个等边三角形都相似，故q是真命题，故C正确； ：存在两个等边三角形，它们不相似，故D正确. 故选:BCD. 10. 下列不等式成立的是（ ） A. 若a＜b＜0，则a2＞b2 B. 若ab＝4，则a＋b≥4 C. 若a＞b，则ac2＞bc2 D. 若a＞b＞0，m＞0，则 【答案】AD 【解析】 【分析】 由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案. 【详解】解：对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确； 对于B，当，时，，显然B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，，所以 所以，即成立，故D正确． 故选AD． 【点睛】本题主要考查不等式的性质及应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题. 11. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据存在量词命题为真命题求出的取值范围，结合集合的包含关系可得出结果. 【详解】若命题“，”为真命题，则， 因为，，， 所以，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是BD选项. 故选：BD. 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知.若，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用集合的相等推得，求出值并验算即得. 【详解】由，可得， 由，解得或； 当时，，显然与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：0. 13. 已知集合，，则集合的真子集的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，利用集合真子集个数公式可求得结果. 【详解】由已知，则， 所以，集合的真子集的个数为. 故答案为：. 14. 有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】设每个小矩形长为米，宽为米，则依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成矩形面积的最大值． 【详解】如图所示： 设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知， 设围成的整个矩形场地的面积为， 所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设全集. （1）求； （2）求. 【答案】（1）；；； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算定义计算即得； （1）根据集合的补集定义计算即得. 【小问1详解】 由题意，； ； ；； 【小问2详解】 ；. 16. 利用基本不等式求以下最值： （1）若，求的最大值； （2）已知，且，求的最小值； （3）求在时的最小值． 【答案】（1）12； （2）6； （3）． 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据题设前提条件，应用基本不等式求积、和及分式型目标式的最值. 【小问1详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值为12． 【小问2详解】 ，则 即，解得或（舍）， 当且仅当且，即时等号成立， 的最小值为6． 【小问3详解】 ， 令，则， 所以，化为， 而，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为． 17. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并补运算即得； （2）由条件可得，将集合按照是否为空集进行分类讨论，求出参数范围，再求并集即得. 【小问1详解】 当时，，，则或， 于是，； 或； 【小问2详解】 由可得. 当时，，解得； 当时，由，可得. 综上可得：实数的取值范围为. 18. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 19. 设f（x）=ax2+（1-a）x+a-3． （1）若不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）． 【答案】（1）[，+∞）． （2）当a=0时，不等式的解集为（-∞，1）；当a＞0时，不等式的解集为（，1）；当-1＜a＜0时，不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠-1}．当a＜-1时，不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）； 【解析】 【分析】（1）根据条件不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，转化为ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论； （2）不等式f（x）＜a-2代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集． 【小问1详解】 由条件知不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立； 即ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立； 当a=0时，x≥0，显然不能恒成立； 当a≠0时，要使得ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立， 满足，解得a≥； 综上述，实数a的取值范围是[，+∞）． 【小问2详解】 由条件化简不等式f（x）＜a-2， 得ax2+（1-a）x-1＜0， ①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1， 不等式的解集为（-∞，1）； 当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和； ②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+）＜0， ∴不等式的解集为（，1）； ③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0， 当-1＜a＜0时，1＜， 不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）； 当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}． 当a＜-1时，1＞， 不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）； 【点睛】本题考查了一元二次函数恒成立问题，含参数的一元二次不等式解法问题，注意分类讨论的思想方法和数形结合的思想方法的运用，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $